กลุ่มปวงกาเรซึ่งตั้งชื่อตามอองรี ปวงกาเร (1905) ^{[ 1 ]}ได้รับการนิยามครั้งแรกโดยเฮอร์มันน์ มินคอฟสกี (1908) ว่าเป็นกลุ่มไอโซเมตรีของปริภูมิเวลามินคอฟสกี [ ^{2 ] [ 3 ] เป็น} กลุ่มลีแบบไม่สลับที่ 10 มิติ ซึ่งมีความสำคัญในฐานะแบบจำลองในการ ทำความเข้าใจพื้นฐานที่สุดของฟิสิกส์

กลุ่มปวงกาเรประกอบด้วยการแปลงพิกัด ทั้งหมด ของปริภูมิมินคอฟสกีที่ไม่เปลี่ยนแปลงช่วงเวลาของกาลอวกาศระหว่างเหตุการณ์ตัวอย่างเช่น หากทุกอย่างถูกเลื่อนออกไปสองชั่วโมง รวมถึงเหตุการณ์ทั้งสองและเส้นทางที่คุณใช้เดินทางจากเหตุการณ์หนึ่งไปยังอีกเหตุการณ์หนึ่ง ช่วงเวลาของเหตุการณ์ที่บันทึกโดยนาฬิกาจับเวลาที่คุณพกติดตัวก็จะยังคงเท่าเดิม หรือหากทุกอย่างถูกเลื่อนไปทางทิศตะวันตกห้ากิโลเมตร หรือหมุนไปทางขวา 60 องศา คุณก็จะไม่เห็นการเปลี่ยนแปลงใดๆ ในช่วงเวลาเช่นกัน ปรากฏว่าความยาวที่แท้จริงของวัตถุก็ไม่ได้รับผลกระทบจากการเลื่อนดังกล่าวด้วย

โดยรวมแล้ว การแปลงดังกล่าวมีระดับความเป็นอิสระ ทั้งหมดสิบระดับ อาจมองได้ว่าเป็นการเลื่อนผ่านเวลาหรืออวกาศ (สี่ระดับ หนึ่งระดับต่อมิติ) การสะท้อนผ่านระนาบ (สามระดับ ความเป็นอิสระในการวางแนวของระนาบนี้) หรือ " การเพิ่ม " ในทิศทางเชิงพื้นที่ทั้งสาม (สามระดับ) การประกอบการแปลงเป็นการดำเนินการของกลุ่มปวงกาเร โดยการหมุนจะเกิดขึ้นจากการประกอบของการสะท้อนจำนวนคู่

ในฟิสิกส์คลาสสิกกลุ่มกาลิเลียนเป็นกลุ่มที่มีพารามิเตอร์สิบตัวที่เทียบเคียงได้ ซึ่งกระทำต่อเวลาและอวกาศสัมบูรณ์แทนที่จะใช้การเร่งความเร็ว กลุ่มนี้ใช้การแมปแบบเฉือนเพื่อเชื่อมโยงกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ไปพร้อมกัน

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปกล่าวคือ ภายใต้ผลกระทบของแรงโน้มถ่วงสมมาตรของปวงกาเรใช้ได้เฉพาะในระดับท้องถิ่นเท่านั้น การอธิบายสมมาตรในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปอยู่นอกขอบเขตของบทความนี้

สมมาตรปวงกาเรเป็นสมมาตรสมบูรณ์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษซึ่งประกอบด้วย:

• การแปล (การเคลื่อนย้าย) ในเวลาและอวกาศ ก่อให้เกิดกลุ่มลีอาเบเลียนของการแปลกาลอวกาศ ( P )
• การหมุนในอวกาศ ก่อให้เกิดกลุ่ม Lie แบบไม่สลับที่ของการหมุนสามมิติ ( J );
• บูสต์การแปลงที่เชื่อมต่อวัตถุเคลื่อนที่สม่ำเสมอสองชิ้น ( K )

