ในทฤษฎีความน่าจะ เป็น คำตอบ ในรูปแบบผลคูณเป็นรูปแบบคำตอบที่มีประสิทธิภาพเป็นพิเศษสำหรับการกำหนดค่าเมตริกบางอย่างของระบบที่มีส่วนประกอบย่อยที่แตกต่างกัน โดยที่ค่าเมตริกสำหรับกลุ่มของส่วนประกอบสามารถเขียนได้เป็นผลคูณของค่าเมตริกในส่วนประกอบต่างๆ โดยใช้สัญลักษณ์พายตัวใหญ่คำตอบในรูปแบบผลคูณจะมีรูปแบบพีชคณิต

${\displaystyle {\text{P}}(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})=B\prod _{i=1}^{n}{\text{P}}(x_{i})}$

โดยที่Bเป็นค่าคงที่บางค่า คำตอบในรูปแบบนี้มีความน่าสนใจเนื่องจากใช้ต้นทุนการคำนวณต่ำสำหรับการประเมินค่าn ที่มีขนาดใหญ่ คำตอบดังกล่าวในเครือข่ายคิวมีความสำคัญต่อการค้นหาตัวชี้วัดประสิทธิภาพในแบบจำลองของระบบคอมพิวเตอร์แบบมัลติโปรแกรมและแบบแบ่งเวลาใช้งาน

โซลูชันรูปแบบผลิตภัณฑ์แรกพบได้สำหรับการกระจายสมดุลของห่วงโซ่มาร์คอฟโดยทั่วไปแล้ว แบบจำลองที่ประกอบด้วยส่วนประกอบย่อยอิสระ สองส่วนขึ้นไปจะแสดงโซลูชันรูปแบบผลิตภัณฑ์ตามนิยามของความเป็นอิสระ ในตอนแรก คำนี้ถูกใช้ใน เครือข่ายคิวที่ส่วนประกอบย่อยจะเป็นคิวแต่ละคิว ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทของแจ็คสันให้การกระจายสมดุลร่วมของเครือข่ายคิวแบบเปิดเป็นผลคูณของการกระจายสมดุลของคิวแต่ละคิว^{[ 1 ]}หลังจากการขยายจำนวนมาก โดยเฉพาะเครือข่าย BCMPพบว่าสมดุลท้องถิ่นเป็นข้อกำหนดสำหรับโซลูชันรูปแบบผลิตภัณฑ์^{[ 2 ] [ 3 ]}

แบบจำลอง G-networkของGelenbeเป็นแบบจำลองแรกที่แสดงให้เห็นว่าไม่ใช่เช่นนั้น ด้วยแรงจูงใจจากความต้องการในการจำลองเซลล์ประสาททางชีววิทยาที่มีกระบวนการจุด เช่น พฤติกรรมการส่งสัญญาณ เขาจึงได้แนะนำแบบจำลองเบื้องต้นของ G-Networks โดยเรียกมันว่าเครือข่ายประสาทแบบสุ่ม [ ^{4 ] โดย}การแนะนำ "ลูกค้าเชิงลบ" ซึ่งสามารถทำลายหรือกำจัดลูกค้ารายอื่นได้ เขาจึงได้ขยายเครือข่ายรูปแบบผลิตภัณฑ์^{[ 5 ]}จากนั้นจึงขยายเพิ่มเติมอีกหลายขั้นตอน โดยเริ่มจาก "ตัวกระตุ้น" ของ Gelenbe ซึ่งเป็นลูกค้าที่มีอำนาจในการย้ายลูกค้ารายอื่นจากคิวหนึ่งไปยังอีกคิวหนึ่ง^{[ 6 ]}ลูกค้ารูปแบบใหม่ที่นำไปสู่รูปแบบผลิตภัณฑ์อีกรูปแบบหนึ่งคือ "การกำจัดแบบกลุ่ม" ของ Gelenbe ^{[ 7 ]} Erol Gelenbe และ Jean-Michel Fourneau ได้ขยายแนวคิดนี้เพิ่มเติมด้วยประเภทลูกค้าที่เรียกว่า "รีเซ็ต" ซึ่งสามารถจำลองการซ่อมแซมความล้มเหลวได้: เมื่อคิวถึงสถานะว่างเปล่า ซึ่งแสดงถึง (ตัวอย่างเช่น) ความล้มเหลว ความยาวของคิวสามารถกระโดดกลับหรือ "รีเซ็ต" ไปสู่การกระจายสถานะคงที่โดยลูกค้ารีเซ็ตที่เข้ามา ซึ่งแสดงถึงการซ่อมแซม ประเภทลูกค้าก่อนหน้านี้ทั้งหมดใน G-Networks สามารถมีอยู่ในเครือข่ายเดียวกันได้ รวมถึงมีหลายคลาส และทั้งหมดนี้ยังคงส่งผลให้เกิดโซลูชันในรูปแบบผลิตภัณฑ์ ซึ่งนำเราไปไกลกว่าเครือข่ายแบบย้อนกลับที่เคยพิจารณามาก่อน^{[ 8 ]}

