ตัวอย่างเช่น เราจะสรุปการพิสูจน์ของ Dvir เกี่ยวกับทฤษฎีบท Kakeya ของฟิลด์จำกัดโดยใช้วิธีพหุนาม^{[ 3 ]}

สมมติฐานคาเคยะเกี่ยวกับฟิลด์จำกัด : ให้${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$เป็นฟิลด์จำกัดที่มี${\displaystyle q}$องค์ประกอบต่างๆ ปล่อยให้${\displaystyle K\subseteq \mathbb {F} _{q}^{n}}$เป็นเซตคาเคยะ กล่าวคือ สำหรับแต่ละเวกเตอร์${\displaystyle y\in \mathbb {F} _{q}^{n}}$มีอยู่จริง${\displaystyle x\in \mathbb {F} _{q}^{n}}$โดยที่${\displaystyle K}$ประกอบด้วยบรรทัด${\displaystyle \{x+ty,t\in \mathbb {F} _{q}\}}$จากนั้นชุดก็${\displaystyle K}$มีขนาดอย่างน้อย${\displaystyle c_{n}q^{n}}$ที่ไหน${\displaystyle c_{n}>0}$เป็นค่าคงที่ที่ขึ้นอยู่กับเท่านั้น${\displaystyle n}$.

หลักฐาน: หลักฐานที่เราจะนำเสนอจะแสดงให้เห็นว่า${\displaystyle K}$มีขนาดอย่างน้อย${\displaystyle c_{n}q^{n-1}}$ขอบเขตของ${\displaystyle c_{n}q^{n}}$สามารถทำได้โดยใช้วิธีเดียวกัน แต่ต้องเพิ่มขั้นตอนอีกเล็กน้อย

สมมติว่าเรามีเซตคาเคยะ${\displaystyle K}$กับ

${\displaystyle |K|<{q+n-3 \choose n-1}}$

พิจารณาเซตของเอกนามที่มีรูปแบบดังนี้${\displaystyle x_{1}^{d_{1}}x_{2}^{d_{2}}\dots x_{n}^{d_{n}}}$ของระดับที่แน่นอน${\displaystyle q-2}$มีอยู่ทั้งหมด${\displaystyle {q+n-3 \choose n-1}}$เอกนามดังกล่าว ดังนั้นจึงมีพหุนามเอกพันธุ์ ที่ไม่เป็นศูนย์อยู่${\displaystyle P(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ของปริญญา${\displaystyle q-2}$ที่หายไปในทุกจุด${\displaystyle K}$โปรด ทราบว่านี่เป็นเพราะการหาพหุนามดังกล่าวจะลดลงเหลือเพียงการแก้ระบบสมการ${\displaystyle |K|}$สมการเชิงเส้นสำหรับสัมประสิทธิ์

ตอนนี้เราจะใช้คุณสมบัติที่ว่า${\displaystyle K}$เป็นชุดคาเคยะที่จะแสดงให้เห็นว่า${\displaystyle P}$ต้องหายไปจากทุกสิ่ง${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}}$ชัดเจน${\displaystyle P(0,0\dots ,0)=0}$ต่อไป สำหรับ${\displaystyle y\neq 0}$มีอยู่${\displaystyle x}$โดยที่เส้นนั้น${\displaystyle \{x+ty,t\in \mathbb {F} _{q}\}}$บรรจุอยู่ใน${\displaystyle K}$. เนื่องจาก${\displaystyle P}$เป็นเนื้อเดียวกัน ถ้า${\displaystyle P(z)=0}$สำหรับบางคน${\displaystyle z\in \mathbb {F} _{q}^{n}}$แล้ว${\displaystyle P(cz)=0}$สำหรับใดๆ${\displaystyle c\in \mathbb {F} _{q}}$โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

${\displaystyle P(tx+y)=P(t(x+t^{-1}y))=0}$

สำหรับทุกค่าที่ไม่เป็นศูนย์${\displaystyle t\in \mathbb {F} _{q}}$. อย่างไรก็ตาม,${\displaystyle P(tx+y)}$เป็นพหุนามดีกรี${\displaystyle q-2}$ใน${\displaystyle t}$แต่อย่างน้อยมันก็มี${\displaystyle q-1}$รากที่สอดคล้องกับองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ของ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ดังนั้นมันจึงต้องเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การเสียบปลั๊กเข้าไป${\displaystyle t=0}$เราสรุปได้ว่า${\displaystyle P(y)=0}$.

เราได้แสดงให้เห็นแล้วว่า${\displaystyle P(y)=0}$สำหรับทุกคน${\displaystyle y\in \mathbb {F} _{q}^{n}}$แต่${\displaystyle P}$มีระดับน้อยกว่า${\displaystyle q-1}$ในแต่ละตัวแปร ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ตามทฤษฎีบทของ Schwartz–Zippelเราจึงสรุปได้ว่าเราต้องมีจริงๆ

${\displaystyle |K|\geq {q+n-3 \choose n-1}\sim {\frac {q^{n-1}}{(n-1)!}}}$

วิธีการพหุนามรูปแบบหนึ่ง ซึ่งมักเรียกว่าการแบ่งส่วนพหุนาม ได้รับการแนะนำโดย Guth และ Katz ในการแก้ปัญหาระยะทางที่แตกต่างกันของ Erdős [ ^{4 ] การ}แบ่งส่วนพหุนามเกี่ยวข้องกับการใช้พหุนามเพื่อแบ่งพื้นที่พื้นฐานออกเป็นภูมิภาค และโต้แย้งเกี่ยวกับโครงสร้างทางเรขาคณิตของการแบ่งส่วน การโต้แย้งเหล่านี้อาศัยผลลัพธ์จากเรขาคณิตเชิงพีชคณิตที่จำกัดจำนวนเหตุการณ์ระหว่างเส้นโค้งเชิงพีชคณิตต่างๆ เทคนิคการแบ่งส่วนพหุนามได้ถูกนำมาใช้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทSzemerédi–Trotter ในรูป แบบใหม่ ผ่านทฤษฎีบทแซนด์วิชแฮมพหุนามและได้ถูกนำไปใช้กับปัญหาต่างๆ ในเรขาคณิตเหตุการณ์^{[ 5 ] [ 6 ]}