สมมาตรสองอย่างสุดท้าย คือJและKรวมกันเป็นกลุ่มลอเรนซ์ (ดูเพิ่มเติมที่ความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้ลอเรนซ์ ) จากนั้น ผลคูณกึ่งตรงของกลุ่มการแปลกาลอวกาศและกลุ่มลอเรนซ์จะสร้างกลุ่มปวงกาเร วัตถุที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้กลุ่มนี้จึงกล่าวได้ว่ามีความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้ปวงกาเรหรือความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้สัมพัทธภาพ

ตัวสร้าง 10 ตัว (ในมิติปริภูมิเวลาสี่มิติ) ที่เกี่ยวข้องกับสมมาตรของปวงกาเร ตามทฤษฎีบทของโนเธอร์ บ่งชี้ถึงกฎการอนุรักษ์ 10 ข้อ: ^{[ 4 ] [ 5 ]}

• 1 สำหรับพลังงาน – ที่เกี่ยวข้องกับการแปลผ่านกาลเวลา
• 3 สำหรับโมเมนตัม – ที่เกี่ยวข้องกับการแปลผ่านมิติเชิงพื้นที่
• 3 สำหรับโมเมนตัมเชิงมุม – ที่เกี่ยวข้องกับการหมุนระหว่างมิติเชิงพื้นที่
• 3 สำหรับปริมาณที่เกี่ยวข้องกับความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล ซึ่งสัมพันธ์กับการหมุนแบบไฮเปอร์โบลิกระหว่างมิติเชิงพื้นที่และเวลาแต่ละมิติ

กลุ่มปวงกาเร (Poincaré group) คือกลุ่มของการแปลงไอโซเมตรีของปริภูมิเวลาแบบมินคอฟสกี (Minkowski spacetime isometries ) มันเป็นกลุ่มลี (Lie group) แบบไม่กระชับ (noncompact) ที่มีมิติสิบ กลุ่มอาเบเลียน (abelian group) สี่มิติของการแปลปริภูมิเวลาเป็นกลุ่มย่อยปกติ (normal subgroup ) ในขณะที่กลุ่มลอเรนซ์ (Lorentz group) หกมิติ ก็เป็นกลุ่มย่อยเช่นกัน ซึ่งเป็น ตัวรักษาเสถียรภาพของจุดกำเนิด (stabilizer of the origin) กลุ่มปวงกาเรเองเป็นกลุ่มย่อยขั้นต่ำ (minimal subgroup) ของกลุ่มแอฟฟิน (affine group) ซึ่งรวมการแปลและ การแปลงลอเรนซ์ทั้งหมดกล่าวโดยละเอียดกว่านั้น มันเป็นผลคูณกึ่งตรง (semidirect product)ของกลุ่มการแปลปริภูมิเวลาและกลุ่มลอเรนซ์

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {O} (1,3)\,,}$

ด้วยการคูณกลุ่ม

${\displaystyle (\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)}$[ ^{6 ]​}

อีกวิธีหนึ่งในการอธิบายเรื่องนี้คือ กลุ่มปวงกาเรเป็นกลุ่มส่วนขยายของกลุ่มลอเรนซ์โดยใช้เวกเตอร์แทนซึ่งบางครั้งเรียกกันอย่างไม่เป็นทางการว่ากลุ่มลอเรนซ์ไม่เอกพันธุ์ในทางกลับกัน มันยังสามารถได้มาจากการหดตัวของกลุ่มเดอ ซิตเตอร์SO(4, 1) ~ Sp(2, 2)เมื่อรัศมีของเดอ ซิตเตอร์เข้าสู่ค่าอนันต์

การแสดงผลแบบเอกภาพที่มีพลังงานเป็นบวกนั้นถูกกำหนดดัชนีโดยมวล (จำนวนที่ไม่เป็นลบ) และสปิน ( จำนวนเต็มหรือครึ่งจำนวนเต็ม) และเกี่ยวข้องกับอนุภาคในกลศาสตร์ควอนตัม (ดูการจำแนกประเภทของวิกเนอร์ )

ตามโครงการ Erlangenเรขาคณิตของปริภูมิ Minkowski ถูกกำหนดโดยกลุ่ม Poincaré โดยปริภูมิ Minkowski ถือเป็นปริภูมิเอกพันธุ์สำหรับกลุ่มนี้

ในทฤษฎีสนามควอนตัมการปกคลุมสากลของกลุ่มปวงกาเร

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} ),}$

ซึ่งอาจระบุได้จากปกสองชั้น

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {Spin} (1,3),}$

มีความสำคัญมากกว่า เพราะการเป็นตัวแทนของ${\displaystyle \operatorname {SO} (1,3)}$ไม่สามารถอธิบายสนามที่มีสปิน 1/2 ได้ เช่นเฟอร์มิออน ที่นี่${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} )}$เป็นกลุ่มของความซับซ้อน ${\displaystyle 2\times 2}$เมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับหนึ่ง ซึ่งสมมาตรกับกลุ่มสปินลายเซ็นลอเรนซ์${\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)}$.

พีชคณิตปวงกาเร (Poincaré algebra)คือพีชคณิตลี (Lie algebra)ของกลุ่มปวงกาเร (Poincaré group) เป็นการขยายพีชคณิตลีของพีชคณิตลีของกลุ่มลอเรนซ์ (Lorentz group) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พีชคณิตลีที่เหมาะสม (${\textstyle \det \Lambda =1}$), ออร์โธโครนัส (${\textstyle {\Lambda ^{0}}_{0}\geq 1}$) ส่วนหนึ่งของกลุ่มย่อยลอเรนซ์ ( ส่วนประกอบเอกลักษณ์ ของมัน )${\textstyle \mathrm {SO} (1,3)_{+}^{\uparrow }}$เชื่อมโยงกับเอกลักษณ์และจึงได้มาจากการยกกำลัง${\textstyle \exp \left(ia_{\mu }P^{\mu }\right)\exp \left({\frac {i}{2}}\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right)}$ของพีชคณิต Lie นี้ ในรูปแบบส่วนประกอบ พีชคณิต Poincaré จะแสดงด้วยความสัมพันธ์การสลับตำแหน่ง: ^{[ 7 ] [ 8 ]}

ที่ไหน${\displaystyle P}$คือตัวสร้างคำแปล${\displaystyle M}$เป็นตัวสร้างการแปลงลอเรนซ์ และ${\displaystyle \eta }$คือ${\displaystyle (+,-,-,-)}$เมตริกมินคอฟสกี (ดูหลักการกำหนดเครื่องหมาย )

ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งด้านล่างคือกลุ่มลอเรนซ์ ("เอกพันธุ์") ซึ่งประกอบด้วยการหมุน${\textstyle J_{i}={\frac {1}{2}}\epsilon _{imn}M^{mn}}$และเพิ่มประสิทธิภาพ${\textstyle K_{i}=M_{i0}}$ในสัญลักษณ์นี้ พีชคณิตปวงกาเรทั้งหมดสามารถแสดงได้ในภาษาที่ไม่แปรผันร่วม (แต่ใช้งานได้จริงมากกว่า) ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{m},P_{n}]&=i\epsilon _{mnk}P_{k}~,\\[][J_{i},P_{0}]&=0~,\\[][K_{i},P_{k}]&=i\eta _{ik}P_{0}~,\\[][K_{i},P_{0}]&=-iP_{i}~,\\[][J_{m},J_{n}]&=i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\\[][J_{m},K_{n}]&=i\epsilon _{mnk}K_{k}~,\\[][K_{m},K_{n}]&=-i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\end{aligned}}}$

โดยที่ตัวสลับกระแสด้านล่างของบูสเตอร์สองตัวมักถูกเรียกว่า "การหมุนแบบวิกเนอร์" การทำให้ง่ายขึ้น${\textstyle [J_{m}+iK_{m},\,J_{n}-iK_{n}]=0}$อนุญาตให้ลดทอนพีชคณิตย่อยของลอเรนซ์ลงเหลือ${\textstyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}$และการจัดการที่มีประสิทธิภาพของตัวแทน ที่เกี่ยวข้อง ในแง่ของพารามิเตอร์ทางกายภาพ เรามี

