ในประสาทสรีรวิทยามีการพัฒนาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของศักยภาพการกระทำ หลายแบบ ซึ่งแบ่งออกเป็นสองประเภทพื้นฐาน ประเภทแรกพยายามสร้างแบบจำลองข้อมูลการทดลองเชิงปริมาณ กล่าวคือ เพื่อจำลองการวัดกระแสและแรงดันไฟฟ้าได้อย่างแม่นยำ แบบจำลอง Hodgkin–Huxley ที่มีชื่อเสียง ของแอกซอนจาก ปลาหมึก Loligoเป็นตัวอย่างของแบบจำลองดังกล่าว^{[ 1 ]}แม้ว่าแบบจำลอง HH จะถูกต้องในเชิงคุณภาพ แต่ก็ไม่ได้อธิบายเยื่อหุ้มเซลล์ที่กระตุ้นได้ทุกประเภทอย่างแม่นยำ เนื่องจากพิจารณาเฉพาะไอออนสองชนิด (โซเดียมและโพแทสเซียม) โดยแต่ละชนิดมีช่องที่ไวต่อแรงดันไฟฟ้าเพียงประเภทเดียว อย่างไรก็ตาม ไอออนอื่นๆ เช่นแคลเซียมอาจมีความสำคัญ และมีช่องที่หลากหลายสำหรับไอออนทั้งหมด^{[ 2 ]}ตัวอย่างเช่นศักยภาพการกระทำของหัวใจแสดงให้เห็นว่าศักยภาพการกระทำที่มีรูปร่างแตกต่างกันสามารถเกิดขึ้นได้บนเยื่อหุ้มเซลล์ที่มีช่องแคลเซียมที่ไวต่อแรงดันไฟฟ้าและช่องโซเดียม/โพแทสเซียมประเภทต่างๆ ประเภทที่สองของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นการลดทอนความซับซ้อนของประเภทแรก เป้าหมายไม่ใช่การจำลองข้อมูลการทดลอง แต่เป็นการทำความเข้าใจบทบาทของศักยภาพการกระทำในวงจรประสาทในเชิงคุณภาพ ด้วยเหตุนี้ แบบจำลองทางสรีรวิทยาโดยละเอียดอาจซับซ้อนเกินไปโดยไม่จำเป็น และอาจทำให้มองไม่เห็นภาพรวมแบบจำลอง FitzHugh–Nagumoเป็นตัวอย่างทั่วไปของแบบจำลองประเภทนี้ ซึ่งมักถูกศึกษาเกี่ยวกับพฤติกรรมการประสานจังหวะ^{[ 3 ]}การประสานจังหวะมักพบเห็นได้ในธรรมชาติ เช่น การส่องแสงพร้อมกันของหิ่งห้อยซึ่งประสานงานโดยการระเบิดของศักยภาพการกระทำ^{[ 4 ]}การประสานจังหวะยังสามารถสังเกตได้ในเซลล์ประสาทแต่ละเซลล์^{[ 5 ]}แบบจำลองทั้งสองประเภทอาจใช้เพื่อทำความเข้าใจพฤติกรรมของเครือข่ายประสาทชีวภาพ ขนาดเล็ก เช่นตัวสร้างรูปแบบส่วนกลางที่รับผิดชอบต่อการกระทำสะท้อนอัตโนมัติบางอย่าง^{[ 6 ]}เครือข่ายดังกล่าวสามารถสร้างรูปแบบเวลาที่ซับซ้อนของศักยภาพการกระทำที่ใช้ในการประสานการหดตัวของกล้ามเนื้อ เช่น กล้ามเนื้อที่เกี่ยวข้องกับการหายใจหรือการว่ายน้ำเร็วเพื่อหนีจากผู้ล่า^{[ 7 ]}

ในปี พ.ศ. 2495 Alan Lloyd HodgkinและAndrew Huxleyได้พัฒนาชุดสมการเพื่อให้เข้ากับข้อมูลการควบคุมแรงดันไฟฟ้าจากการทดลองบนเยื่อหุ้มแอกซอน^{[ 1 ] [ 8 ]}แบบจำลองนี้ถือว่าความจุของเยื่อหุ้มเซลล์Cมีค่าคงที่ ดังนั้นแรงดันไฟฟ้าข้ามเยื่อหุ้มเซลล์Vจะเปลี่ยนแปลงไปตามกระแสไฟฟ้าข้ามเยื่อหุ้มเซลล์ทั้งหมดI ตามสมการ

${\displaystyle C{\frac {dV}{dt}}=I_{\mathrm {tot} }=I_{\mathrm {ext} }+I_{\mathrm {Na} }+I_{\mathrm {K} }+I_{\mathrm {L} }}$

