แบบจำลองการกระจายจุดเป็นแบบจำลองที่ใช้ในการแสดงค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของรูปทรง และรูปแบบทางสถิติบางประการของการเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิตที่ได้มาจากการวิเคราะห์ชุดรูปทรงที่ใช้ในการฝึกฝน

แนวคิดโมเดลการกระจายจุดได้รับการพัฒนาโดย Cootes ^{[ 1 ]} Taylor et al. ^{[ 2 ]}และกลายเป็นมาตรฐานในคอมพิวเตอร์วิชั่นสำหรับการศึกษาทางสถิติของรูปร่าง^{[ 3 ]}และสำหรับการแบ่งส่วนภาพทางการแพทย์^{[ 2 ]} ซึ่งรูปร่างก่อนหน้าช่วยในการตีความ พิกเซล / ว็อกเซลที่มีสัญญาณรบกวนและความคมชัดต่ำประเด็นหลังนี้นำไปสู่โมเดลรูปร่างแบบแอคทีฟ (ASM) และโมเดลลักษณะที่ปรากฏแบบแอคทีฟ (AAM)

แบบจำลองการกระจายจุดอาศัยจุดอ้างอิง จุดอ้างอิงคือจุดที่นักกายวิภาคกำหนดไว้บนตำแหน่งที่กำหนดสำหรับรูปร่างแต่ละแบบในชุดข้อมูลฝึกฝน ตัวอย่างเช่น จุดอ้างอิงเดียวกันจะกำหนดปลายนิ้วชี้ในชุดข้อมูลฝึกฝนโครงร่างมือ 2 มิติการวิเคราะห์องค์ประกอบหลัก (PCA) เป็นเครื่องมือที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาความสัมพันธ์ของการเคลื่อนไหวระหว่างกลุ่มจุดอ้างอิงในชุดข้อมูลฝึกฝน โดยทั่วไปแล้ว อาจตรวจพบว่าจุดอ้างอิงทั้งหมดที่อยู่ตามแนวนิ้วเดียวกันเคลื่อนที่ไปพร้อมกันอย่างแม่นยำในตัวอย่างชุดข้อมูลฝึกฝนที่แสดงระยะห่างของนิ้วที่แตกต่างกันสำหรับชุดมือที่อยู่ในท่าราบ

ขั้นแรก ชุดภาพฝึกฝนจะถูกกำหนดจุดสังเกตด้วยตนเอง โดยมีจำนวนจุดสังเกตที่สอดคล้องกันมากพอที่จะประมาณรูปทรงเรขาคณิตของรูปร่างดั้งเดิมได้อย่างเพียงพอ จุดสังเกตเหล่านี้จะถูกจัดเรียงโดยใช้การวิเคราะห์โปรครัสเตสแบบทั่วไปซึ่งจะลดข้อผิดพลาดกำลังสองน้อยที่สุดระหว่างจุดต่างๆ ให้เหลือน้อยที่สุด

${\displaystyle k}$จุดสังเกตที่จัดเรียงกันในสองมิติจะแสดงดังนี้

${\displaystyle \mathbf {X} =(x_{1},y_{1},\ldots ,x_{k},y_{k})}$.

สิ่งสำคัญที่ควรทราบคือ จุดสังเกตแต่ละจุดควรแสดงถึงตำแหน่งทางกายวิภาคเดียวกัน ตัวอย่างเช่น จุดสังเกตหมายเลข 3 อาจแสดงถึงปลายของนิ้วนางในภาพฝึกฝนทั้งหมด ${\displaystyle i\in \lbrace 1,\ldots k\rbrace }$${\displaystyle (x_{3},y_{3})}$

ตอนนี้โครงร่างของรูปทรงถูกลดทอนลงเหลือเพียงลำดับของจุดสังเกต ดังนั้นรูปทรงฝึกฝนที่กำหนดจึงถูกกำหนดเป็นเวกเตอร์โดยสมมติว่าการกระจัดกระจายเป็นแบบเกาส์เซียนในพื้นที่นี้ จะใช้ PCA ในการคำนวณเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะ และค่าลักษณะเฉพาะที่ทำให้เป็นมาตรฐานของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมสำหรับรูปทรงฝึกฝนทั้งหมด เมทริกซ์ของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอันดับต้น ๆจะแสดงเป็นและแต่ละเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะอธิบายโหมดหลักของการเปลี่ยนแปลงตามเซต ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{2k}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbf {P} \in \mathbb {R} ^{2k\times d}}$

