กลุ่มจุด ที่เลือกในสามมิติ

สมมาตรการผกผัน C s , (*) [ ] =	สมมาตรแบบวัฏจักร C nv , (*nn) [n] =	สมมาตรไดเฮดรัล D nh , (*n22) [n,2] =
กลุ่มทรงหลายเหลี่ยม , [n,3], (*n32)
สมมาตรทรงสี่หน้า T d , (*332) [3,3] =	สมมาตรทรงแปดเหลี่ยม O h , (*432) [4,3] =	สมมาตรไอโคซาเฮดรัล I h , (*532) [5,3] =

ในทางเรขาคณิตกลุ่มทรงหลายเหลี่ยมคือกลุ่มสมมาตรของทรงหลายเหลี่ยมเพลโต

มีกลุ่มทรงหลายเหลี่ยมอยู่สามกลุ่ม:

• กลุ่มเตตระเฮดรัลลำดับที่ 12 กลุ่มสมมาตรการหมุนของ เต ตระ เฮดรัลปกติมันมีโครงสร้างเหมือนกับA ₄
  • กลุ่มการผันแปรของ T คือ:
    • ตัวตน
    • หมุน 4 ครั้ง ครั้งละ 120° ลำดับที่ 3 ตามเข็มนาฬิกา
    • หมุน 4 ครั้ง ครั้งละ 120° ลำดับที่ 3 ทวนเข็มนาฬิกา
    • หมุน 180° จำนวน 3 ครั้ง ลำดับที่ 2
• กลุ่มทรงแปดเหลี่ยมลำดับที่ 24 กลุ่มสมมาตรการหมุนของลูกบาศก์และทรง แปดเหลี่ยมปกติมันมีโครงสร้างเหมือนกับS ₄
  • กลุ่มการผันแปรของ O คือ:
    • ตัวตน
    • หมุน 6 ครั้งด้วยมุม ±90° รอบจุดยอด ลำดับที่ 4
    • หมุน 8 ครั้งด้วยมุม ±120° รอบจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยม ลำดับที่ 3
    • หมุน 180° รอบจุดยอด 3 ครั้ง ลำดับที่ 2
    • หมุน 6 ครั้ง ครั้งละ 180° รอบจุดกึ่งกลางของขอบ ลำดับที่ 2
• กลุ่มไอโคซาเฮดรอลลำดับที่ 60 กลุ่มสมมาตรการหมุนของทรงสิบสองเหลี่ยมปกติและทรง ไอโคซาเฮดรอลปกติมันมีโครงสร้างเหมือนกับA ₅
  • กลุ่มการผันคำกริยา I ได้แก่:
    • ตัวตน
    • หมุน 12 ครั้งด้วยมุม ±72° ลำดับที่ 5
    • หมุน 12 ครั้งด้วยมุม ±144° ลำดับที่ 5
    • หมุน 20 ครั้งด้วยมุม ±120° ลำดับที่ 3
    • หมุน 180° จำนวน 15 ครั้ง ลำดับที่ 2

สมมาตรเหล่านี้เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าเป็น 24, 48, 120 ตามลำดับสำหรับกลุ่มการสะท้อนทั้งหมด สมมาตรการสะท้อนมีกระจก 6, 9 และ 15 ตามลำดับ สมมาตรทรงแปดเหลี่ยม [4,3] สามารถมองได้ว่าเป็นการรวมกันของกระจกสมมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 6 บาน [3,3] และกระจกสมมาตรไดเฮดรัล Dih ₂ 3 บาน [2,2] สมมาตรทรงไพริโทเฮดรัลเป็นการเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าของสมมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าอีกครั้ง

ชั้นการสมมูลของสมมาตรทรงสี่หน้าสมบูรณ์T _d ≅ S ₄คือ:

• ตัวตน
• หมุน 8 ครั้ง ครั้งละ 120°
• หมุน 3 ครั้ง ครั้งละ 180°
• 6. การสะท้อนในระนาบที่ผ่านแกนหมุนสองแกน
• 6 × การสะท้อนของโรเตอร์ 90°

กลุ่มสมมาตรแบบไพริโทเฮดรัล T _hประกอบด้วยกลุ่ม T โดยมีกลุ่ม 4 สองกลุ่มรวมกัน และแต่ละกลุ่มมีการผกผัน:

• ตัวตน
• หมุน 8 ครั้ง ครั้งละ 120°
• หมุน 3 ครั้ง ครั้งละ 180°
• การผกผัน
• 8 × การสะท้อนของโรเตอร์ที่ 60°
• 3 × การสะท้อนในระนาบ

ชั้นคอนจูเกซีของกลุ่มออกตาเฮดรัลสมบูรณ์O _h ≅ S ₄ × C ₂คือ:

• การผกผัน
• 6 × การสะท้อนของโรเตอร์ 90°
• 8 × การสะท้อนของโรเตอร์ที่ 60°
• การสะท้อน 3 เท่าในระนาบที่ตั้งฉากกับแกนสมมาตร 4 เท่า
• 6 × การสะท้อนในระนาบที่ตั้งฉากกับแกน 2 เท่า

ชั้นการสมมูลของสมมาตรทรงยี่สิบหน้าสมบูรณ์I _h ≅ A ₅ × C ₂ยังรวมถึงแต่ละชั้นที่มีการผกผันด้วย:

• การผกผัน
• 12 × การสะท้อนของโรเตอร์ที่ 108° ลำดับที่ 10
• 12 × การสะท้อนของโรเตอร์ที่ 36° ลำดับที่ 10
• 20 × การสะท้อนของโรเตอร์ที่ 60° ลำดับที่ 6
• การสะท้อน 15 เท่า ลำดับที่ 2

กลุ่มโพลีเฮดรอลไครัล

ชื่อ ( ออร์บ )	สัญกรณ์ค็อกซ์เตอร์	คำสั่ง	โครงสร้าง นามธรรม	จุดหมุน# วาเลนซ์	แผนภาพ
					ตั้งฉาก	ภาพสามมิติ
ที (332)	[3,3] +	12	เอ4	4 3 3 2
T h (3*2)	[4,3 + ]	24	A 4 × C 2	4 3 3 *2
โอ (432)	[4,3] +	24	เอส4	3 4 4 3 6 2
ฉัน (532)	[5,3] +	60	เอ5	6 5 10 3 15 2

กลุ่มทรงหลายเหลี่ยมสมบูรณ์

เวย์ลสโค ( ออร์บ )	สัญกรณ์ค็อกซ์เตอร์	คำสั่ง	โครงสร้าง นามธรรม	หมายเลขค็อกซ์เตอร์ (ชั่วโมง)	กระจก (ม.)	แผนภาพสะท้อน
						ตั้งฉาก	ภาพสามมิติ
A 3 T d (*332)	[3,3]	24	เอส4	4	6
B 3 O h (*432)	[4,3]	48	S 4 × C 2	8	3>6
H 3 I h (*532)	[5,3]	120	A 5 × C 2	10	15

• สัญลักษณ์ไวทอฟฟ์
• รายชื่อกลุ่มสมมาตรทรงกลม

• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "PolyhedralGroup" . แมทเวิลด์ .