กรณีสุดขั้วที่อธิบายไว้ข้างต้นทำให้เราได้ขอบเขตบนที่ง่ายมากแล้ว คือ UPOP ≤ 10000/100 = 100 แต่เราสามารถได้ขอบเขตบนที่แคบกว่านี้ได้

สมมติว่าเรามีการแบ่งที่ดินอย่างมีประสิทธิภาพให้กับหุ้นส่วน 100 ราย โดยมีสวัสดิการตามหลักอรรถประโยชน์นิยมUเราต้องการแปลงการแบ่งนี้เป็นการแบ่งตามสัดส่วน เพื่อทำเช่นนั้น เราจะจัดกลุ่มหุ้นส่วนตามมูลค่าปัจจุบันของพวกเขา:

• หุ้นส่วนที่มีมูลค่าปัจจุบันอย่างน้อย 10 ถือว่าเป็นหุ้นส่วนที่โชคดี
• หุ้นส่วนคนอื่นๆ ถูกเรียกว่าผู้โชคร้าย

มีสองกรณีดังนี้:

• หากมีหุ้นส่วนผู้โชคดีน้อยกว่า 10 คน ให้ยกเลิกการแบ่งส่วนปัจจุบันและทำการแบ่งส่วนตามสัดส่วนใหม่ (เช่น โดยใช้ โปรโตคอล การลดค่าครั้งสุดท้าย ) ในการแบ่งส่วนตามสัดส่วน หุ้นส่วนแต่ละคนจะได้รับมูลค่าอย่างน้อย 1 ดังนั้นมูลค่ารวมจึงอย่างน้อย 100 มูลค่าของการแบ่งส่วนเดิมน้อยกว่า (10*100+90*10)=1900 ดังนั้น UPOP จึงมีค่าสูงสุดไม่เกิน 19
• หากมีหุ้นส่วนผู้โชคดีอย่างน้อย 10 คน ให้แบ่งส่วนตามสัดส่วนโดยใช้ โปรโตคอล การลดครั้งสุดท้าย ในรูปแบบต่อไปนี้ :
  • หุ้นส่วนผู้โชคดีแต่ละคนจะผลัดกันแบ่งส่วนแบ่งของตน 0.1 ส่วน และให้หุ้นส่วนผู้โชคร้ายคนอื่นๆ ลดส่วนแบ่งนั้นลงตามไปด้วย สุดท้ายแล้ว ส่วนแบ่งนั้นจะตกเป็นของเขาหรือหุ้นส่วนผู้โชคร้ายคนใดคนหนึ่ง
  • กระบวนการนี้ดำเนินต่อไปจนกระทั่งหุ้นส่วนผู้โชคร้าย (อย่างมากที่สุด) 90 คนได้รับส่วนแบ่ง ตอนนี้หุ้นส่วนผู้โชคดี (อย่างน้อย) 10 คนแต่ละคนมีมูลค่าอย่างน้อย 0.1 ของมูลค่าเดิม และหุ้นส่วนผู้โชคร้ายแต่ละคนมีมูลค่าอย่างน้อยเท่ากับมูลค่าเดิม ดังนั้น UPOP จึงมีค่าอย่างมากที่สุด 10

สรุปได้ว่า: ค่า UPOP จะน้อยกว่า 20 เสมอ ไม่ว่าค่าที่วัดได้จากคู่ค้าจะเป็นอย่างไรก็ตาม

ค่า UPOP อาจต่ำถึง 1 ได้ ตัวอย่างเช่น หากคู่ค้าทุกฝ่ายมีมาตรวัดคุณค่าเดียวกัน ใน การแบ่งปัน ใดๆโดยไม่คำนึงถึงความยุติธรรม สวัสดิภาพตามหลักอรรถประโยชน์จะเท่ากับ 100 ดังนั้น UPOP = 100/100 = 1

อย่างไรก็ตาม เราสนใจกรณีที่เลวร้ายที่สุดของ UPOP นั่นคือ การรวมกันของมาตรวัดมูลค่าที่ทำให้ UPOP มีค่ามาก นี่คือตัวอย่างหนึ่ง

สมมติว่ามีคู่ค้าอยู่สองประเภท:

• หุ้นส่วน 90 รายที่ มีลักษณะเหมือนกันซึ่งให้คุณค่าที่ดินทั้งหมดอย่างเท่าเทียมกัน (กล่าวคือ มูลค่าของที่ดินแต่ละแปลงเป็นสัดส่วนกับขนาดของที่ดินนั้น)
• พันธมิตร ที่มีเป้าหมายชัดเจน 10 รายโดยแต่ละรายให้ความสำคัญเฉพาะเขตพื้นที่เดียวซึ่งครอบคลุมพื้นที่ 0.1 ของที่ดินทั้งหมด

พิจารณาพาร์ติชันสองแบบต่อไปนี้:

• การแบ่งปันอย่างยุติธรรม : แบ่งที่ดินอย่างเท่าเทียมกัน โดยให้หุ้นส่วนแต่ละรายได้รับ 0.01 ของที่ดิน ในขณะที่หุ้นส่วนที่เน้นความต้องการเฉพาะจะได้รับ 0.01 ในเขตที่ตนต้องการ การแบ่งปันนี้ยุติธรรม มูลค่าของหุ้นส่วนที่ได้รับส่วนแบ่งเท่าๆ กันคือ 1 ในขณะที่มูลค่าของหุ้นส่วนที่เน้นความต้องการเฉพาะคือ 10 ดังนั้นสวัสดิภาพตามหลักอรรถประโยชน์จึงเท่ากับ 190
• การแบ่งปันอย่างมีประสิทธิภาพ : แบ่งที่ดินทั้งหมดให้กับหุ้นส่วนเป้าหมาย โดยให้หุ้นส่วนแต่ละคนได้รับพื้นที่ตามที่ตนต้องการทั้งหมด ผลประโยชน์ตามหลักอรรถประโยชน์คือ 100*10=1000