โดยที่I , I และI คือกระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านช่องโซเดียม ช่องโพแทสเซียม และช่อง "รั่ว" (ซึ่งเป็นคำรวม) ในบริเวณนั้น ตามลำดับ ส่วนI ในตอนต้น แสดงถึงกระแสไฟฟ้าที่มาจากแหล่งภายนอก เช่นศักยภาพหลังไซแนปส์กระตุ้นจากเดนไดรต์หรืออิเล็กโทรดของนักวิทยาศาสตร์

แบบจำลองนี้ยังตั้งสมมติฐานเพิ่มเติมว่าช่องไอออนที่กำหนดนั้นจะเปิดหรือปิดสนิทเท่านั้น หากปิดอยู่ค่าการนำไฟฟ้าจะเป็นศูนย์ ในขณะที่หากเปิดอยู่ ค่าการนำไฟฟ้าจะเป็นค่าคงที่gดังนั้น กระแสสุทธิที่ไหลผ่านช่องไอออนจึงขึ้นอยู่กับตัวแปรสองตัว คือ ความน่าจะเป็นp ที่ช่องจะเปิดอยู่ และความแตกต่างของแรงดันไฟฟ้าจากแรงดันไฟฟ้าสมดุลของไอออนนั้นV − V ตัวอย่างเช่น กระแสที่ไหลผ่านช่องโพแทสเซียมอาจเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle I_{\mathrm {K} }=g_{\mathrm {K} }\left(V-E_{\mathrm {K} }\right)p_{\mathrm {open,K} }}$

ซึ่งเทียบเท่ากับกฎของโอห์มตามนิยามแล้ว จะไม่มีกระแสสุทธิไหล ( I = 0) เมื่อแรงดันไฟฟ้าข้ามเยื่อหุ้มเซลล์เท่ากับแรงดันไฟฟ้าสมดุลของไอออนนั้น (เมื่อV = E )

เพื่อให้ข้อมูลของพวกเขาสอดคล้องกันอย่างแม่นยำ Hodgkin และ Huxley สันนิษฐานว่าช่องไอออนแต่ละประเภทมี "ประตู" หลายบาน ดังนั้นช่องจะเปิดก็ต่อเมื่อประตูทั้งหมดเปิดอยู่ และจะปิดในกรณีอื่น ๆ พวกเขายังสันนิษฐานว่าความน่าจะเป็นที่ประตูจะเปิดนั้นเป็นอิสระจากประตูอื่น ๆ ที่เปิดอยู่ ซึ่งสมมติฐานนี้ได้รับการตรวจสอบความถูกต้องในภายหลังสำหรับประตูการปิดใช้งาน^{[ 9 ]} Hodgkin และ Huxley จำลองช่องโพแทสเซียมที่ไวต่อแรงดันไฟฟ้าว่ามีประตูสี่บาน โดยให้p แทนความน่าจะเป็นที่ประตูแต่ละบานจะเปิด ความน่าจะเป็นที่ช่องทั้งหมดจะเปิดคือผลคูณของความน่าจะเป็นทั้งสี่ดังกล่าว กล่าวคือp = n ⁴ในทำนองเดียวกัน ความน่าจะเป็นของช่องโซเดียมที่ไวต่อแรงดันไฟฟ้าถูกจำลองให้มีประตูที่คล้ายกันสามบานที่มีความน่าจะเป็นmและประตูบานที่สี่ที่เกี่ยวข้องกับการปิดใช้งานที่มีความน่าจะเป็นhดังนั้นp = m ³ hความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละประตูถือว่าเป็นไปตามจลนศาสตร์อันดับหนึ่ง

${\displaystyle {\frac {dm}{dt}}=-{\frac {m-m_{\mathrm {eq} }}{\tau _{m}}}}$

โดยที่ทั้งค่าสมดุลm และค่าคงที่เวลาการผ่อนคลาย τ ขึ้นอยู่กับแรงดันไฟฟ้าทันทีVข้ามเยื่อหุ้มเซลล์ หากVเปลี่ยนแปลงในระดับเวลาที่ช้ากว่า τ ความ น่าจะเป็น mจะเท่ากับค่าสมดุลm โดยประมาณเสมอ อย่างไรก็ตาม หากVเปลี่ยนแปลงเร็วขึ้นmจะล้าหลังm โดยการปรับข้อมูลการควบคุมแรงดันไฟฟ้า Hodgkin และ Huxley สามารถสร้างแบบจำลองว่าค่าสมดุลและค่าคงที่เวลาเหล่านี้เปลี่ยนแปลงอย่างไรกับอุณหภูมิและแรงดันไฟฟ้าข้ามเยื่อหุ้มเซลล์^{[ 1 ]}สูตรมีความซับซ้อนและขึ้นอยู่กับแรงดันไฟฟ้าและอุณหภูมิแบบเลขชี้กำลัง ตัวอย่างเช่น ค่าคงที่เวลาสำหรับความน่าจะเป็นในการกระตุ้นช่องโซเดียมhเปลี่ยนแปลงเป็น 3 ^{(θ − 6.3)/10}กับอุณหภูมิเซลเซียส θ และกับแรงดันไฟฟ้าVเป็น

