ในทฤษฎีจำนวนควอดรูเพลตของจำนวนเฉพาะ (บางครั้งเรียกว่าควอดรูเพิลของจำนวนเฉพาะ ) คือเซตของจำนวนเฉพาะ สี่จำนวน ในรูปแบบ{ p , p + 2, p + 6, p + 8} ^{[ 1 ]}ซึ่งแสดงถึงการจัดกลุ่มที่ใกล้เคียงที่สุดที่เป็นไปได้ของจำนวนเฉพาะสี่จำนวนที่มากกว่า 3 และเป็นกลุ่มจำนวน เฉพาะเพียงกลุ่มเดียว ที่มีความยาว 4

กลุ่มจำนวนเฉพาะสี่กลุ่มแรกแปดกลุ่ม ได้แก่:

{ 5 , 7 , 11 , 13 }, {11, 13, 17 , 19 }, { 101 , 103 , 107 , 109 }, { 191 , 193 , 197 , 199 }, {821, 823, 827, 829}, {1481, 1483, 1487, 1489}, {1871, 1873, 1877, 1879}, {2081, 2083, 2087, 2089} (ลำดับA007530ในOEIS )

กลุ่มจำนวนเฉพาะสี่ตัวทั้งหมด ยกเว้น{5, 7, 11, 13}จะอยู่ในรูปแบบ{30 n + 11, 30 n + 13, 30 n + 17, 30 n + 19}สำหรับจำนวนเต็มn บางตัว โครงสร้างนี้จำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าไม่มีจำนวนเฉพาะตัวใดในสี่ตัวนั้นหารด้วย 2,  3 หรือ 5 ลงตัว จำนวนเฉพาะตัวแรกของกลุ่มจำนวนเฉพาะสี่ตัวดังกล่าวจะลงท้ายด้วยเลข1และจำนวนเฉพาะตัวสุดท้ายจะลงท้ายด้วยเลข9ในฐาน 10 ดังนั้น กลุ่มจำนวนเฉพาะสี่ตัวในรูปแบบนี้จึงเรียกว่าทศวรรษจำนวนเฉพาะ

กลุ่มจำนวนเฉพาะสี่ตัวสามารถอธิบายได้ว่าเป็นคู่จำนวนเฉพาะแฝด ที่อยู่ติดกัน กลุ่มจำนวนเฉพาะสามตัวที่ซ้อนทับกันสองชุดหรือคู่จำนวนเฉพาะเซ็กซี่ สองคู่ที่ผสมกัน จำนวนเฉพาะ "สี่ตัว" เหล่านี้ยังสามารถเป็นแกนหลักของกลุ่มจำนวนเฉพาะห้าตัวและกลุ่มจำนวนเฉพาะหกตัวได้เมื่อบวกหรือลบ 8 จากแกนกลางของกลุ่มเหล่านั้นแล้วได้จำนวนเฉพาะ

ทศวรรษของจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่เริ่มต้นเหนือ 5 จะมีศูนย์กลางอยู่ในรูปแบบ 210n + 15, 210n + 105 หรือ 210n + 195 เนื่องจากศูนย์กลางต้องเป็น −1, 0 หรือ 1 เมื่อหารด้วย 7 แล้ว รูปแบบ +15 อาจทำให้เกิดกลุ่มจำนวนเฉพาะห้าตัว (สูง) ได้ รูปแบบ +195 ก็สามารถทำให้เกิดกลุ่มจำนวนเฉพาะห้าตัว (ต่ำ) ได้เช่นกัน ในขณะที่รูปแบบ +105 สามารถให้กลุ่มจำนวนเฉพาะห้าตัวทั้งสองประเภทและอาจรวมถึงกลุ่มจำนวนเฉพาะหกตัวได้ด้วย ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่จำนวนเฉพาะแต่ละตัวในทศวรรษของจำนวนเฉพาะจะเลื่อนจากศูนย์กลางด้วยกำลังของ 2 เนื่องจากศูนย์กลางทั้งหมดเป็นจำนวนคี่และหารลงตัวด้วยทั้ง 3 และ 5

ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่ามีจำนวนเฉพาะสี่ตัวที่เป็นอนันต์หรือไม่ การพิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะสี่ตัวที่เป็นอนันต์จะนำไปสู่ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะคู่แฝด แต่ข้อสันนิษฐานนี้สอดคล้องกับความรู้ในปัจจุบันที่ว่าอาจมีจำนวนเฉพาะคู่แฝดเป็นอนันต์คู่ และมีจำนวนเฉพาะสี่ตัวที่เป็นอนันต์คู่เพียงจำนวนจำกัด อย่างไรก็ตาม มีการตั้งข้อสันนิษฐานว่ามีจำนวนเฉพาะสี่ตัวที่เป็นอนันต์คู่ จำนวนเฉพาะสี่ตัวที่มีnหลักในฐาน 10 สำหรับn = 2, 3, 4, ...คือ