ในตัวอย่างนี้ ค่า UPOP คือ 1000/190 = 5.26 ดังนั้น 5.26 จึงเป็นค่าต่ำสุดของค่า UPOP ในกรณีที่เลวร้ายที่สุด (โดย "กรณีที่เลวร้ายที่สุด" นั้นพิจารณาจากค่าต่างๆ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด)

เมื่อนำผลลัพธ์ทั้งหมดมารวมกัน เราพบว่าค่า UPOP ที่แย่ที่สุดอยู่ระหว่าง 5 ถึง 20

ตัวอย่างนี้เป็นตัวอย่างของข้อโต้แย้งที่ใช้ในการกำหนดขอบเขตของ POF (Proof of Fall) ในการพิสูจน์ขอบเขตล่างนั้น การอธิบายตัวอย่างเพียงตัวอย่างเดียวก็เพียงพอแล้ว แต่ในการพิสูจน์ขอบเขตบนนั้น จำเป็นต้องนำเสนออัลกอริทึมหรือข้อโต้แย้งที่ซับซ้อนอื่นๆ

ตัวอย่างเชิงตัวเลขที่อธิบายไว้ข้างต้นสามารถขยายความจาก 100 เป็นnคู่ค้าได้ โดยให้ขอบเขตต่อไปนี้สำหรับ UPOP ในกรณีที่เลวร้ายที่สุด:

√ n /2 ≤ UPOP ≤ 2√ n -1

UPOP = Θ(√ n )

สำหรับคู่ค้าสองราย การคำนวณโดยละเอียดจะให้ขอบเขตดังนี้: 8-4*√3 ≅ 1.07 ^{[ 1 ]}

เมื่อแบ่งเค้กทั้งหมด การแบ่งที่ปราศจากความอิจฉาจะเป็นสัดส่วนเสมอ ดังนั้นขอบเขตล่างของ UPOP กรณีที่เลวร้ายที่สุด (√ n /2) จึงใช้ได้ที่นี่เช่นกัน ในทางกลับกัน ในฐานะขอบเขตบน เรามีเพียงขอบเขตที่อ่อนแอของn -1/2 เท่านั้น ^{[ 1 ]}ดังนั้น:

√ n /2 ≤ UPOV ≤ n -1/2

Ω(√ n ) ≤ UPOV ≤ O( n )

สำหรับคู่ค้าสองราย การคำนวณโดยละเอียดจะให้ขอบเขตดังนี้: 8-4*√3 ≅ 1.07 ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {(n+1)^{2} \over 4n}\leq UPOQ\leq n}$

${\displaystyle UPOQ=\Theta (n)}$

สำหรับคู่ค้าสองราย การคำนวณโดยละเอียดจะให้ขอบเขตดังนี้: 9/8 = 1.125 ^{[ 1 ]}

เรามีผลลัพธ์ต่อไปนี้สำหรับสวัสดิการแบบอรรถประโยชน์: ^{[ 2 ]}

UPOP = Θ(√ n )

UPOV = Θ(√ n )

n -1+1/ n ≤ EPOQ ≤ n

EPOQ = Θ( n )

ในการแบ่งแบบสัดส่วนมูลค่าของแต่ละฝ่ายจะมีค่าอย่างน้อย 1/ nของมูลค่ารวมทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มูลค่าของผู้ที่ด้อยโอกาสที่สุด (ซึ่งเรียกว่าสวัสดิภาพแบบเสมอภาคของการแบ่ง) จะมีค่าอย่างน้อย 1/ nนั่นหมายความว่า ในการแบ่งแบบเสมอภาคที่เหมาะสมที่สุด สวัสดิภาพแบบเสมอภาคจะมีค่าอย่างน้อย 1/ nดังนั้น การแบ่งแบบเสมอภาคที่เหมาะสมที่สุดจึงเป็นการแบ่งแบบสัดส่วนเสมอ ด้วยเหตุนี้ ราคาแบบเสมอภาคของการแบ่งแบบสัดส่วน (EPOP) จึงเท่ากับ 1:

อีพีโอพี = 1

หลักการที่คล้ายกันนี้สามารถนำไปใช้กับราคาที่เท่าเทียมกันของความเสมอภาค (EPOQ) ได้เช่นกัน:

EPOQ = 1

ราคาที่เท่าเทียมกันของการปราศจากความอิจฉาริษยานั้นสูงกว่ามาก: ^{[ 2 ]}

EPOV = n /2

นี่เป็นผลลัพธ์ที่น่าสนใจ เพราะมันบ่งชี้ว่าการยืนกรานในเกณฑ์การปราศจากความอิจฉาริษยาจะยิ่งเพิ่มช่องว่างทางสังคมและทำร้ายพลเมืองที่ด้อยโอกาสที่สุด เกณฑ์ความได้สัดส่วนนั้นก่อให้เกิดอันตรายน้อยกว่ามาก

แทนที่จะคำนวณการสูญเสียสวัสดิการเนื่องจากความยุติธรรม เราสามารถคำนวณการสูญเสียความยุติธรรมเนื่องจากการเพิ่มประสิทธิภาพสวัสดิการได้ เราจะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: ^{[ 2 ]}

ราคาของความเสมอภาคตามสัดส่วน = 1

ราคาแห่งความอิจฉาของความเสมอภาค = n -1

สัดส่วนราคาของลัทธิอรรถประโยชน์นิยม = อนันต์

ราคาแห่งความอิจฉาของความเสมอภาค = อนันต์