ในพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณวิธีการฉายภาพหรือที่เรียกว่าวิธีการฉายภาพของ Chorinเป็นวิธีการที่มีประสิทธิภาพใน การแก้ปัญหา การไหลของของไหลที่ไม่สามารถอัดได้ซึ่งขึ้นอยู่กับเวลาในเชิงตัวเลข วิธี นี้ได้รับการแนะนำครั้งแรกโดยAlexandre Chorinในปี 1967 ^{[ 1 ] [ 2 ]} ในฐานะวิธีการที่มีประสิทธิภาพในการแก้ สมการ Navier-Stokes ที่ไม่สามารถอัดได้ ข้อ ได้เปรียบที่สำคัญของวิธีการฉายภาพคือการคำนวณสนามความเร็วและสนามความดันแยกออกจากกัน

อัลกอริทึมของวิธีการฉายภาพนั้นอิงตามการแยกส่วนเฮล์มโฮลทซ์ (บางครั้งเรียกว่าการแยกส่วนเฮล์มโฮลทซ์-ฮอดจ์) ของสนามเวกเตอร์ ใดๆ ออกเป็น ส่วน โซเลนอยด์และ ส่วนที่ไม่ หมุน โดยทั่วไป อัลกอริทึมประกอบด้วยสองขั้นตอน ในขั้นตอนแรก จะคำนวณความเร็วระดับกลางที่ไม่เป็นไปตามข้อจำกัดของการอัดไม่ได้ในแต่ละช่วงเวลา ในขั้นตอนที่สอง จะใช้ความดันในการฉายความเร็วระดับกลางไปยังพื้นที่ของสนามความเร็วที่ปราศจากไดเวอร์เจนซ์ เพื่อให้ได้การอัปเดตความเร็วและความดันครั้งต่อไป

พื้นฐานทางทฤษฎีของวิธีการฉายภาพคือทฤษฎีบทการแยกส่วนของLadyzhenskayaซึ่งบางครั้งเรียกว่าการแยกส่วน Helmholtz–Hodge หรือเรียกง่ายๆ ว่าการแยกส่วน Hodge โดยระบุว่าสนามเวกเตอร์ที่กำหนดบน โดเมน ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายสามารถแยกส่วนได้อย่างไม่ซ้ำกันเป็นส่วนที่ไม่มีไดเวอร์เจนซ์ ( โซเลนอยด์ ) และส่วนที่ไม่มี การหมุน^{[ 3 ]}${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{sol}}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{irrot}}}$

ดังนั้น,

${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\text{sol}}+\mathbf {u} _{\text{irrot}}=\mathbf {u} _{\text{sol}}+\nabla \phi }$

เนื่องจากสำหรับฟังก์ชันสเกลาร์บางตัวการหาไดเวอร์เจนซ์ของสมการจะได้ ${\displaystyle \nabla \times \nabla \phi =0}$${\displaystyle \,\phi }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =\nabla ^{2}\phi \qquad ({\text{since,}}\;\nabla \cdot \mathbf {u} _{\text{sol}}=0)}$

นี่คือสมการปัวซงสำหรับฟังก์ชันสเกลาร์ ถ้า ทราบสนามเวกเตอร์แล้ว สามารถแก้สมการข้างต้นเพื่อหาฟังก์ชันสเกลาร์ได้ และ สามารถแยก ส่วนที่ไม่มีไดเวอร์เจนซ์ของ ได้โดยใช้ความสัมพันธ์${\displaystyle \,\phi }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \,\phi }$${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{sol}}=\mathbf {u} -\nabla \phi }$

นี่คือสาระสำคัญของวิธีการฉายภาพโซเลนอยด์สำหรับการแก้สมการนาเวียร์-สโตกส์ที่ไม่สามารถอัดได้

สมการนาเวียร์-สโตกส์ที่ไม่สามารถอัดได้ ( รูปแบบเชิงอนุพันธ์ของสมการโมเมนตัม) สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} }$

ในวิธีการฉายภาพแบบดั้งเดิมของChorin นั้น ขั้นแรกจะคำนวณความเร็วระดับกลาง โดยใช้สมการโมเมนตัมอย่างชัดเจน โดยไม่สนใจ พจน์ ความชันของความดัน : ${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}}$

${\displaystyle \quad (1)\qquad {\frac {\mathbf {u} ^{*}-\mathbf {u} ^{n}}{\Delta t}}=-(\mathbf {u} ^{n}\cdot \nabla )\mathbf {u} ^{n}+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} ^{n}}$

โดยที่คือความเร็ว ณ ขั้นเวลา ^{ที่ th}ในส่วนที่สองของอัลกอริธึม ซึ่งเป็น ขั้นตอน การฉายภาพเราจะแก้ไขความเร็วระดับกลางเพื่อให้ได้คำตอบสุดท้าย ณ ขั้นเวลา th : ${\displaystyle \mathbf {u} ^{n}}$${\displaystyle \,n}$${\displaystyle \mathbf {u} ^{n+1}}$

${\displaystyle \quad (2)\qquad \mathbf {u} ^{n+1}=\mathbf {u} ^{*}-{\frac {\Delta t}{\rho }}\,\nabla p^{n+1}}$