บางครั้งโซลูชันรูปแบบผลิตภัณฑ์จะถูกอธิบายว่า "สถานีต่างๆ เป็นอิสระในสภาวะสมดุล" ^{[ 9 ]}โซลูชันรูปแบบผลิตภัณฑ์ยังมีอยู่ในเครือข่ายคิวจำนวนมาก อีกด้วย ^{[ 10 ]}

JM HarrisonและRJ Williamsตั้งข้อสังเกตว่า "แบบจำลองเกือบทั้งหมดที่ได้รับการวิเคราะห์สำเร็จในทฤษฎีเครือข่ายคิวแบบคลาสสิกเป็นแบบจำลองที่มีการกระจายแบบคงที่ในรูปแบบผลคูณ" ^{[ 9 ]}เมื่อไม่นานมานี้ ได้มีการเผยแพร่โซลูชันรูปแบบผลคูณสำหรับพีชคณิตกระบวนการมาร์คอฟ (เช่นRCATในPEPA ^{[ 11 ] [ 12 ]} ) และเครือข่ายเพทรีแบบสุ่ม^{[ 13 ] [ 14 ]} ทฤษฎีบทศูนย์ความบกพร่องของ Martin Feinbergให้เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับเครือข่ายปฏิกิริยาเคมีที่จะแสดงการกระจายแบบคงที่ในรูปแบบผลคูณ^{[ 15 ]}

งานของ Gelenbe ยังแสดงให้เห็นว่า G-Networks ในรูปแบบผลิตภัณฑ์สามารถใช้ในการจำลองเครือข่ายประสาทแบบ สุ่มสไปค์ได้ และยิ่งไปกว่านั้น เครือข่ายดังกล่าวสามารถใช้ในการประมาณฟังก์ชันค่าจริงที่มีขอบเขตและต่อเนื่องได้^{[ 16 ] [ 17 ]}

คำว่ารูปแบบผลิตภัณฑ์ยังถูกใช้เพื่ออ้างถึงการกระจายเวลาการพำนักในระบบคิวแบบวงจร โดยที่เวลาที่ใช้โดยงาน ณ โหนด Mจะได้รับเป็นผลคูณของเวลาที่ใช้ ณ แต่ละโหนด^{[ 18 ]}ในปี พ.ศ. 2490 Reich ได้แสดงผลลัพธ์สำหรับคิว M/M/1 สองคิว แบบเรียงต่อกัน^{[ 19 ]}ต่อมาได้ขยายไปสู่คิว M/M/1 จำนวนn คิวแบบเรียงต่อกัน ^{[ 20 ]}และได้แสดงให้เห็นว่าสามารถนำไปใช้กับเส้นทางที่ไม่มีการแซงในเครือข่าย Jacksonได้^{[ 21 ]} Walrand และ Varaiya แนะนำว่าการไม่แซง (ซึ่งลูกค้าไม่สามารถแซงลูกค้ารายอื่นได้โดยใช้เส้นทางที่แตกต่างกันผ่านเครือข่าย) อาจเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับผลลัพธ์ที่จะคงอยู่^{[ 21 ]} Mitrani เสนอวิธีแก้ปัญหาที่แม่นยำสำหรับเครือข่ายง่ายๆ บางเครือข่ายที่มีการแซง โดยแสดงให้เห็นว่าไม่มีเครือข่ายใดแสดงการกระจายเวลาการพำนักในรูปแบบผลิตภัณฑ์^{[ 22 ]}

สำหรับเครือข่ายปิด Chow ได้แสดงผลลัพธ์ที่ใช้ได้กับโหนดบริการสองโหนด^{[ 23 ]}ซึ่งต่อมาได้รับการขยายให้เป็นวงจรของคิว^{[ 24 ]}และไปยังเส้นทางที่ปราศจากการแซงในเครือข่าย Gordon– Newell ^{[ 25 ] [ 26 ]}

• วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณในรูปแบบผลิตภัณฑ์จะคำนวณโดยสมมติว่ามีการกระจายแบบมาร์จินัลที่เป็นอิสระ ซึ่งสามารถให้ค่าประมาณที่ดีของการกระจายแบบคงที่ภายใต้เงื่อนไขบางประการ^{[ 27 ] [ 28 ]}
• โซลูชันรูปแบบกึ่งผลิตภัณฑ์คือโซลูชันที่สามารถเขียนการกระจายเป็นผลิตภัณฑ์ได้ โดยที่เงื่อนไขมีการพึ่งพาเชิงฟังก์ชันที่จำกัดในพื้นที่สถานะทั่วโลก ซึ่งสามารถประมาณได้^{[ 29 ]}
• โซลูชันในรูปแบบกึ่งผลิตภัณฑ์ ได้แก่
  • โซลูชันที่ไม่ใช่ผลคูณของความหนาแน่นส่วนขอบ แต่ความหนาแน่นส่วนขอบอธิบายการกระจายในลักษณะประเภทผลคูณ^{[ 30 ]}หรือ
  • รูปแบบโดยประมาณสำหรับการกระจายความน่าจะเป็นชั่วคราวซึ่งช่วยให้สามารถประมาณโมเมนต์ชั่วคราวได้^{[ 31 ]}