ในพลศาสตร์ของไหลการไหลที่มีการเปลี่ยนแปลงเป็นระยะเรียกว่าการไหลแบบเป็นจังหวะหรือการไหลแบบ Womersleyโปรไฟล์การไหลนี้ได้รับการคิดค้นขึ้นครั้งแรกโดยJohn R. Womersley (1907–1958) ในงานของเขาเกี่ยวกับการไหลของเลือดในหลอดเลือดแดง [ ^{1 ] ระบบ}หัวใจและ หลอดเลือด ของสัตว์มีกระดูกสันหลังเป็นตัวอย่างที่ดีมากที่พบการไหลแบบเป็นจังหวะ แต่การไหลแบบเป็นจังหวะยังพบได้ในเครื่องยนต์และระบบไฮด รอลิก อันเป็นผลมาจากกลไกการหมุน ที่สูบของเหลว

ลักษณะการไหลแบบเป็นจังหวะในท่อตรงแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle u(r,t)=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=0}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2})}}\right]e^{in\omega t}\right\}\,,}$

ที่ไหน:

คุณ	คือความเร็ว การไหลตามแนวยาว
ร	คือพิกัด รัศมี
ที	ถึงเวลาแล้ว
α	คือเลขโวเมอร์สลีย์ที่ ไม่มีมิติ
ω	คือความถี่เชิงมุมของฮาร์มอนิก แรก ของอนุกรมฟูริเยร์ของ ความชันความดันแบบสั่น
n	คือจำนวน ธรรมชาติ
พีเอ็น	คือขนาดของความชันความดัน สำหรับ ความถี่nω
ρ	คือความหนาแน่นของของเหลว
μ	คือความหนืดแบบไดนามิก
อาร์	รัศมีของท่อคือเท่าใด
เจ0 (·)	คือฟังก์ชันเบสเซล ชนิดแรกและอันดับศูนย์
ฉัน	คือจำนวนจินตนาการและ
อีกครั้ง{· }	คือส่วน จริงของจำนวนเชิงซ้อน

รูปแบบการไหลแบบเป็นจังหวะจะเปลี่ยนรูปร่างไปตามค่า Womersley number

${\displaystyle \alpha =R\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{1/2}.}$

สำหรับกรณีแรก แรงหนืดจะมีอิทธิพลเหนือการไหล และคลื่นจะถือว่าเป็นแบบกึ่งคงที่โดยมีรูปทรงพาราโบลา สำหรับกรณีที่สอง แรงเฉื่อยจะมีอิทธิพลเหนือแกนกลาง ในขณะที่แรงหนืดจะมีอิทธิพลเหนือบริเวณใกล้ชั้นขอบเขตดังนั้น รูปทรงความเร็วจึงแบนราบลง และเฟสระหว่างคลื่นความดันและคลื่นความเร็วจะเลื่อนไปทางแกนกลาง ${\displaystyle \alpha \lesssim 2}$${\displaystyle \alpha \gtrsim 2}$

ฟังก์ชันเบสเซลที่ขีดจำกัด ล่าง จะกลายเป็น^{[ 2 ]}

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }J_{0}(z)=1-{\frac {z^{2}}{4}}\,,}$

ซึ่งลู่เข้าสู่ โปรไฟล์ การไหลของ Hagen-Poiseuilleสำหรับการไหลแบบคงที่

${\displaystyle \lim _{n\to 0}u(r,t)=-{\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right),}$

หรือเป็น พัลส์ กึ่งคงที่ที่มีรูปทรงพาราโบลาเมื่อ

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}u(r,t)=\mathrm {Re} \left\{-\sum _{n=0}^{N}{\frac {P'_{n}}{4\mu }}(R^{2}-r^{2})\,e^{in\omega t}\right\}=-\sum _{n=0}^{N}{\frac {P'_{n}}{4\mu }}(R^{2}-r^{2})\,\cos(n\omega t)\,.}$

ในกรณีนี้ ฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันจริง เนื่องจากคลื่นความดันและคลื่นความเร็วอยู่ในเฟสเดียวกัน

