ในทางคณิตศาสตร์เลมนิสเคทพหุนามหรือเส้นโค้งระดับพหุนามคือเส้นโค้งพีชคณิต ระนาบดีกรี 2n ซึ่ง สร้าง ขึ้นจากพหุนามpที่มีสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนดีกรีn

สำหรับพหุนามp ใดๆ และจำนวนจริงบวกc ใดๆ เราสามารถกำหนดเซตของจำนวนเชิงซ้อน ได้ โดยเซตของจำนวนเหล่านี้สามารถเทียบเท่ากับจุดในระนาบพิกัดคาร์ทีเซียนจริง ซึ่งนำไปสู่เส้นโค้งพีชคณิตƒ ( x ,  y ) =  c ²ที่มีดีกรี 2 nซึ่งเป็นผลมาจากการกระจายออกใน รูปของz  =  x  +  iy${\displaystyle |p(z)|=c.}$${\displaystyle p(z){\bar {p}}({\bar {z}})}$

เมื่อpเป็นพหุนามดีกรี 1 เส้นโค้งที่ได้จะเป็นเพียงวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ค่าศูนย์ของpเมื่อpเป็นพหุนามดีกรี 2 เส้นโค้งจะเป็นรูปวงรีแคสสินี

ข้อสันนิษฐานของErdősซึ่งได้รับความสนใจอย่างมากเกี่ยวข้องกับความยาวส่วนโค้ง สูงสุด ของเลมนิสเคตพหุนามƒ ( x ,  y ) = 1 ที่มีดีกรี 2 nเมื่อpเป็นพหุนามเอกลักษณ์ ซึ่ง Erdős ตั้งข้อสันนิษฐานว่าเกิดขึ้นเมื่อp ( z ) = z ⁿ  − 1 ข้อสันนิษฐานนี้ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ แต่ Fryntov และNazarovได้พิสูจน์แล้วว่าpให้ค่าสูงสุดเฉพาะที่^{[ 1 ]}ในกรณีที่n  = 2 เลมนิสเคตของ Erdős คือเลมนิสเคตของ Bernoulli

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2(x^{2}-y^{2})\,}$

และได้รับการพิสูจน์แล้วว่านี่คือความยาวสูงสุดในระดับสี่อย่างแท้จริง เลมนิสเคทของเออร์โดสมี จุด nเท่าธรรมดา 3 จุด โดยจุดหนึ่งอยู่ที่จุดกำเนิด และมีจีนัสเท่ากับ ( n  − 1)( n  − 2)/2 เมื่อกลับด้านเลมนิสเคทของเออร์โดสในวงกลมหน่วยจะได้เส้นโค้งที่ไม่เอกฐานที่มี  ดีกรี n

โดยทั่วไปแล้ว เลมนิสเคทพหุนามจะไม่สัมผัสที่จุดกำเนิด และจะมี จุดเอกฐานแบบ n เท่าธรรมดาเพียงสองจุดเท่านั้น ดังนั้นจึงมีจีนัสเท่ากับ ( n  − 1) ^²เนื่องจากเป็นเส้นโค้งจริง มันจึงอาจมีส่วนประกอบที่ไม่เชื่อมต่อกันได้หลายส่วน ดังนั้น มันจึงดูไม่เหมือนเลมนิสเคททำให้ชื่อนี้เป็นชื่อที่ไม่ถูกต้องนัก

ตัวอย่างที่น่าสนใจของเลมนิสเคตพหุนามดังกล่าวคือเส้นโค้งแมนเดลบร็อต ถ้าเรากำหนดp = zและp = p ²  +  zแล้วเลมนิสเคตพหุนามที่สอดคล้องกัน M ที่กำหนดโดย | p ( z )| = 2 จะลู่เข้าสู่ขอบเขตของเซตแมนเดลบร็อต [ ^{2 ] เส้น} โค้งแมนเดลบร็อตมีดีกรี 2 ⁿ⁺ 1 ^{[ 3 ]}