ในตรรกศาสตร์และคณิตศาสตร์การพิสูจน์โดยยกตัวอย่าง ( บางครั้งเรียกว่าการสรุปทั่วไปที่ไม่เหมาะสม ) เป็นความผิดพลาดทางตรรกะ ที่แสดงให้เห็นถึงความถูกต้องของข้อความผ่านตัวอย่างหรือกรณีหนึ่งหรือมากกว่านั้น แทนที่จะ เป็นการพิสูจน์ที่สมบูรณ์^{[ 1 ] [ 2 ]}

โครงสร้างรูปแบบการโต้แย้งและรูปแบบที่เป็นทางการของการพิสูจน์โดยใช้ตัวอย่างโดยทั่วไปจะเป็นไปดังนี้:

โครงสร้าง:

ฉันรู้ว่าXเป็นเช่นนั้น

ดังนั้น สิ่งใดก็ตามที่เกี่ยวข้องกับXก็เป็นเช่นนั้นด้วย

รูปแบบการโต้แย้ง :

ฉันรู้ว่าxซึ่งเป็นสมาชิกของกลุ่มXมีคุณสมบัติP

ดังนั้น องค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดของ^Xจะต้องมีคุณสมบัติP [ ^{2 ]}

รูปแบบทางการ :

${\displaystyle \exists x:P(x)\;\;\vdash \;\;\forall x:P(x)}$

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าเหตุใดการให้เหตุผลแบบนี้จึงเป็นความผิดพลาดทางตรรกะ:

ฉันเคยเห็นคนยิงคนตายมาแล้ว

ดังนั้น ทุกคนจึงเป็นฆาตกร

ในการสนทนาทั่วไป การพิสูจน์โดยใช้ตัวอย่างยังสามารถใช้เพื่ออธิบายความพยายามในการสร้างข้ออ้างโดยใช้ ตัวอย่าง ที่ไม่มีนัยสำคัญทางสถิติในกรณีนี้ คุณค่าของข้อโต้แย้งแต่ละข้ออาจต้องได้รับการประเมินเป็นรายบุคคล^{[ 3 ]}

ในบางสถานการณ์ ตัวอย่างก็อาจเพียงพอเป็นหลักฐาน ที่ถูกต้องตามหลักตรรกะได้

ในบางสถานการณ์ การให้เหตุผลโดยยกตัวอย่างอาจใช้ได้ หากนำไปสู่ ข้อสรุป เชิงการมีอยู่ จากข้อตั้งต้นเพียงข้อเดียว (เช่น พิสูจน์ว่าข้ออ้างนั้นเป็นจริงอย่างน้อยหนึ่งกรณี แทนที่จะเป็นทุกกรณี) ตัวอย่างเช่น:

โสเครติสเป็นคนฉลาด

ดังนั้น จึงมีบางคนที่ฉลาด

(หรือ)

ฉันเคยเห็นคนขโมยของ

ดังนั้น (บางคน) จึงสามารถขโมยได้

ตัวอย่างเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงรูปแบบที่ไม่เป็นทางการของกฎตรรกะที่เรียกว่าการแนะนำเชิงการมีอยู่ (existential introduction)หรือที่รู้จักกันในชื่อการระบุเฉพาะเจาะจง (specificisation ) หรือการสรุปทั่วไปเชิงการมีอยู่ (existential generalization ):

บทนำเชิงปรัชญา

${\displaystyle {\frac {\varphi (\beta /\alpha )}{\exists \alpha \,\varphi }}}$

(โดยที่หมายถึงสูตรที่สร้างขึ้นโดยการแทนที่ตัวแปรที่ปรากฏอย่างอิสระ ทั้งหมด ในด้วย) ${\displaystyle \varphi (\เบต้า /\อัลฟา )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \beta }$

ในทำนองเดียวกัน การหาตัวอย่างค้านจะหักล้าง (พิสูจน์การปฏิเสธของ) ข้อสรุปสากล ซึ่งใช้ในการพิสูจน์โดยการขัดแย้ง

ตัวอย่างต่างๆ ถือเป็นหลักฐานที่ถูกต้อง แม้จะดูไม่สวยงามนักเมื่อมี การแสดงให้เห็น แล้วว่าตัวอย่างที่ยกมานั้นครอบคลุมทุกกรณีที่เป็นไปได้

ในทางคณิตศาสตร์ การพิสูจน์โดยยกตัวอย่างยังสามารถใช้เพื่ออ้างถึงความพยายามในการแสดงข้ออ้างโดยการพิสูจน์กรณีต่างๆ ของข้ออ้าง โดยเข้าใจว่ากรณีเหล่านี้มีแนวคิดหลักที่สามารถสรุปเป็นข้อพิสูจน์ที่สมบูรณ์ได้^{[ 4 ]}

• ยืนยันผลที่ตามมา
• หลักฐานจากประสบการณ์ส่วนตัว
• ความน่าจะเป็นแบบเบย์เซียน
• ตัวอย่างค้าน
• การโบกมือ
• การให้เหตุผลแบบอุปนัย
  • ปัญหาของการเหนี่ยวนำ
• โมดัสโพเนนส์
• พิสูจน์โดยการก่อสร้าง
• หลักฐานโดยการข่มขู่

• เบนจามิน มัตช์เค: การพิสูจน์ที่ถูกต้องโดยใช้ตัวอย่างในคณิตศาสตร์ (arXiv)