ในทฤษฎีจำนวนข้อสันนิษฐานของ Polignacถูกสร้างขึ้นโดยAlphonse de Polignacในปี พ.ศ. 2392 และระบุว่า: ^{[ 1 ]}

สำหรับจำนวนคู่บวกn ใดๆ จะมีช่องว่างจำนวน เฉพาะ ที่มีขนาดn อยู่เป็นอนันต์ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีกรณีจำนวนเฉพาะสองจำนวน ที่เรียงติดกัน ซึ่งมีผลต่างเท่ากับnอยู่เป็น อนันต์ ^{[ 2 ]}

แม้ว่าข้อสันนิษฐานนี้ยังไม่ได้รับการพิสูจน์หรือหักล้างสำหรับค่าn ใดๆ ก็ตาม แต่ในปี 2013 Yitang Zhang ได้สร้างความก้าวหน้าครั้งสำคัญ โดย พิสูจน์ว่ามีช่องว่าง จำนวนเฉพาะ ที่มีขนาดn อยู่เป็นอนันต์ สำหรับค่าn บางค่า ที่น้อยกว่า 70,000,000 ^{[ 3 ] [ 4 ]}ต่อมาในปีเดียวกันJames Maynardได้ประกาศความก้าวหน้าที่เกี่ยวข้อง ซึ่งพิสูจน์ว่ามีช่องว่างจำนวนเฉพาะที่มีขนาดน้อยกว่าหรือเท่ากับ 600 อยู่เป็นอนันต์^{[ 5 ]}ณ วันที่ 14 เมษายน 2014 หนึ่งปีหลังจากที่ Zhang ประกาศ ตามข้อมูลจากวิกิของโครงการ Polymathค่าnลดลงเหลือ 246 ^{[ 6 ]}นอกจากนี้ หากสมมติว่าข้อสันนิษฐานของ Elliott–Halberstamและรูปแบบทั่วไปของมันเป็นจริง วิกิของโครงการ Polymath ระบุว่าค่าnลดลงเหลือ 12 และ 6 ตามลำดับ^{[ 7 ]}

สำหรับn = 2 มันคือข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะคู่แฝดสำหรับn = 4 มันกล่าวว่ามีจำนวนเฉพาะลูกพี่ลูกน้อง ( p , p + 4) อยู่เป็นอนันต์ สำหรับn = 6 มันกล่าวว่ามีจำนวนเฉพาะเซ็กซี่ ( p , p + 6) อยู่เป็นอนันต์ โดยไม่มีจำนวนเฉพาะใดอยู่ระหว่างpและp + 6           

ข้อสันนิษฐานของดิกสันเป็นการขยายข้อสันนิษฐานของโปลิญักให้ครอบคลุมกลุ่มดาวจำนวนเฉพาะทั้งหมด

ในปี พ.ศ. 2509 เฉิน จิงรุนได้พิสูจน์สมมติฐานของโปลิญักเวอร์ชันที่อ่อนกว่าเล็กน้อย: มีจำนวนเฉพาะp มากมาย นับไม่ถ้วนที่p+kเป็นจำนวนเฉพาะหรือ จำนวน ที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสองที่มีตัวประกอบเฉพาะไม่เกิน 2 ตัว (จำนวนกึ่งเฉพาะ ) ^{[ 8 ]}

อนุญาต${\displaystyle \pi _{n}(x)}$สำหรับn คู่ ให้เป็นจำนวนช่องว่างของจำนวนเฉพาะที่มีขนาดn ต่ำกว่าx

ข้อสันนิษฐาน แรกของ Hardy–Littlewoodกล่าวว่าความหนาแน่นเชิงอะซิมโทติกมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle \pi _{n}(x)\sim 2C_{n}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{n}\int _{2}^{x}{dt \over (\ln t)^{2}}}$

โดยที่C เป็นฟังก์ชันของnและ${\displaystyle \sim }$หมายความว่าผลหารของนิพจน์สองนิพจน์มีแนวโน้มเข้าใกล้ 1 เมื่อxเข้าใกล้อนันต์^{[ 9 ]}

C คือค่าคงที่ไพรม์คู่แฝด

${\displaystyle C_{2}=\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}\approx 0.660161815846869573927812110014\dots }$

โดยที่ผลคูณนั้นครอบคลุมจำนวนเฉพาะp ≥ 3 ทั้งหมด

C คือC คูณด้วยจำนวนที่ขึ้นอยู่กับตัวประกอบเฉพาะคี่qของn :

${\displaystyle C_{n}=C_{2}\prod _{q|n}{\frac {q-1}{q-2}}.}$

ตัวอย่างเช่นC = C และC = 2 C จำนวนเฉพาะแฝดมีความหนาแน่นที่คาดการณ์ไว้เท่ากับจำนวนเฉพาะญาติ และเป็นครึ่งหนึ่งของจำนวนเฉพาะเซ็กซี่

โปรดทราบว่าตัวประกอบเฉพาะคี่qของn แต่ละตัว จะเพิ่มความหนาแน่นที่คาดการณ์ไว้เมื่อเทียบกับจำนวนเฉพาะคู่แฝดเป็นปัจจัยหนึ่ง${\displaystyle {\tfrac {q-1}{q-2}}}$ต่อไปนี้เป็น ข้อโต้แย้งเชิงอนุมานซึ่งอาศัยสมมติฐานที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ ดังนั้นข้อสรุปจึงยังคงเป็นเพียงการคาดเดา โอกาสที่จำนวนเฉพาะคี่q ที่สุ่มมา จะหารaหรือa + 2 ในคู่จำนวนเฉพาะแฝด "ที่เป็นไปได้" นั้นคือ${\displaystyle {\tfrac {2}{q}}}$เนื่องจากqหารจำนวนใดจำนวนหนึ่งในqจำนวน ตั้งแต่aถึงa  + q − 1 ลงตัว ทีนี้สมมติว่าqหารn ลงตัว และพิจารณาคู่จำนวนเฉพาะที่เป็นไปได้ ( a , a + n ) qหารa + n ลงตัว ก็ต่อเมื่อq หาร aลงตัวและโอกาสที่จะเป็นเช่นนั้นคือ         ${\displaystyle {\tfrac {1}{q}}}$โอกาสที่ ( a , a + n ) จะปราศจากปัจจัยqหารด้วยโอกาสที่ ( a , a + 2 ) จะปราศจากqจะได้เป็น     ${\displaystyle {\tfrac {q-1}{q}}}$หารด้วย${\displaystyle {\tfrac {q-2}{q}}}$นี่เท่ากับ${\displaystyle {\tfrac {q-1}{q-2}}}$ซึ่งนำไปสู่ความหนาแน่นของจำนวนเฉพาะที่คาดการณ์ไว้ ในกรณีที่n  =  6 ข้อโต้แย้งจะง่ายขึ้นเป็น: ถ้าaเป็นจำนวนสุ่ม 3 จะมีโอกาส 2/3 ที่จะหารaหรือa  +  2 ลงตัว แต่มีโอกาสเพียง 1/3 ที่จะหารaและa  +  6 ลงตัว ดังนั้นจึงคาดการณ์ว่าคู่หลังมีโอกาสเป็นจำนวนเฉพาะมากกว่าสองเท่า