1, 3, 7, 27, 128, 733, 3869, 23620, 152141, 1028789, 7188960, 51672312, 381226246, 2873279651 ( ลำดับA120120ในOEIS )

มีการคาดการณ์ว่าสูตรเชิงอะซิมโทติกสำหรับจำนวนควอดรูเพลตเฉพาะที่ต่ำกว่าnคือ${\displaystyle C{\frac {x}{(\ln x)^{4}}}}$, ที่ไหน${\displaystyle C\sim 4.151180863}$( ลำดับA061642ในOEIS )

ข้อมูล ณ เดือนกุมภาพันธ์พ.ศ. 2562 ควอดรูเพลตจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดที่รู้จักมี 10132 หลัก^{[ 2 ]}เริ่มต้นด้วยp = 667674063382677 × 2 ³³⁶⁰⁸ − 1ซึ่งค้นพบโดยปีเตอร์ ไคเซอร์

ค่าคงที่ที่แสดงถึงผลรวมของส่วนกลับของกลุ่มจำนวนเฉพาะสี่ตัวทั้งหมด ซึ่งก็ค่าคงที่ของบรูนสำหรับกลุ่มจำนวนเฉพาะสี่ตัว และใช้สัญลักษณ์B₄ แทน คือผลรวมของส่วนกลับของกลุ่มจำนวนเฉพาะสี่ตัวทั้งหมด:

$${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$$

คุ้มค่า:

B = 0.87058 83800 ± 0.00000 00005.

ค่าคงที่นี้ไม่ควรสับสนกับค่าคงที่ของ Brun สำหรับจำนวนเฉพาะที่เป็นญาติกันซึ่งเป็นคู่จำนวนเฉพาะในรูปแบบ( p , p + 4)ซึ่งเขียนอีกแบบว่าB

มีการกล่าวอ้างว่ากลุ่มเลขควอดรูเพล็ตจำนวนเฉพาะ {11, 13, 17, 19} ปรากฏอยู่บนกระดูกอิชางโกแม้ว่าเรื่องนี้จะยังเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ก็ตาม

หากไม่นับกลุ่มจำนวนเฉพาะสี่ตัวแรก ระยะทางที่สั้นที่สุดที่เป็นไปได้ระหว่างกลุ่มจำนวนสี่สองกลุ่ม{ p , p + 2, p + 6, p + 8}และ{ q , q + 2, q + 6, q + 8}คือ q − p  =  30 การปรากฏครั้งแรกของค่านี้คือสำหรับp = 1006301, 2594951, 3919211, 9600551, 10531061, ... ( OEIS : A059925  )

ค่าSkewesสำหรับกลุ่มจำนวนเฉพาะสี่ตัว{ p , p + 2, p + 6, p + 8}คือ 1172531 ( Tóth (2019) )

ถ้า{ p , p + 2, p + 6, p + 8}เป็นกลุ่มจำนวนเฉพาะสี่ตัว และp − 4หรือp + 12 ก็เป็นจำนวนเฉพาะเช่นกัน จำนวนเฉพาะทั้งห้านี้จะประกอบกันเป็นกลุ่มจำนวนเฉพาะห้าตัว ซึ่งเป็นกลุ่มจำนวนเฉพาะห้าตัวที่ใกล้เคียงที่สุดที่เป็นไปได้ กลุ่มจำนวนเฉพาะห้าตัวกลุ่มแรกๆ ที่มีp + 12ได้แก่:

{5, 7, 11, 13, 17}, {11, 13, 17, 19, 23}, {101, 103, 107, 109, 113}, {1481, 1483, 1487, 1489, 1493}, {16061, 16063, 16067, 16069, 16073}, {19421, 19423, 19427, 19429, 19433}, {21011, 21013, 21017, 21019, 21023}, {22271, 22273, 22277, 22279, 22283}, {43781, 43783, 43787, 43789, 43793}, {55331, 55333, 55337, 55339, 55343} … OEIS : A022006  .

กลุ่มจำนวนเฉพาะห้าตัวแรกที่มีp − 4ได้แก่:

{7, 11, 13, 17, 19}, {97, 101, 103, 107, 109}, {1867, 1871, 1873, 1877, 1879}, {3457, 3461, 3463, 3467, 3469}, {5647, 5651, 5653, 5657, 5659}, {15727, 15731, 15733, 15737, 15739}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069}, {19417, 19421, 19423, 19427, 19429}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789}, {79687, 79691, 79693, 79697, 79699}, {88807, 88811, 88813, 88817, 88819} ... OEIS : A022007  .

