ในทฤษฎีการเข้ารหัสขอบเขตของซิงเกิลตันซึ่งตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน ริชาร์ด คอลลอม ซิงเกิลตัน (ค.ศ. 1928–2007) เป็นขอบเขตบนที่ค่อนข้างหยาบของขนาดของรหัสบล็อก ใดๆ ที่มีความยาวบล็อกขนาดและระยะห่างขั้นต่ำนอกจากนี้ยังรู้จักกันในชื่อขอบเขตของโจชิ^{[ 1 ]}ซึ่งพิสูจน์โดยโจชิ (ค.ศ. 1958)และก่อนหน้านั้นโดยโคมามิยะ ${\displaystyle C}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d}$

ระยะห่างขั้นต่ำของชุดรหัสคำที่มีความยาวถูกกำหนดโดย โดยที่คือระยะห่างแฮม มิง ระหว่างและนิพจน์นี้แสดงถึงจำนวนรหัสคำสูงสุดที่เป็นไปได้ในรหัสบล็อกแบบ -ary ที่มีความยาวและระยะห่างขั้น  ต่ำ ${\displaystyle C}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle d=\min _{\{x,y\in C:x\neq y\}}d(x,y)}$$${\displaystyle d(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle A_{q}(n,d)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$

จากนั้นสถานะผูกพันของซิงเกิลตันที่ $${\displaystyle A_{q}(n,d)\leq q^{n-d+1}.}$$

ขั้นแรก สังเกตว่าจำนวนคำที่ลงท้ายด้วย -ary ที่มีความยาวเท่ากับ n คือn เนื่องจากตัวอักษรแต่ละตัวในคำดังกล่าวสามารถมีค่าได้หลายค่า โดยไม่ขึ้นอยู่กับตัวอักษรที่เหลืออยู่ ${\displaystyle q}$${\displaystyle n}$${\displaystyle q^{n}}$${\displaystyle q}$

สมมติให้เป็นรหัสบล็อกแบบ n-ary ที่มีระยะห่างต่ำสุดเห็นได้ชัดว่า รหัสคำทุกคำแตกต่างกัน หากเราเจาะรหัสโดยการลบตัวอักษรตัวแรกของแต่ละรหัสคำ รหัสคำที่ได้ทั้งหมดจะต้องยังคงแตกต่างกันเป็นคู่ๆ เนื่องจากรหัสคำดั้งเดิมทั้งหมดในมีระยะห่างแฮม มิง อย่างน้อยดังนั้น ขนาดของรหัสที่เปลี่ยนแปลงแล้วจึงเท่ากับรหัสดั้งเดิม ${\displaystyle C}$${\displaystyle q}$${\displaystyle d}$${\displaystyle c\in C}$${\displaystyle d-1}$${\displaystyle C}$${\displaystyle d}$

รหัสคำที่ได้รับใหม่แต่ละรหัสมีความยาว และด้วยเหตุนี้จึงสามารถมีได้มากที่สุดเนื่องจากเป็นค่าที่กำหนดโดยพลการ ขอบเขตนี้จึงต้องเป็นจริงสำหรับรหัสที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้ด้วยพารามิเตอร์เหล่านี้ ดังนั้น: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle n-(d-1)=n-d+1,}$$${\displaystyle q^{n-d+1}}$${\displaystyle C}$$${\displaystyle |C|\leq A_{q}(n,d)\leq q^{n-d+1}.}$$

ถ้าเป็นรหัสเชิงเส้นที่มีความยาวบล็อกมิติและระยะทางขั้นต่ำเหนือฟิลด์จำกัดที่มีองค์ประกอบ จำนวนคำรหัสสูงสุดคือและขอบเขตซิงเกิลตันบ่งชี้ว่า: ดังนั้น ซึ่งมักจะเขียนเป็น^{[ 3 ]}${\displaystyle C}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle d}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{k}}$$${\displaystyle q^{k}\leq q^{n-d+1},}$$$${\displaystyle k\leq n-d+1,}$$$${\displaystyle d\leq n-k+1.}$$

ในกรณีรหัสเชิงเส้น การพิสูจน์ขอบเขต Singleton ที่แตกต่างกันสามารถทำได้โดยการสังเกตว่าอันดับของเมทริกซ์ตรวจสอบความเท่าเทียมกันคือ^{[ 4} ] การพิสูจน์ง่ายๆ อีกอย่างหนึ่งได้มาจากการสังเกตว่าแถวของเมทริกซ์กำเนิดใดๆ ในรูปแบบมาตรฐานมีน้ำหนัก^ไม่เกิน ${\displaystyle nk}$${\displaystyle n-k+1}$

โดยทั่วไปแล้ว การอ้างอิงผลลัพธ์นี้มักมาจากSingleton (1964)แต่ได้รับการพิสูจน์มาก่อนแล้วโดยJoshi (1958) Joshi ตั้งข้อสังเกตว่าผลลัพธ์นี้ได้รับการพิสูจน์มาก่อนแล้วโดยKomamiya (1953)โดยใช้วิธีการพิสูจน์ที่ซับซ้อนกว่าWelsh (1988 , หน้า 72) ก็ได้กล่าวถึงเรื่องเดียวกันนี้เกี่ยวกับKomamiya (1953)เช่น กัน

รหัสบล็อกเชิงเส้นที่บรรลุความเท่าเทียมกันในขอบเขตซิงเกิลตันเรียกว่ารหัส MDS (maximum distance separable)ตัวอย่างของรหัสดังกล่าว ได้แก่ รหัสที่มีเฉพาะคำรหัส (คำทั้งหมดสำหรับซึ่งมีระยะห่างต่ำสุด) รหัสที่ใช้ทั้งหมดของ(ระยะห่างต่ำสุด 1) รหัสที่มีสัญลักษณ์พาริตีเดียว (ระยะห่างต่ำสุด 2) และรหัสคู่ ของรหัสเหล่านั้น รหัส เหล่านี้มักเรียกว่ารหัส MDS แบบง่าย${\displaystyle q}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\in \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (\mathbb {F} _{q})^{n}}$

ในกรณีของตัวอักษรไบนารี จะมีเพียงรหัส MDS แบบไม่ซับซ้อนเท่านั้น^{[ 5 ] [ 6 ]}

ตัวอย่างของรหัส MDS ที่ไม่ธรรมดา ได้แก่รหัส Reed-Solomonและเวอร์ชันขยาย^{[ 7 ] [ 8 ]}

รหัส MDS เป็นรหัสบล็อกประเภทสำคัญ เนื่องจากสำหรับค่าคงที่และ ค่าคง ที่ รหัสเหล่านี้มีความสามารถในการแก้ไขและตรวจจับข้อผิดพลาดได้ดีที่สุด มีหลายวิธีในการกำหนดลักษณะของรหัส MDS: ^{[ 9 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

ลักษณะสุดท้ายเหล่านี้อนุญาตให้ใช้เอกลักษณ์ของ MacWilliamsเพื่อสูตรที่ชัดเจนสำหรับการกระจายน้ำหนักที่สมบูรณ์ของรหัส MDS ^{[ 10 ]}

ความเป็นอิสระเชิงเส้นของคอลัมน์ของเมทริกซ์กำเนิดของรหัส MDS อนุญาตให้สร้างรหัส MDS จากวัตถุในเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟจำกัด ให้เป็นปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ จำกัด ที่มีมิติ (เรขาคณิต) เหนือฟิลด์จำกัดให้เป็นเซตของจุดในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟนี้ซึ่งแสดงด้วยพิกัดเอกพันธุ์สร้างเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เป็นพิกัดเอกพันธุ์ของจุดเหล่านี้ จากนั้น^{[ 11 ]}${\displaystyle PG(N,q)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle K=\{P_{1},P_{2},\dots ,P_{m}\}}$${\displaystyle (N+1)\times m}$${\displaystyle G}$

• กิลเบิร์ต-วาร์ชามอฟ ผูกพัน
• กรีสเมอร์ถูกผูกมัด
• แฮมมิง บอนด์
• มุ่งหน้าสู่จอห์นสัน
• พล็อตคินผูกติด

• JH van Lint (1992). บทนำสู่ทฤษฎีการเข้ารหัส . GTM .เล่มที่ 86 (ฉบับที่ 2). Springer-Verlag. หน้า  61. ISBN 3-540-54894-7.
• Niederreiter, Harald ; Xing, Chaoping (2001). "6. การประยุกต์ใช้กับทฤษฎีการเข้ารหัสเชิงพีชคณิต" จุดตรรกยะบนเส้นโค้งเหนือฟิลด์จำกัด ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ชุดบันทึกการบรรยายของสมาคมคณิตศาสตร์แห่งลอนดอน เล่มที่ 285 เคมบริดจ์ : สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ISBN 0-521-66543-4. Zbl  0971.11033 .