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{h}}}=0.07e^{-V/20}+{\frac {1}{1+e^{3-V/10}}}.}$

โดยสรุป สมการ Hodgkin–Huxley เป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่ไม่เป็นเชิงเส้นที่ซับซ้อนในตัวแปรอิสระสี่ตัวได้แก่ แรงดันไฟฟ้าข้ามเยื่อหุ้มเซลล์Vและความน่าจะเป็นm , hและn ^{[ 10 ]}ยังไม่มีการค้นพบคำตอบทั่วไปของสมการเหล่านี้ วิธีการที่ไม่ทะเยอทะยานมากนักแต่สามารถนำไปใช้ได้ทั่วไปในการศึกษาระบบพลวัตที่ไม่เป็นเชิงเส้นดังกล่าวคือการพิจารณาพฤติกรรมของระบบในบริเวณใกล้เคียงจุดคงที่ [ ^{11 ] การ}วิเคราะห์นี้แสดงให้เห็นว่าระบบ Hodgkin–Huxley มีการเปลี่ยนแปลงจากสภาวะสงบนิ่งไปสู่ การสั่น แบบเป็นจังหวะเมื่อกระแสกระตุ้นI เพิ่มขึ้นอย่างค่อยเป็นค่อยไป ที่น่าทึ่งคือ แอกซอนจะกลับมาสงบนิ่งอีกครั้งเมื่อกระแสกระตุ้นเพิ่มขึ้นอีก^{[ 12 ]}นอกจากนี้ยังมีการศึกษาทั่วไปเกี่ยวกับพฤติกรรมเชิงคุณภาพของแอกซอนที่ทำนายโดยสมการ Hodgkin–Huxley อีกด้วย^{[ 10 ]}

เนื่องจากความซับซ้อนของสมการ Hodgkin–Huxley จึงมีการพัฒนาการลดรูปต่างๆ ที่แสดงพฤติกรรมที่คล้ายคลึงกันในเชิงคุณภาพ^{[ 3 ] [ 13 ]} แบบจำลอง FitzHugh –Nagumoเป็นตัวอย่างทั่วไปของระบบที่ลดรูปดังกล่าว^{[ 14 ] [ 15 ]} แบบจำลอง FHN ซึ่งอิงตามไดโอดอุโมงค์มีตัวแปรอิสระเพียงสองตัว แต่แสดงพฤติกรรมเสถียรภาพที่คล้ายคลึงกับสมการ Hodgkin–Huxley แบบเต็ม^{[ 16 ]}สมการคือ

${\displaystyle C{\frac {dV}{dt}}=Ig(V),}$

${\displaystyle L{\frac {dI}{dt}}=EV-RI}$

โดยที่g(V)เป็นฟังก์ชันของแรงดันไฟฟ้าVซึ่งมีบริเวณที่มีความชันเป็นลบตรงกลาง ขนาบข้างด้วยค่าสูงสุดหนึ่งค่าและค่าต่ำสุดหนึ่งค่า (รูป FHN) กรณีง่ายๆ ที่ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางของแบบจำลอง FitzHugh–Nagumo คือแบบจำลองเส้นประสาท Bonhoeffer-van der Pol ซึ่งอธิบายโดยสมการ^{[ 17 ]}

${\displaystyle C{\frac {dV}{dt}}=I-\epsilon \left({\frac {V^{3}}{3}}-V\right),}$

${\displaystyle L{\frac {dI}{dt}}=-V}$

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ ε ถือว่ามีค่าน้อย สมการเหล่านี้สามารถรวมกันเป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองได้

${\displaystyle C{\frac {d^{2}V}{dt^{2}}}+\epsilon \left(V^{2}-1\right){\frac {dV}{dt}}+{\frac {V}{L}}=0.}$

สมการ van der Polนี้ได้กระตุ้นการวิจัยมากมายในคณิตศาสตร์ของระบบไดนามิกแบบ ไม่เชิงเส้น วงจร Op-ampที่สร้างแบบจำลอง FHN และ van der Pol ของศักยภาพการกระทำได้รับการพัฒนาโดย Keener ^{[ 18 ]}