ฟังก์ชันเบสเซลที่ขีดจำกัดบนจะกลายเป็น^{[ 2 ]}

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }J_{0}(z\,i)={\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi \,z}}}\,,}$

ซึ่งลู่เข้าสู่

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }u(r,t)=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=0}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-e^{\alpha \,n^{1/2}\,i^{1/2}\left({\frac {r}{R}}-1\right)}\right]e^{in\omega t}\right\}=-\sum _{n=0}^{N}{\frac {\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-e^{\alpha \,n^{1/2}\left({\frac {r}{R}}-1\right)}\right]\sin(n\,\omega \,t)\,.}$

ปรากฏการณ์นี้ชวนให้นึกถึงชั้นสโตกส์บนแผ่นเรียบที่สั่น หรือ การแทรกซึม ของสนามแม่เหล็กสลับเข้าไปในตัวนำไฟฟ้า ใน ระดับความลึกผิวบนพื้นผิวแต่พจน์เลขชี้กำลังจะน้อยมากเมื่อมีค่ามาก และโปรไฟล์ความเร็วจะเกือบคงที่และไม่ขึ้นอยู่กับความหนืด ดังนั้น การไหลจึงสั่นเป็นโปรไฟล์ปลั๊กตามเวลาตามการไล่ระดับความดัน ${\displaystyle u(r=R,t)=0}$${\displaystyle \alpha (1-r/R)}$

${\displaystyle \rho {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\sum _{n=0}^{N}P'_{n}\,.}$

อย่างไรก็ตาม บริเวณใกล้ผนัง ในชั้นที่มีความหนาความเร็วจะปรับตัวเข้าสู่ศูนย์อย่างรวดเร็ว นอกจากนี้ เฟสของการแกว่งตามเวลาจะเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วตามตำแหน่งในชั้นนั้นการลดลงแบบเอกซ์ponentialของความถี่สูงจะเร็วกว่า ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\alpha ^{-1})}$

เพื่อให้ได้มาซึ่งคำตอบเชิงวิเคราะห์ของโปรไฟล์ความเร็วการไหลที่ไม่คงที่นี้ จะใช้สมมติฐานดังต่อไปนี้: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

• ของเหลวเป็นเนื้อเดียวกันอัดไม่ได้และ เป็น ไปตามกฎของนิวตัน
• ผนังท่อมีความแข็งและ เป็น ทรงกลม
• การเคลื่อนที่นั้นเป็นแบบราบเรียบสมมาตรตามแกนและขนานกับแกนของท่อ
• เงื่อนไขขอบเขตคือสมมาตรตามแกนที่จุดศูนย์กลาง และไม่มีการลื่นไถลที่ผนัง
• ความแตกต่างของความดันเป็นฟังก์ชันคาบที่ขับเคลื่อนของเหลว และ
• แรงโน้มถ่วงไม่มีผลต่อของเหลว

ดังนั้นสมการนาเวียร์-สโตกส์และสมการความต่อเนื่องจึงถูกทำให้ง่ายขึ้นดังนี้

${\displaystyle \rho {\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)\,}$

และ

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}=0,}$

ตามลำดับ ความแตกต่างของความดันที่ขับเคลื่อนการไหลแบบเป็นจังหวะจะถูกแยกออกเป็นอนุกรมฟูริเยร์

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}(t)=\sum _{n=0}^{N}P'_{n}e^{in\omega t},}$

โดยที่คือจำนวนเชิงซ้อนคือความถี่เชิงมุมของฮาร์มอนิก แรก (เช่น) และคือแอมพลิจูดของแต่ละฮาร์มอนิก( แทน) คือเกรเดียนต์ความดันในสภาวะคงที่ ซึ่ง มี เครื่องหมายตรงข้ามกับความเร็วในสภาวะคงที่ (เช่น เกรเดียนต์ความดันที่เป็นลบจะให้การไหลที่เป็นบวก) ในทำนองเดียวกัน โปรไฟล์ความเร็วก็ถูกแยกออกเป็นอนุกรมฟูริเยร์ในเฟสเดียวกับเกรเดียนต์ความดัน เนื่องจากของไหลนั้นอัดไม่ได้ ${\displaystyle i}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle P'_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P'_{0}}$${\displaystyle n=0}$

${\displaystyle u(r,t)=\sum _{n=0}^{N}U_{n}e^{in\omega t},}$

โดยที่แอมพลิจูดของแต่ละฮาร์มอนิกของฟังก์ชันคาบคือ และส่วนประกอบคงที่ ( ) ก็คือการไหลแบบ Poiseuille นั่นเอง${\displaystyle U_{n}}$${\displaystyle n=0}$

${\displaystyle U_{0}=-{\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right).}$

ดังนั้น สมการนาเวียร์-สโตกส์สำหรับแต่ละฮาร์มอนิกจึงมีดังนี้

${\displaystyle i\rho n\omega U_{n}=-P'_{n}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}U_{n}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U_{n}}{\partial r}}\right).}$

เมื่อเงื่อนไขขอบเขตเป็นไปตามที่กำหนด ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ นี้ สำหรับส่วนที่แกว่ง ( ) คือ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle U_{n}(r)=A_{n}\,J_{0}\left(\alpha \,{\frac {r}{R}}n^{1/2}\,i^{3/2}\right)+B_{n}\,Y_{0}\left(\alpha \,{\frac {r}{R}}n^{1/2}\,i^{3/2}\right)+{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\,,}$

โดยที่คือฟังก์ชันเบสเซลชนิดที่หนึ่งและอันดับศูนย์คือฟังก์ชันเบสเซลชนิดที่สองและอันดับศูนย์และเป็นค่าคงที่ใดๆ และคือเลขโวเมอร์สลีย์ไร้มิติเงื่อนไขขอบเขตสมมาตรตามแกน ( ) ถูกนำมาใช้เพื่อแสดงว่าสำหรับการอนุพันธ์ของสมการข้างต้นให้เป็นจริง เมื่ออนุพันธ์และเข้าใกล้ค่าอนันต์ ต่อไป เงื่อนไขขอบเขตแบบไม่ลื่นไถลที่ผนัง ( ) ให้ผลลัพธ์ ดังนี้${\displaystyle J_{0}(\cdot )}$${\displaystyle Y_{0}(\cdot )}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle \alpha =R\surd (\omega \rho /\mu )}$${\displaystyle \partial U_{n}/\partial r|_{r=0}=0}$${\displaystyle B_{n}=0}$${\displaystyle J_{0}'}$${\displaystyle Y_{0}'}$${\displaystyle U_{n}(R)=0}$

${\displaystyle A_{n}=-{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}{\frac {1}{J_{0}\left(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\right)}}.}$

ดังนั้น แอมพลิจูดของโปรไฟล์ความเร็วของฮาร์มอนิกจึงกลายเป็น ${\displaystyle n}$

${\displaystyle U_{n}(r)={\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2})}}\right]={\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right],}$

โดยใช้สัญลักษณ์ เพื่อลดความซับซ้อน โปรไฟล์ความเร็วได้มาจากการนำ ส่วน จริงของฟังก์ชันเชิงซ้อนซึ่งเป็นผลมาจากการรวมฮาร์มอนิกทั้งหมดของพัลส์ ${\displaystyle \Lambda _{n}=\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}}$

${\displaystyle u(r,t)={\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)+\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{in\omega t}\right\}.}$

อัตราการไหลได้มาจากการอินทิเกรตสนามความเร็วบนหน้าตัด เนื่องจาก

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[x^{p}J_{p}(a\,x)\right]=a\,x^{p}J_{p-1}(a\,x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dx}}\left[x\,J_{1}(a\,x)\right]=a\,xJ_{0}(a\,x)\,,}$

