ในทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีการเข้ารหัสขอบเขตของพลอตกิน (Plotkin bound ) ซึ่งตั้งชื่อตามมอร์ริส พลอตกิน คือขีดจำกัด (หรือขอบเขต) ของจำนวนคำรหัสสูงสุดที่เป็นไปได้ในรหัสไบนารี ที่มีความยาวnและระยะห่างขั้นต่ำdที่ กำหนด

รหัสจะถือว่าเป็น "รหัสไบนารี" ถ้าคำในรหัสใช้สัญลักษณ์จากอักษร ไบนารี โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าคำในรหัสทั้งหมดมีความยาวคงที่nรหัสไบนารีจะมีขนาดความยาวnหรืออีกนัยหนึ่ง ในกรณีนี้ คำในรหัสสามารถถือได้ว่าเป็นสมาชิกของปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์จำกัดให้เป็นระยะทางขั้นต่ำของนั่นคือ ${\displaystyle \{0,1\}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle d=\min _{x,y\in C,x\neq y}d(x,y)}$

โดยที่คือระยะทางแฮมมิงระหว่างและนิพจน์นี้แสดงถึงจำนวนคำรหัสที่เป็นไปได้สูงสุดในรหัสไบนารีที่มีความยาวและระยะทางต่ำสุด  ขอบเขตของพลอตคินกำหนดขีดจำกัดให้กับนิพจน์นี้ ${\displaystyle d(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle A_{2}(n,d)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$

ทฤษฎีบท (ขอบเขตของพลอตคิน):

i) ถ้าเป็นจำนวนคู่ และแล้ว ${\displaystyle d}$${\displaystyle 2d>n}$

${\displaystyle A_{2}(n,d)\leq 2\left\lfloor {\frac {d}{2d-n}}\right\rfloor .}$

ii) ถ้าเป็นจำนวนคี่ และแล้ว ${\displaystyle d}$${\displaystyle 2d+1>n}$

${\displaystyle A_{2}(n,d)\leq 2\left\lfloor {\frac {d+1}{2d+1-n}}\right\rfloor .}$

iii) ถ้าเป็นจำนวนคู่แล้ว ${\displaystyle d}$

${\displaystyle A_{2}(2d,d)\leq 4d.}$

iv) ถ้าเป็นจำนวนคี่แล้ว ${\displaystyle d}$

${\displaystyle A_{2}(2d+1,d)\leq 4d+4}$

โดยที่หมายถึงฟังก์ชันพื้น (floor function ) ${\displaystyle \left\lfloor ~\right\rfloor }$

ให้เป็นระยะทางแฮมมิงของและและเป็นจำนวนสมาชิกใน(ดังนั้นเท่ากับ) ขอบเขตนี้ได้รับการพิสูจน์โดยการกำหนดขอบเขตของปริมาณในสองวิธีที่แตกต่างกัน ${\displaystyle d(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A_{2}(n,d)}$${\displaystyle \sum _{(x,y)\in C^{2},x\neq y}d(x,y)}$

ในอีกด้านหนึ่ง มีตัวเลือกสำหรับและสำหรับแต่ละตัวเลือกดังกล่าว ก็มีตัวเลือกสำหรับเช่นกัน เนื่องจากตามคำนิยามสำหรับทุกและ( ) จึงสรุปได้ว่า ${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M-1}$${\displaystyle y}$${\displaystyle d(x,y)\geq d}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\neq y}$

${\displaystyle \sum _{(x,y)\in C^{2},x\neq y}d(x,y)\geq M(M-1)d.}$

ในทางกลับกัน ให้เป็นเมทริกซ์ที่มีแถวเป็นสมาชิกของให้เป็นจำนวนศูนย์ที่อยู่ในคอลัมน์ที่ ของ ซึ่งหมายความว่าคอลัมน์ที่ ประกอบด้วยหนึ่ง การเลือกศูนย์และหนึ่งในคอลัมน์เดียวกันแต่ละครั้งจะให้ผลรวมเท่ากับ(เพราะ) พอดี ดังนั้น ${\displaystyle A}$${\displaystyle M\times n}$${\displaystyle C}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A}$${\displaystyle i}$${\displaystyle M-s_{i}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$${\displaystyle \sum _{(x,y)\in C,x\neq y}d(x,y)}$

${\displaystyle \sum _{(x,y)\in C,x\neq y}d(x,y)=\sum _{i=1}^{n}2s_{i}(M-s_{i}).}$

ปริมาณทางด้านขวาจะมีค่าสูงสุดก็ต่อเมื่อเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับทุกค่า(ในขั้นตอนนี้ของการพิสูจน์ เราจะละเว้นข้อเท็จจริงที่ว่าค่าเหล่านั้นเป็นจำนวนเต็ม) จากนั้น ${\displaystyle s_{i}=M/2}$${\displaystyle i}$${\displaystyle s_{i}}$

${\displaystyle \sum _{(x,y)\in C,x\neq y}d(x,y)\leq {\frac {1}{2}}nM^{2}.}$

เมื่อนำขอบเขตบนและขอบเขตล่างที่เราได้คำนวณไว้มา รวมกัน${\displaystyle \sum _{(x,y)\in C,x\neq y}d(x,y)}$

${\displaystyle M(M-1)d\leq {\frac {1}{2}}nM^{2}}$

ซึ่งกำหนดให้เทียบเท่ากับ ${\displaystyle 2d>n}$

${\displaystyle M\leq {\frac {2d}{2d-n}}.}$

เนื่องจากเป็นจำนวนคู่ ดังนั้น จึงสรุปได้ว่า ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M\leq 2\left\lfloor {\frac {d}{2d-n}}\right\rfloor .}$

การพิสูจน์ขอบเขตดังกล่าวเสร็จสมบูรณ์แล้ว

• รหัสเพชร
• เอเลียส บาสซาลิโก มุ่งหน้า
• กิลเบิร์ต-วาร์ชามอฟ ผูกพัน
• กรีสเมอร์ถูกผูกมัด
• แฮมมิง บอนด์
• มุ่งหน้าสู่จอห์นสัน
• มุ่งหน้าสู่ซิงเกิลตัน