ในทางคณิตศาสตร์ฟิลด์ทั่วโลก เป็น ฟิลด์ประเภทหนึ่งจากสองประเภท(อีกประเภทหนึ่งคือฟิลด์เฉพาะที่ ) ซึ่งมีลักษณะเฉพาะโดยใช้การประเมินค่าหรือค่าสัมบูรณ์มีฟิลด์ ทั่วโลกสองประเภท : ^{[ 1 ]}

• ฟิลด์จำนวนพีชคณิต : ส่วนขยายจำกัดของ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• ฟิลด์ฟังก์ชันทั่วโลก : ฟิลด์ฟังก์ชันของเส้นโค้งพีชคณิตที่ไม่สามารถลดทอนได้ เหนือฟิลด์จำกัดหรือเทียบเท่ากับส่วนขยายจำกัดของฟิลด์ฟังก์ชันตรรกยะในตัวแปรเดียวเหนือฟิลด์จำกัดที่มีสมาชิก จำนวนหนึ่ง${\displaystyle \mathbb {F} _{q}(T)}$${\displaystyle q=p^{n}}$

การกำหนดลักษณะเชิงสัจพจน์ของฟิลด์เหล่านี้ผ่านทฤษฎีการประเมินค่า ได้ รับการเสนอโดยEmil Artinและ George Whaples ในช่วงทศวรรษ 1940 ^{[ 2 ] [ 3 ]}

เรากล่าวว่าฟิลด์นั้นเป็นฟิลด์สากลเมื่อมีเซตของสถานที่ (ชั้นสมมูลของค่าสัมบูรณ์บน) อยู่ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้:${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$${\displaystyle K}$

• สำหรับทุกองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์สำหรับทุกค่า ยกเว้นจำนวนจำกัดและ${\displaystyle \alpha \in K}$${\displaystyle \vert \alpha \vert _{\mathfrak {p}}=1}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\mathfrak {M}}}$${\displaystyle \prod _{{\mathfrak {p}}\in {\mathfrak {M}}}\vert \alpha \vert _{\mathfrak {p}}=1}$
• อย่างน้อยหนึ่งตำแหน่งในนั้นเป็นแบบไม่ต่อเนื่องที่มีฟิลด์เศษเหลือจำกัด หรือเป็นแบบอาร์คิมีเดียน${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$

มีเพียงสองประเภทของสนามเท่านั้นที่ตรงตามนิยามเชิงสัจพจน์:

ฟิลด์จำนวนพีชคณิต

ฟิลด์จำนวนเชิงพีชคณิตFคือฟิลด์ขยายที่มี ขอบเขตจำกัด (และดังนั้นจึง เป็นฟิลด์ เชิง พีชคณิต ) ของฟิลด์จำนวนตรรกยะQดังนั้นFจึงเป็นฟิลด์ที่บรรจุQและมีมิติ จำกัด เมื่อพิจารณาว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือQ

ฟิลด์ฟังก์ชันของเส้นโค้งพีชคณิตที่ไม่สามารถลดทอนได้เหนือฟิลด์จำกัด

ฟิลด์ฟังก์ชันของวาไรตี้พีชคณิตคือเซตของฟังก์ชันตรรกยะทั้งหมดบนวาไรตี้นั้น บนเส้นโค้งพีชคณิตที่ไม่สามารถลดทอนได้ (เช่น วาไรตี้หนึ่งมิติV ) เหนือฟิลด์จำกัด เรากำหนดฟังก์ชันตรรกยะบนเซตย่อยเชิงเส้นเปิดUว่าเป็นอัตราส่วนของพหุนามสองตัวในวงแหวนพิกัดเชิงเส้นของUและฟังก์ชันตรรกยะบนV ทั้งหมด ประกอบด้วยข้อมูลเฉพาะที่ซึ่งสอดคล้องกันบนจุดตัดของเซตย่อยเชิงเส้นเปิด ในทางเทคนิคแล้ว นี่เป็นการนิยามฟังก์ชันตรรกยะบนVให้เป็นฟิลด์ของเศษส่วนของวงแหวนพิกัดเชิงเส้นของเซตย่อยเชิงเส้นเปิดใดๆ เนื่องจากเซตย่อยดังกล่าวทั้งหมดมีความหนาแน่น

มีความคล้ายคลึงกันในเชิงรูปแบบหลายประการระหว่างฟิลด์ทั่วโลกทั้งสองประเภท ฟิลด์ไม่ว่าจะเป็นประเภทใดก็มีคุณสมบัติที่ว่าฟิลด์เติมเต็ม ทั้งหมดของมัน เป็นฟิลด์กระชับเฉพาะที่ (ดูฟิลด์เฉพาะที่ ) ฟิลด์ทุกประเภทสามารถรับรู้ได้ว่าเป็นฟิลด์เศษส่วนของโดเมนเดเดคินด์ซึ่งไอเดียล ที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัว มีดัชนีจำกัด ในแต่ละกรณีจะมีสูตรผลคูณสำหรับองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์xดังนี้:

${\displaystyle \prod _{v}|x|_{v}=1,}$

โดยที่v เปลี่ยนแปลงไปตาม ค่าการประเมินทั้งหมดของฟิลด์

ความคล้ายคลึงกันระหว่างฟิลด์ทั้งสองประเภทเป็นแรงผลักดันสำคัญในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตแนวคิดเรื่องความคล้ายคลึงกันระหว่างฟิลด์จำนวนและพื้นผิวรีมันน์นั้นย้อนกลับไปถึงริชาร์ด เดเดคินด์และไฮน์ริช เอ็ม. เวเบอร์ในศตวรรษที่สิบเก้า ความคล้ายคลึงกันที่เข้มงวดกว่าซึ่งแสดงออกโดยแนวคิด 'ฟิลด์สากล' ซึ่งลักษณะของพื้นผิวรีมันน์ในฐานะเส้นโค้งเชิงพีชคณิตถูกแมปไปยังเส้นโค้งที่กำหนดบนฟิลด์จำกัดนั้นถูกสร้างขึ้นในช่วงทศวรรษ 1930 และถึงจุดสูงสุดในสมมติฐานรีมันน์สำหรับเส้นโค้งบนฟิลด์จำกัดซึ่งได้รับการยืนยันโดยอังเดร ไวล์ในปี 1940 คำศัพท์นี้อาจมาจากไวล์ ซึ่งเขียนหนังสือทฤษฎีจำนวนพื้นฐาน (1967) ส่วนหนึ่งเพื่อศึกษาความขนานกันนี้

โดยทั่วไปแล้ว การทำงานในกรณีของฟิลด์ฟังก์ชันจะง่ายกว่า จากนั้นจึงพยายามพัฒนาเทคนิคที่คล้ายคลึงกันในฝั่งฟิลด์จำนวน การพัฒนาทฤษฎีของอาราเคโลฟและการนำไปใช้โดยเกิร์ด ฟัลติงส์ในการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของมอร์เดลล์เป็นตัวอย่างที่น่าทึ่ง การเปรียบเทียบนี้ยังมีอิทธิพลต่อการพัฒนาทฤษฎีของอิวาซาวะและข้อสันนิษฐานหลักด้วย การพิสูจน์บทพิสูจน์ย่อยพื้นฐานในโครงการแลงแลนด์สยังใช้เทคนิคที่ลดกรณีฟิลด์จำนวนลงเหลือกรณีฟิลด์ฟังก์ชันด้วย