แล้ว

${\displaystyle Q(t)=\iint u(r,t)\,dA=\mathrm {Re} \left\{\pi \,R^{2}\,\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {2}{\Lambda _{n}}}{\frac {J_{1}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{in\omega t}\right\}.}$

เพื่อเปรียบเทียบรูปทรงของโปรไฟล์ความเร็ว สามารถสมมติได้ว่า

${\displaystyle u(r,t)=f(r)\,{\frac {Q(t)}{A}}\,,}$

ที่ไหน

${\displaystyle f(r)={\frac {u(r,t)}{\frac {Q(t)}{A}}}=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}\left[{\frac {\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n})-\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n})-2\,J_{1}(\Lambda _{n})}}\right]\right\}}$

คือฟังก์ชันรูปร่าง^{[ 5 ]}สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าสูตรนี้ละเลยผลกระทบจากแรงเฉื่อย โปรไฟล์ความเร็วจะประมาณโปรไฟล์พาราโบลาหรือปลั๊ก สำหรับเลข Womersley ต่ำหรือสูง ตามลำดับ

สำหรับท่อตรงแรงเฉือนที่ผนังท่อคือ

${\displaystyle \tau _{w}=\mu \left.{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|_{r=R}\,.}$

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเบสเซลคือ

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left[x^{-p}J_{-p}(a\,x)\right]=a\,x^{-p}J_{p+1}(a\,x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial }{\partial x}}\left[J_{0}(a\,x)\right]=-a\,J_{1}(a\,x)\,.}$

เพราะฉะนั้น,

${\displaystyle \tau _{w}=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}P'_{n}{\frac {R}{\Lambda _{n}}}{\frac {J_{1}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}e^{in\omega t}\right\}\,.}$

หากไม่ได้วัดค่าความชันของความดันก็ยังสามารถหาค่าได้โดยการวัดความเร็วที่เส้นศูนย์กลาง ความเร็วที่วัดได้จะมีเพียงส่วนจริงของนิพจน์เต็มรูปแบบในรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle P'_{n}}$

${\displaystyle {\tilde {u}}(t)=\mathrm {Re} (u(0,t))\equiv \sum _{n=1}^{N}{\tilde {U}}_{n}\,\cos(n\,\omega \,t)\,.}$

เมื่อพิจารณาเช่นนั้นการแสดงออกทางกายภาพอย่างสมบูรณ์จึงกลายเป็น ${\displaystyle J_{0}(0)=1}$

${\displaystyle u(0,t)=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})-1}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{in\omega t}\right\}}$

ที่เส้นกึ่งกลาง ความเร็วที่วัดได้จะถูกเปรียบเทียบกับนิพจน์เต็มรูปแบบโดยใช้คุณสมบัติบางประการของจำนวนเชิงซ้อน สำหรับผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนใดๆแอมพลิจูดและเฟสจะมีความสัมพันธ์เป็นและตามลำดับ ดังนั้น ${\displaystyle C=AB}$${\displaystyle |C|=|A||B|}$${\displaystyle \phi _{C}=\phi _{A}+\phi _{B}}$

${\displaystyle {\tilde {U}}_{n}=\left|{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})-1}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right|\quad \Rightarrow \quad P'_{n}={\tilde {U}}_{n}\left|i\,\rho \,n\,\omega \left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})}{1-J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right|}$

และ

${\displaystyle {\tilde {\phi }}=0=\phi _{P'_{n}}+\phi _{U_{n}}\quad \Rightarrow \quad \phi _{P'_{n}}=\operatorname {phase} \left({\frac {i}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {1-J_{0}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right)\,,}$

ซึ่งในที่สุดก็ให้ผลลัพธ์

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}=\sum _{n=1}^{N}{\tilde {U}}_{n}\left|i\,\rho \,n\,\omega \left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})}{1-J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right|\,\cos \left\{n\,\omega \,t+\operatorname {phase} \left({\frac {i}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {1-J_{0}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right)\right\}\,.}$

• ระบบหัวใจและหลอดเลือด
• พลศาสตร์ของเลือด
• หมายเลข Womersley
• ค้อนของเหลว