ในทฤษฎีจำนวน ข้อสันนิษฐานของโปลยา ( หรือข้อสันนิษฐานของโปลยา ) ระบุว่า "ส่วนใหญ่" (เช่น 50% หรือมากกว่า) ของจำนวนธรรมชาติที่น้อยกว่าจำนวนใดๆ ที่กำหนดจะมี ตัวประกอบ เฉพาะเป็นจำนวนคี่ ข้อสันนิษฐานนี้ถูกตั้งขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฮังการีจอร์จ โปลยาในปี 1919 ^{[ 1 ]}และได้รับการพิสูจน์ว่าไม่เป็นความจริงในปี 1958 โดยซี. ไบรอัน ฮาเซลโกรฟ แม้ว่านักคณิตศาสตร์มักจะเรียกข้อความนี้ว่าข้อสันนิษฐานของโปลยา แต่โปลยาไม่เคยสันนิษฐานว่าข้อความนี้เป็นจริงเลย แต่เขาแสดงให้เห็นว่าความจริงของข้อความนี้จะบ่งชี้ถึงสมมติฐานของรีมันน์ด้วยเหตุนี้ จึงเรียกได้อย่างถูกต้องกว่าว่า " ปัญหาของโปลยา "

ขนาดของตัวอย่างคัดค้าน ที่เล็กที่สุด มักถูกใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าสมมติฐานสามารถเป็นจริงได้ในหลายกรณีแต่ยังคงไม่เป็นจริงโดยทั่วไป^{[ 2 ]}ซึ่งเป็นตัวอย่างของ กฎที่แข็งแกร่งของ จำนวนน้อย

สมมติฐานของโปลยากล่าวว่า สำหรับใดๆ${\displaystyle n>1}$ถ้าจำนวนธรรมชาติมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ${\displaystyle n}$จำนวน เฉพาะ (ไม่รวม 0) จะถูกแบ่งออกเป็นกลุ่มที่มีจำนวนตัวประกอบเฉพาะเป็นเลขคี่ และกลุ่มที่มีจำนวนตัวประกอบ เฉพาะเป็นเลขคู่โดยกลุ่มแรกจะมีจำนวนสมาชิกอย่างน้อยเท่ากับกลุ่มหลัง ตัวประกอบเฉพาะที่ซ้ำกันจะนับซ้ำ เช่น เรากล่าวว่า 18 = 2 × 3 × 3 มีจำนวนตัวประกอบเฉพาะเป็นเลขคี่ ในขณะที่ 60 = 2 × 2 × 3 × 5 มีจำนวนตัวประกอบเฉพาะเป็นเลขคู่          

ในทำนองเดียวกัน สามารถกล่าวได้ในรูปของฟังก์ชัน Liouville แบบผลรวม โดยมีข้อสันนิษฐานว่า

${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leq 0}$

สำหรับทุกคน${\displaystyle n>1}$. ที่นี่,${\displaystyle \lambda (k)=(-1)^{\โอเมก้า (k)}}$, ที่ไหน${\displaystyle \Omega (k)}$นับจำนวนตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของ${\displaystyle k}$. ดังนั้น${\displaystyle \lambda (k)}$จะเป็นค่าบวกหากจำนวนตัวประกอบเฉพาะของ${\displaystyle k}$ถ้าเป็นเลขคู่ จะเป็นเลขลบ และถ้าเป็นเลขคี่จะเป็นเลขลบ

สมมติฐานของ Pólya ถูกหักล้างโดยC. Brian Haselgrove ใน ^ปีพ.ศ. 2491 เขาแสดงให้เห็นว่าสมมติฐานดังกล่าวมีตัวอย่างค้าน ซึ่งเขาประมาณไว้ที่ประมาณ 1.845 × 10 ^{361 [ 3} ]  

ตัวอย่างคัดค้านที่ชัดเจน (ที่เล็กกว่ามาก) ของn = 906,180,359 ได้รับการเสนอโดยR. Sherman Lehmanในปี 1960 ^{[ 4 ]}ตัวอย่างคัดค้านที่เล็กที่สุดคือn = 906,150,257 ซึ่งพบโดย Minoru Tanaka ในปี 1980 ^{[ 5 ]}

ข้อสันนิษฐานนี้ไม่เป็นจริงสำหรับค่าn ส่วนใหญ่ ในช่วง 906,150,257 ≤ n ≤ 906,488,079 ในช่วงนี้ฟังก์ชัน Liouville แบบผลรวม จะมีค่าสูงสุดที่ 829 เมื่อn = 906,316,571

ปีเตอร์ ฮัมฟรีย์แสดงให้เห็นว่า

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\dfrac {L(n)}{\sqrt {n}}}\leq -1.389278414\cdots ,\quad \limsup _{n\to \infty }{\dfrac {L(n)}{\sqrt {n}}}\geq 0.061867262\cdots .}$^{[ n 1 ]}

เขายังแสดงให้เห็นอีกว่า ภายใต้สมมติฐานบางประการ รวมถึงสมมติฐานของรีมันน์เซตของตัวเลข${\displaystyle n}$โดยที่${\displaystyle L(n)>0}$มีความหนาแน่นลอการิทึม${\displaystyle 0<\delta \leq {\dfrac {1}{2}}}$[ ^{n 2 ]}การให้เหตุผลเชิงอนุมานชี้ให้เห็นว่าเซตนี้มีความหนาแน่นลอการิทึมประมาณ 0.00012 ^{[ n 3 ]}

• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "Pólya Conjecture" . แมทเวิลด์ .