ความถี่ของการเกิน

ความถี่ของการเกินค่าที่กำหนดหรือบางครั้งเรียกว่าอัตราการเกินค่าที่กำหนดต่อปีคือความถี่ที่กระบวนการสุ่มเกินค่าวิกฤตบางค่า โดยทั่วไป ค่าวิกฤตจะอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยมาก และมักกำหนดในแง่ของจำนวนจุดสูงสุดของกระบวนการสุ่มที่อยู่นอกขอบเขต มีการประยุกต์ใช้ในการทำนายเหตุการณ์รุนแรง เช่นแผ่นดินไหว ครั้งใหญ่ และน้ำท่วม

คำนิยาม

ความถี่ของการเกินค่าคือจำนวนครั้งที่กระบวนการสุ่มเกินค่าวิกฤตบางค่า ซึ่งโดยปกติจะเป็นค่าวิกฤตที่อยู่ห่างไกลจากค่าเฉลี่ยของกระบวนการ ต่อหน่วยเวลา^{[ 1 ]}การนับการเกินค่าวิกฤตสามารถทำได้โดยการนับจุดสูงสุดของกระบวนการที่เกินค่าวิกฤต^{[ 1 ]}หรือโดยการนับการข้ามผ่านค่าวิกฤต ซึ่งการข้ามผ่านคือเหตุการณ์ที่ค่าทันทีของกระบวนการข้ามค่าวิกฤตด้วยความชันเป็นบวก^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}บทความนี้ถือว่าวิธีการนับการเกินค่าทั้งสองวิธีนั้นเทียบเท่ากัน และกระบวนการมีการข้ามผ่านหนึ่งครั้งและจุดสูงสุดหนึ่งจุดต่อการเกินค่า อย่างไรก็ตาม กระบวนการ โดยเฉพาะกระบวนการต่อเนื่องที่มีส่วนประกอบความถี่สูงในความหนาแน่นสเปกตรัมกำลัง อาจมีการข้ามผ่านหลายครั้งหรือจุดสูงสุดหลายจุดติดต่อกันอย่างรวดเร็วก่อนที่กระบวนการจะกลับคืนสู่ค่าเฉลี่ย^{[ 3 ]}

ความถี่ของการเกินค่าสำหรับกระบวนการเกาส์เซียน

พิจารณา กระบวนการเกาส์เซียน แบบสเกลาร์ที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ $y(t) ที่มีความแปรปรวน σy²$ $และ$ $ความ หนาแน่น สเปกตรัม กำลัง$ Φy $(f) โดยที่ f$ คือ $ความถี่$ เมื่อเวลา $ผ่านไป กระบวนการ เกา$ ส์ $เซียน$ นี้จะมีจุดสูงสุดที่เกินค่าวิกฤต $ymax$ $>$ $0$ การนับจำนวนครั้งที่ $ymax$ ข้ามผ่าน ความถี่ของ $การ$ เกิน $ymax จะ$ $ได้$ รับจาก^[¹^]^[²^]

N(y_{\max })=N_{0}e^{-{\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {y_{\max }}{\sigma _{y}}}\right)^{2}}.

$N 0$ คือความถี่ของการตัดผ่าน 0 และมีความสัมพันธ์กับความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังดังนี้

N_{0}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{\infty }{f^{2}\Phi _{y}(f)\,df}}{\int _{0}^{\infty }{\Phi _{y}(f)\,df}}}}.

สำหรับกระบวนการเกาส์เซียน การประมาณว่าจำนวนยอดที่อยู่เหนือค่าวิกฤตและจำนวนการข้ามขึ้นของค่าวิกฤตนั้นเท่ากันนั้นใช้ได้ดีสำหรับ $y max /σ y > 2$ และสำหรับ สัญญาณ รบกวนแบบแถบแคบ^{[ 1 ]}

สำหรับความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังที่ลดลงอย่างไม่ชันเท่า $f -3$ เมื่อ $f \to\infty$ อินทิกรัลในตัวเศษของ $N 0$ จะไม่ลู่เข้า Hoblit ให้วิธีการประมาณ $N 0$ ในกรณีดังกล่าวโดยมีเป้าหมายเพื่อการประยุกต์ใช้กับลมกระโชกแรงต่อเนื่อง^{[ 4 ]}

เวลาและความน่าจะเป็นของการเกินค่าที่กำหนด

เมื่อกระบวนการสุ่มพัฒนาไปตามกาลเวลา จำนวนยอดที่เกินค่าวิกฤต $y max$ จะเพิ่มขึ้นและเป็นกระบวนการนับ ด้วยตัวมันเอง สำหรับการกระจายหลายประเภทของกระบวนการสุ่มพื้นฐาน รวมถึงกระบวนการเกาส์เซียน จำนวนยอดที่อยู่เหนือค่าวิกฤต $y max$ จะลู่เข้าสู่กระบวนการปัวซงเมื่อค่าวิกฤตมีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ เวลาระหว่างการมาถึงของกระบวนการปัวซงนี้มีการกระจายแบบเอก ซ์โพเนนเชีย ลโดยมีอัตราการลดลงเท่ากับความถี่ของการเกิน $N (y max)$ ^{[ 5 ]}ดังนั้น เวลาเฉลี่ยระหว่างยอด รวมถึงเวลาคงอยู่ หรือเวลาเฉลี่ยก่อนยอดแรกสุด คือ ค่าผกผันของความถี่ของการเกิน $N -1 (y max)$