สุดท้ายนี้ จะใช้ การรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเพื่อกำหนดรูปร่างใหม่ซึ่งนิยามทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้: ${\displaystyle \mathbf {X} '}$

${\displaystyle \mathbf {X} '={\overline {\mathbf {X} }}+\mathbf {P} \mathbf {b} }$

โดยที่ถูกกำหนดให้เป็นรูปร่างเฉลี่ยของภาพฝึกฝนทั้งหมด และคือเวกเตอร์ของค่าการปรับขนาดสำหรับแต่ละองค์ประกอบหลัก ดังนั้น การปรับเปลี่ยนตัวแปรจะทำให้สามารถกำหนดรูปร่างได้ไม่จำกัดจำนวน เพื่อให้แน่ใจว่ารูปร่างใหม่ทั้งหมดอยู่ภายในขอบเขตความแปรปรวนที่พบในชุดข้อมูลฝึกฝน โดยทั่วไปจึงอนุญาตให้แต่ละองค์ประกอบของอยู่ภายใน3 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่านั้น โดยที่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานขององค์ประกอบหลักที่กำหนดจะถูกกำหนดให้เป็นรากที่สองของค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกัน ${\displaystyle {\overline {\mathbf {X} }}}$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \pm }$

PDM สามารถขยายไปยังจำนวนมิติใดๆ ก็ได้ แต่โดยทั่วไปจะใช้ในแอปพลิเคชันภาพ 2 มิติและปริมาตร 3 มิติ (โดยที่จุดสำคัญแต่ละจุดคือหรือ) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (eigenvector) เมื่อตีความในปริภูมิยุคลิดสามารถมองได้ว่าเป็นลำดับของเวกเตอร์ยุคลิดที่เชื่อมโยงกับจุดสังเกตที่สอดคล้องกัน และกำหนดการเคลื่อนที่แบบผสมสำหรับรูปร่างทั้งหมด การเปลี่ยนแปลงแบบไม่เชิงเส้นโดยรวมมักได้รับการจัดการอย่างดี ตราบใดที่การเปลี่ยนแปลงแบบไม่เชิงเส้นอยู่ในระดับที่เหมาะสม โดยทั่วไปแล้ว หนอน ตัวกลมที่ บิดตัว จะถูกใช้เป็นตัวอย่างในการสอนวิธีการที่ใช้ PCA แบบเคอร์เนล${\displaystyle k}$

เนื่องจากคุณสมบัติของ PCA: เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะตั้ง ฉากซึ่งกันและกัน สร้างฐานของกลุ่มจุดในชุดข้อมูลฝึกฝนในปริภูมิรูปร่าง และตัดกันที่จุด 0 ในปริภูมินี้ ซึ่งแสดงถึงรูปร่างเฉลี่ย นอกจากนี้ PCA ยังเป็นวิธีการดั้งเดิมในการปรับทรงรีปิดให้เข้ากับกลุ่มจุดแบบเกาส์เซียน (ไม่ว่าจะมีมิติเท่าใดก็ตาม) ซึ่งชี้ให้เห็นถึงแนวคิดของการแปรผันที่มีขอบเขต

แนวคิดเบื้องหลัง PDM คือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสามารถรวมกันเชิงเส้นเพื่อสร้างอินสแตนซ์รูปร่างใหม่จำนวนอนันต์ที่จะ 'ดูเหมือน' อินสแตนซ์ในชุดฝึกอบรม สัมประสิทธิ์มีขอบเขตเช่นเดียวกับค่าของค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกัน เพื่อให้แน่ใจว่าจุด 2n/3n มิติที่สร้างขึ้นจะยังคงอยู่ในโดเมนที่อนุญาตของไฮเปอร์เอลลิปซอยด์— โดเมนรูปร่างที่อนุญาต (ASD) ^{[ 2 ]}

• การวิเคราะห์แบบโพรครัสเตส

• โมเดลที่ยืดหยุ่นสำหรับการประมวลผลภาพด้วยคอมพิวเตอร์โดย ทิม คูทส์ มหาวิทยาลัยแมนเชสเตอร์
• บทนำเชิงปฏิบัติเกี่ยวกับ PDM และ ASM