กลุ่มจำนวนเฉพาะห้าตัวประกอบด้วยจำนวนเฉพาะคู่แฝดที่อยู่ใกล้กันสองคู่ กลุ่มจำนวนเฉพาะสี่ตัว และกลุ่มจำนวนเฉพาะสามตัวที่ซ้อนทับกันสามกลุ่ม จำนวนเฉพาะตัวแรกของกลุ่มจำนวนเฉพาะห้าตัวที่ขึ้นต้นด้วย 5 จะลงท้ายด้วยเลข1 หรือ 7 ในฐาน 10 และจำนวนเฉพาะตัวสุดท้ายจะลงท้ายด้วยเลข3หรือ9

ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่ามีกลุ่มจำนวนเฉพาะห้าตัวที่เป็นอนันต์หรือไม่ อีกครั้งหนึ่ง การพิสูจน์สมมติฐานเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะคู่แฝดอาจไม่ได้พิสูจน์ว่ามีกลุ่มจำนวนเฉพาะห้าตัวที่เป็นอนันต์เช่นกัน ในทำนองเดียวกัน การพิสูจน์ว่ามีกลุ่มจำนวนเฉพาะสี่ตัวที่เป็นอนันต์อาจไม่ได้พิสูจน์ว่ามีกลุ่มจำนวนเฉพาะห้าตัวที่เป็นอนันต์เช่นกัน

ค่าSkewesสำหรับกลุ่มจำนวนเฉพาะห้าตัว{ p , p + 2, p + 6, p + 8, p + 12}คือ 21432401 ( Tóth (2019) )

ถ้าทั้งp − 4และp + 12เป็นจำนวนเฉพาะ ก็จะเป็นกลุ่มจำนวนเฉพาะหกตัว (prime sextuplet ) ตัวอย่างแรกๆ มีดังนี้:

{7, 11, 13, 17, 19, 23}, {97, 101, 103, 107, 109, 113}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073}, {19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793} OEIS : A022008 

บางแหล่งข้อมูลเรียก{5, 7, 11, 13, 17, 19} ว่า กลุ่มจำนวนเฉพาะหกตัว (prime sextuplet) นิยามของเรา ซึ่งก็คือจำนวนเฉพาะทุกกรณี{ p − 4, p , p + 2, p + 6, p + 8, p + 12}นั้น มาจากการนิยามกลุ่มจำนวนเฉพาะหกตัวว่าเป็นกลุ่มจำนวนเฉพาะที่ใกล้เคียงที่สุดที่ยอมรับได้

กลุ่มจำนวนเฉพาะหกตัวประกอบด้วยจำนวนเฉพาะแฝดที่อยู่ใกล้กันสองคู่ กลุ่มจำนวนเฉพาะสี่ตัว กลุ่มจำนวนเฉพาะสามตัวที่ซ้ำกันสี่กลุ่ม และกลุ่มจำนวนเฉพาะห้าตัวที่ซ้ำกันสองกลุ่ม จำนวนเฉพาะตัวแรกในกลุ่มหกตัวจะลงท้ายด้วยเลข7 ในฐาน 10 และจำนวนเฉพาะตัวสุดท้ายจะลงท้ายด้วยเลข3

เซตของจำนวนเฉพาะหกตัวทั้งหมด ยกเว้น{7, 11, 13, 17, 19, 23}จะอยู่ในรูปแบบ$${\displaystyle \{210n+97,\ 210n+101,\ 210n+103,\ 210n+107,\ 210n+109,\ 210n+113\}}$$สำหรับจำนวนเต็มn บางจำนวน (โครงสร้างนี้จำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าไม่มีจำนวนเฉพาะใดในหกจำนวนที่หารด้วย2, 3, 5 หรือ 7 ลงตัว )

ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่ามีจำนวนเฉพาะหกตัวที่เป็นอนันต์หรือไม่ อีกครั้งหนึ่ง การพิสูจน์สมมติฐานเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะคู่แฝดอาจไม่ได้พิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะหกตัวที่เป็นอนันต์เช่นกัน ในทำนองเดียวกัน การพิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะห้าตัวที่เป็นอนันต์อาจไม่ได้พิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะหกตัวที่เป็นอนันต์เช่นกัน

กลุ่มจำนวนเฉพาะหกตัว (prime sextuplet) คือ กลุ่ม k ที่ใหญ่ที่สุด โดยมีระยะห่างระหว่างจำนวนเฉพาะไม่เกิน 4

ค่าSkewesสำหรับกลุ่มตัวเลข{ p , p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p + 16}คือ 251331775687 ( Tóth (2019) )

กลุ่มจำนวนเฉพาะสี่ตัว ห้าตัว และหกตัว เป็นตัวอย่างของกลุ่มจำนวนเฉพาะ และกลุ่มจำนวนเฉพาะก็เป็นตัวอย่างของกลุ่มจำนวนเฉพาะkตัว กลุ่มจำนวนเฉพาะคือกลุ่มของ จำนวนเฉพาะ kตัว โดยมีจำนวนเฉพาะต่ำสุดคือpและจำนวนเฉพาะสูงสุดคือp + nซึ่งต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้:

• ไม่ใช่เศษเหลือทั้งหมดโมดูลัสqจะปรากฏให้เห็นสำหรับจำนวนเฉพาะq ใดๆ
• สำหรับค่าk ใดๆ ค่าของnจะเป็นค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้

โดยทั่วไปแล้วk -tuple ที่เป็นจำนวนเฉพาะจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขแรกเป็นจริง แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป