ในการเพิ่มประสิทธิภาพทางคณิตศาสตร์ตัว ดำเนินการ ใกล้เคียงคือตัวดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันนูนกึ่งต่อเนื่องล่างที่ เหมาะสม ^{[หมายเหตุ 1 ]} จากปริภูมิฮิลเบิร์ต ไปยังและกำหนดโดย: ^{[ 1 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$

${\displaystyle \operatorname {prox} _{f}(v)=\arg \min _{x\in {\mathcal {X}}}\left(f(x)+{\frac {1}{2}}\|xv\|_{\mathcal {X}}^{2}\right).}$

สำหรับฟังก์ชันใดๆ ในกลุ่มนี้ ตัวลดค่าต่ำสุดของฝั่งขวามือข้างต้นมีเพียงหนึ่งเดียว ดังนั้นจึงทำให้ตัวดำเนินการแบบใกล้เคียง (proximal operator) มีความหมายที่ชัดเจน ตัวดำเนินการแบบใกล้เคียงนี้ใช้ในวิธีการไล่ระดับแบบใกล้เคียง (proximal gradient methods) ซึ่งมักใช้ในอัลกอริธึมการหาค่าเหมาะสมที่สุดที่เกี่ยวข้องกับปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้เช่น การลดสัญญาณรบกวนแบบแปรผัน รวม (total variation denoising )

ฟังก์ชันนูนกึ่งต่อเนื่องล่างที่เหมาะสมนั้นมีคุณสมบัติที่เป็นประโยชน์หลายประการสำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพ ${\displaystyle {\text{prox}}}$${\displaystyle f}$

• จุดคงที่ของคือจุดที่ทำให้ค่า มีค่าน้อยที่สุด: .${\displaystyle {\text{prox}}_{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{x\in {\mathcal {X}}\ |\ {\text{prox}}_{f}x=x\}=\arg \min f}$
• การลู่เข้าทั่วโลกไปยังตัวลดค่าต่ำสุดถูกกำหนดดังนี้: ถ้าแล้วสำหรับจุดเริ่มต้นใดๆการเรียกซ้ำจะให้ผลลัพธ์เป็นการ ลู่เข้าเมื่อ การลู่เข้านี้อาจอ่อนแอหากเป็นมิติอนันต์^{[ 2 ]}${\displaystyle \arg \min f\neq \varnothing }$${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {X}}}$${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )\quad x_{n+1}={\text{prox}}_{f}x_{n}}$${\displaystyle x_{n}\to x\in \arg \min f}$${\displaystyle n\to +\infty }$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• ตัวดำเนินการใกล้เคียงสามารถมองได้ว่าเป็นการขยายความของตัวดำเนินการฉายภาพแท้จริงแล้ว ในกรณีเฉพาะที่เป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ 0ของเซตปิดนูนที่ไม่ว่างเราจะได้ว่า${\displaystyle f}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \iota _{C}}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {prox} _{\iota _{C}}(x)&=\operatorname {argmin} \limits _{y}{\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left\|xy\right\|_{2}^{2}&{\text{ถ้า }}y\in C\\+\infty &{\text{ถ้า }}y\notin C\end{cases}}\\&=\operatorname {argmin} \limits _{y\in C}{\frac {1}{2}}\left\|xy\right\|_{2}^{2}\end{aligned}}}$

แสดงให้เห็นว่าตัวดำเนินการความใกล้เคียงนั้นเป็นการขยายความทั่วไปของตัวดำเนินการการฉายภาพอย่างแท้จริง

• ฟังก์ชันจะไม่ขยายตัวอย่างแน่นอนหาก .${\displaystyle (\forall (x,y)\in {\mathcal {X}}^{2})\quad \|{\text{prox}}_{f}x-{\text{prox}}_{f}y\|^{2}\leq \langle xy\ ,{\text{prox}}_{f}x-{\text{prox}}_{f}y\rangle }$
• ตัวดำเนินการใกล้เคียงของฟังก์ชันมีความสัมพันธ์กับเกรเดียนต์ของซองโมโร ของฟังก์ชันโดยเอกลักษณ์ต่อไปนี้: .${\displaystyle M_{\lambda f}}$${\displaystyle \lambda f}$${\displaystyle \nabla M_{\lambda f}(x)={\frac {1}{\lambda }}(x-\mathrm {prox} _{\lambda f}(x))}$
• ตัวดำเนินการความใกล้เคียงของมีลักษณะเฉพาะโดยการรวม โดยที่คืออนุพันธ์ย่อยของซึ่งกำหนดโดย${\displaystyle f}$${\displaystyle p=\operatorname {prox} _{f}(x)\Leftrightarrow xp\in \partial f(p)}$${\displaystyle \partial f}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \partial f(x)=\{u\in \mathbb {R} ^{N}\mid \forall y\in \mathbb {R} ^{N},(yx)^{\mathrm {T} }u+f(x)\leq f(y)\}}$โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าสามารถหาอนุพันธ์ได้ สมการข้างต้นจะลดรูปเหลือเพียง${\displaystyle f}$${\displaystyle p=\operatorname {prox} _{f}(x)\Leftrightarrow xp=\nabla f(p)}$

• วิธีการไล่ระดับใกล้เคียง

• คลังเก็บตัวดำเนินการความใกล้เคียง : รวบรวมตัวดำเนินการความใกล้เคียงที่เขียนด้วยMatlabและPython
• ProximalOperators.jl : แพ็กเกจ Juliaที่ใช้ในการสร้างตัวดำเนินการแบบ Proximal
• ODL : ไลบรารี Python สำหรับปัญหาผกผันที่ใช้ตัวดำเนินการแบบใกล้เคียง (proximal operators)