เราสามารถเขียนสมการนี้ใหม่ในรูปแบบของขั้นตอนเวลาได้ดังนี้

${\displaystyle {\frac {\mathbf {u} ^{n+1}-\mathbf {u} ^{*}}{\Delta t}}=-{\frac {1}{\rho }}\,\nabla p^{n+1}}$

เพื่อให้ชัดเจนว่าอัลกอริธึมนี้แท้จริงแล้วเป็นเพียง วิธี การแยกตัวดำเนินการโดยพิจารณาแรงหนืด (ในครึ่งขั้นตอนแรก) และแรงดัน (ในครึ่งขั้นตอนหลัง) แยกจากกัน

การคำนวณด้านขวาของขั้นตอนครึ่งที่สองจำเป็นต้องทราบค่าความดันที่ระดับเวลา ซึ่งได้มาจากการหาไดเวอร์เจนซ์และกำหนดให้ซึ่งเป็นเงื่อนไขไดเวอร์เจนซ์ (ความต่อเนื่อง) จึงได้สมการปัวซงต่อไป นี้ สำหรับ ${\displaystyle \,p}$${\displaystyle \,(n+1)}$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} ^{n+1}=0}$${\displaystyle \,p^{n+1}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}p^{n+1}={\frac {\rho }{\Delta t}}\,\nabla \cdot \mathbf {u} ^{*}}$

เป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะสังเกตว่าสมการที่เขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}=\mathbf {u} ^{n+1}+{\frac {\Delta t}{\rho }}\,\nabla p^{n+1}}$

การแยกส่วนแบบ Hodge มาตรฐานคือเงื่อนไขขอบเขตสำหรับบนขอบเขตของโดเมนในทางปฏิบัติ เงื่อนไขนี้เป็นสาเหตุของข้อผิดพลาดที่วิธีการนี้แสดงให้เห็นใกล้กับขอบเขตของโดเมน เนื่องจากความดันจริง (เช่น ความดันในคำตอบที่แน่นอนของสมการ Navier-Stokes) ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขตดังกล่าว ${\displaystyle \,p}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \nabla p^{n+1}\cdot \mathbf {n} =0}$

สำหรับวิธีที่ชัดเจน เงื่อนไขขอบเขตสำหรับในสมการ (1) เป็นไปตามธรรมชาติ ถ้า กำหนด บนแล้วปริภูมิของสนามเวกเตอร์ที่ไม่มีการล divergence จะตั้งฉากกับปริภูมิของสนามเวกเตอร์ที่ไม่หมุน และจากสมการ (2) จะได้ ${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {n} =0}$${\displaystyle \partial \Omega }$

${\displaystyle {\frac {\partial p^{n+1}}{\partial n}}=0\qquad {\text{on}}\quad \partial \Omega }$

สามารถหลีกเลี่ยงการกำหนดเงื่อนไขขอบเขตโดยตรงได้โดยการใช้ตารางแบบสลับตำแหน่งและกำหนดให้ค่าความดันที่จุดความดันที่อยู่ติดกับขอบเขตเป็นศูนย์ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} ^{n+1}}$

คุณลักษณะเด่นของวิธีการฉายภาพของ Chorin คือ การบังคับให้สนามความเร็วเป็นไปตามข้อจำกัดความต่อเนื่องแบบไม่ต่อเนื่อง ณ สิ้นสุดแต่ละช่วงเวลา

โดยทั่วไป วิธีการฉายภาพจะทำงานในรูปแบบขั้นตอนย่อยสองขั้นตอน ซึ่งเป็นวิธีการที่ใช้ขั้นตอนการคำนวณหลายขั้นตอนสำหรับแต่ละช่วงเวลาเชิงตัวเลข ในอัลกอริธึมการฉายภาพหลายๆ แบบ ขั้นตอนต่างๆ จะถูกแบ่งออกดังนี้:

1. ขั้นแรก ระบบจะถูกเลื่อนไปตามเวลาจนถึงตำแหน่งกึ่งกลางของช่วงเวลา โดยแก้สมการการขนส่งข้างต้นสำหรับมวลและโมเมนตัมโดยใช้ วิธี การเคลื่อนที่ ที่เหมาะสม ขั้นตอน นี้เรียกว่าขั้นตอนการทำนาย
2. ในขั้นตอนนี้ อาจมีการนำการฉายภาพเบื้องต้นมาใช้เพื่อให้สนามความเร็วในช่วงกึ่งกลางเวลาไม่มีการล divergence
3. จากนั้นจึงดำเนินการ ส่วนแก้ไขของอัลกอริธึมต่อไป โดยใช้ค่าประมาณความเร็ว ความหนาแน่น ฯลฯ ที่อิงตามเวลา เพื่อสร้างสถานะขั้นสุดท้าย ณ ช่วงเวลาหนึ่ง
4. จากนั้นจึงใช้การฉายภาพขั้นสุดท้ายเพื่อบังคับใช้ข้อจำกัดการล divergence บนสนามความเร็ว ขณะนี้ระบบได้รับการอัปเดตให้เป็นเวลาใหม่เรียบร้อยแล้ว