ถ้าจำนวนยอดที่เกิน^y $max เพิ่ม$ ขึ้นตามกระบวนการปัวซง ความน่าจะเป็นที่ ณ เวลา $t$ ยังไม่มียอดใดเกิน $y max$ คือ $e - N (y max) t$ [ ^{6 ]}ส่วนเติมเต็มของมัน

p_{ex}(t)=1-e^{-N(y_{\max })t},

คือความน่าจะเป็นของการเกินค่าความน่าจะเป็นที่ $y max$ จะถูกเกินอย่างน้อยหนึ่งครั้งภายในเวลาt $[$ ^{7 ] [}^{8 ] ความ}น่าจะเป็นนี้มีประโยชน์ในการประเมินว่าเหตุการณ์สุดขั้วจะเกิดขึ้นในช่วงเวลาที่กำหนดหรือไม่ เช่น อายุการใช้งานของโครงสร้างหรือระยะเวลาของการดำเนินการ

ถ้า $N (y max) t$ มีค่าน้อย เช่น สำหรับความถี่ของการเกิดเหตุการณ์หายากในช่วงเวลาสั้นๆ แล้ว

p_{ex}(t)\approx N(y_{\max })t.

ภายใต้สมมติฐานนี้ ความถี่ของการเกินค่าที่กำหนดจะเท่ากับความน่าจะเป็นของการเกินค่าที่กำหนดต่อหน่วยเวลา p $ex / t และ$ ความน่าจะเป็นของการเกินค่าที่กำหนดสามารถคำนวณได้โดยการคูณความถี่ของการเกินค่าที่กำหนดด้วยระยะเวลาที่กำหนด

แอปพลิเคชัน

ความน่าจะเป็นของแผ่นดินไหวครั้งใหญ่^{[ 9 ]}
การพยากรณ์อากาศ^{[ 10 ]}
อุทกวิทยาและภาระบนโครงสร้างไฮดรอลิก^{[ 11 ]}
แรงลมกระโชกบนเครื่องบิน^{[ 12 ]}

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

^ ^a ^b ^c ^d ^e Hoblit 1988 , หน้า 51–54.
^ ^a ^b Rice 1945 , หน้า 54–55.
^ Richardson et al. 2014 , หน้า 2029–2030.
^ Hoblit 1988 , หน้า 229–235.
^ Leadbetter, Lindgren & Rootzén 1983 , หน้า 176, 238, 260.
^เฟลเลอร์ 1968 , หน้า 446–448.
^ Hoblit 1988 , หน้า 65–66.
^ Richardson et al. 2014 , หน้า 2027.
^โครงการภัยพิบัติแผ่นดินไหว (2016). "ภัยพิบัติแผ่นดินไหวเบื้องต้น - ข้อมูลพื้นฐาน" . สำนักงานสำรวจทางธรณีวิทยาแห่งสหรัฐอเมริกา. สืบค้นเมื่อ26 เมษายน 2016 .
^ศูนย์พยากรณ์สภาพอากาศ (2002). "ทำความเข้าใจกราฟพยากรณ์ 'ความน่าจะเป็นที่จะเกิน' สำหรับอุณหภูมิและปริมาณน้ำฝน" . สำนักงานบริการสภาพอากาศแห่งชาติ. สืบค้นเมื่อ26 เมษายน 2016 .
^การ์เซีย, เรเน (2015). "ส่วนที่ 2: ความน่าจะเป็นของการเกินค่า" . คู่มือการออกแบบระบบไฮดรอลิก . กรมการขนส่งรัฐเท็กซัส. สืบค้นเมื่อ26 เมษายน 2016 .
^ Hoblit 1988 , บทที่ 4.

[FOOTNOTEHoblit198851–54-1] Hoblit 1988 , หน้า 51–54.

[FOOTNOTERice194554–55-2] Rice 1945 , หน้า 54–55.

[FOOTNOTERichardsonAtkinsKabambaGirard20142029–2030-3] Richardson et al. 2014 , หน้า 2029–2030.

[FOOTNOTEHoblit1988229–235-4] Hoblit 1988 , หน้า 229–235.

[FOOTNOTELeadbetterLindgrenRootzén1983176,_238,_260-5] Leadbetter, Lindgren & Rootzén 1983 , หน้า 176, 238, 260.

[FOOTNOTEFeller1968446–448-6] เฟลเลอร์ 1968 , หน้า 446–448.

[FOOTNOTEHoblit198865–66-7] Hoblit 1988 , หน้า 65–66.

[FOOTNOTERichardsonAtkinsKabambaGirard20142027-8] Richardson et al. 2014 , หน้า 2027.

[9] โครงการภัยพิบัติแผ่นดินไหว (2016). "ภัยพิบัติแผ่นดินไหวเบื้องต้น - ข้อมูลพื้นฐาน" . สำนักงานสำรวจทางธรณีวิทยาแห่งสหรัฐอเมริกา. สืบค้นเมื่อ26 เมษายน 2016 .

[10] ศูนย์พยากรณ์สภาพอากาศ (2002). "ทำความเข้าใจกราฟพยากรณ์ 'ความน่าจะเป็นที่จะเกิน' สำหรับอุณหภูมิและปริมาณน้ำฝน" . สำนักงานบริการสภาพอากาศแห่งชาติ. สืบค้นเมื่อ26 เมษายน 2016 .

[11] การ์เซีย, เรเน (2015). "ส่วนที่ 2: ความน่าจะเป็นของการเกินค่า" . คู่มือการออกแบบระบบไฮดรอลิก . กรมการขนส่งรัฐเท็กซัส. สืบค้นเมื่อ26 เมษายน 2016 .

[FOOTNOTEHoblit1988Chap._4-12] Hoblit 1988 , บทที่ 4.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

y

7 ] [

8 ] ความ

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

ความถี่ของการเกิน

คำนิยาม