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\mathcal {H}},p_{i}\right]&=0\\\left[{\mathcal {H}},L_{i}\right]&=0\\\left[{\mathcal {H}},K_{i}\right]&=i\hbar cp_{i}\\\left[p_{i},p_{j}\right]&=0\\\left[p_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}p_{k}\\\left[p_{i},K_{j}\right]&={\frac {i\hbar }{c}}{\mathcal {H}}\delta _{ij}\\\left[L_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\\\left[L_{i},K_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}K_{k}\\\left[K_{i},K_{j}\right]&=-i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\end{aligned}}}$

ค่าคงที่แคสิเมียร์ของพีชคณิตนี้คือ${\textstyle P_{\mu }P^{\mu }}$และ${\textstyle W_{\mu }W^{\mu }}$ที่ไหน${\textstyle W_{\mu }}$คือเวกเตอร์เทียมของ Pauli–Lubanskiซึ่งทำหน้าที่เป็นป้ายกำกับสำหรับการแสดงแทนของกลุ่ม

กลุ่มปวงกาเร (Poincaré group) เป็นกลุ่มสมมาตรสมบูรณ์ของทฤษฎีสนามสัมพัทธภาพ ใดๆ ดังนั้นอนุภาคพื้นฐาน ทั้งหมด จึงอยู่ในกลุ่มแทนของกลุ่มนี้โดยปกติแล้วกลุ่มแทนเหล่านี้จะระบุด้วยโมเมนตัมสี่มิติยกกำลังสองของแต่ละอนุภาค (เช่น มวลยกกำลังสอง) และเลขควอนตัม ภายใน${\textstyle J^{PC}}$, ที่ไหน${\displaystyle J}$คือเลขควอนตัมสปิน${\displaystyle P}$คือความเท่าเทียมกันและ${\displaystyle C}$คือ เลขควอนตัม การผันประจุในทางปฏิบัติ การผันประจุและสมมาตรพาริตีถูกละเมิดโดยทฤษฎีสนามควอนตัม หลายทฤษฎี ซึ่งในกรณีดังกล่าว${\displaystyle P}$และ${\displaystyle C}$ถูกริบ เนื่องจากสมมาตร CPTไม่เปลี่ยนแปลงในทฤษฎีสนามควอนตัม จึงสามารถสร้างเลขควอนตัมย้อนกลับเวลาได้ จากเลขควอนตัมที่กำหนดให้

ในฐานะพื้นที่เชิงโทโพโลยีกลุ่มนี้มีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันสี่ส่วน ได้แก่ ส่วนประกอบของเอกลักษณ์ ส่วนประกอบที่ย้อนเวลา ส่วนประกอบที่ผกผันเชิงพื้นที่ และส่วนประกอบที่ทั้งย้อนเวลาและผกผันเชิงพื้นที่^{[ 9 ]}

นิยามข้างต้นสามารถขยายไปสู่มิติใดๆ ได้อย่างง่ายดาย กลุ่มปวงกาเร dมิติ ถูกกำหนดในทำนองเดียวกันโดยผลคูณกึ่งตรง

${\displaystyle \operatorname {IO} (1,d-1):=\mathbf {R} ^{1,d-1}\rtimes \operatorname {O} (1,d-1)}$

ด้วยการคูณแบบเดียวกัน

${\displaystyle (\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)}$[ ^{6 ]​}

พีชคณิตลี (Lie algebra) ยังคงอยู่ในรูปแบบเดิม โดยดัชนีµและνจะมีค่าอยู่ระหว่าง0ถึงd − 1ส่วนการแสดงแทนแบบอื่นในรูปของJ และK นั้นไม่มีรูปแบบที่เทียบเคียงได้ในมิติที่สูงกว่า

• อนุภาคหมุนต่อเนื่อง
• กลุ่มยุคลิด
• กลุ่มกาลิลี
• ฟิสิกส์อนุภาคและทฤษฎีการแทน
• เวกเตอร์เทียมของ Pauli–Lubanski
• ทฤษฎีการแทนของกลุ่มปวงกาเร
• พีชคณิตซูเปอร์ปวงกาเร
• สมมาตรในกลศาสตร์ควอนตัม
• การจำแนกประเภทของวิกเนอร์