แบบจำลองลูกผสมระหว่างแบบจำลอง Hodgkin–Huxley และ FitzHugh–Nagumo ได้รับการพัฒนาโดย Morris และ Lecar ในปี 1981 และนำไปใช้กับ เส้นใย กล้ามเนื้อของเพรียงทะเล [ ^{19 ] แบบ}จำลอง Morris–Lecar สอดคล้องกับสรีรวิทยาของเพรียงทะเล โดยแทนที่กระแสโซเดียมที่ควบคุมด้วยแรงดันไฟฟ้าของแบบจำลอง Hodgkin–Huxley ด้วยกระแสแคลเซียมที่ขึ้นอยู่กับแรงดันไฟฟ้า ไม่มีการปิดใช้งาน (ไม่มี ตัวแปร h ) และกระแสแคลเซียมจะสมดุลทันที ดังนั้นจึงมีตัวแปรที่ขึ้นอยู่กับเวลาเพียงสองตัวเท่านั้น คือ แรงดันไฟฟ้าข้ามเยื่อหุ้มเซลล์Vและความน่าจะเป็นของประตูโพแทสเซียมnคุณสมบัติการระเบิด การเหนี่ยวนำ และคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ของแบบจำลองนี้ได้รับการศึกษาอย่างละเอียด^{[ 20 ]}

แบบจำลองที่ง่ายที่สุดของศักยภาพการกระทำคือแบบจำลอง "ล้างและเติม" (เรียกอีกอย่างว่าแบบจำลอง "รวมและยิง") ซึ่งสัญญาณอินพุตจะถูกรวม (เฟส "เติม") จนกว่าจะถึงเกณฑ์ ทำให้เกิดพัลส์และรีเซ็ตผลรวมเป็นศูนย์ (เฟส "ล้าง") ^{[ 3 ] [ 21 ] [ 22 ]}แบบจำลองเหล่านี้ทั้งหมดสามารถแสดงการเหนี่ยวนำซึ่งมักพบเห็นได้ในระบบประสาท^{[ 3 ]}

ในขณะที่แบบจำลองข้างต้นจำลองแรงดันไฟฟ้าและกระแสไฟฟ้าข้ามเยื่อหุ้มเซลล์ที่บริเวณเยื่อหุ้มเซลล์เพียงจุดเดียว แบบจำลองทางคณิตศาสตร์อื่นๆ เกี่ยวข้องกับแรงดันไฟฟ้าและกระแสไฟฟ้าในสารละลายไอออนิกที่ล้อมรอบเซลล์ประสาท^{[ 23 ]} แบบจำลองดังกล่าวมีประโยชน์ในการตีความข้อมูลจากอิเล็กโทรดภายนอกเซลล์ ซึ่งเป็นที่นิยมใช้กันก่อนการประดิษฐ์อิเล็กโทรดหลอดแก้วที่ช่วยให้สามารถบันทึกข้อมูลภายในเซลล์ได้^{[ 24 ]} สื่อภายนอกเซลล์อาจถูกจำลองเป็นสารละลายไอออ นิกแบบไอโซโทรปิกปกติ ในสารละลายดังกล่าว กระแสไฟฟ้าจะไหลตามเส้นสนามไฟฟ้า ตามกฎของโอห์ม ในรูปแบบต่อเนื่อง

${\displaystyle \mathbf {j} =\sigma \mathbf {E} }$

โดยที่jและEเป็นเวกเตอร์ที่แสดงถึงความหนาแน่นกระแสและสนามไฟฟ้าตามลำดับ และ σ คือค่าการนำไฟฟ้าดังนั้นjสามารถหาได้จากEซึ่งสามารถหาได้โดยใช้สมการของแม็กซ์เวลล์สมการของแม็กซ์เวลล์สามารถลดรูปให้เป็นปัญหาทางไฟฟ้าสถิต ที่ค่อนข้างง่ายได้ เนื่องจากความเข้มข้นของไอออนเปลี่ยนแปลงช้าเกินไป (เมื่อเทียบกับความเร็วแสง ) ทำให้ผลกระทบทางแม่เหล็กไม่สำคัญศักย์ไฟฟ้า φ( x ) ที่จุดภายนอกเซลล์ใดๆxสามารถหาคำตอบได้โดยใช้เอกลักษณ์ของกรีน^{[ 23 ]}

${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi \sigma _{\mathrm {outside} }}}\oint _{\mathrm {membrane} }{\frac {\partial }{\partial n}}{\frac {1}{\left|\mathbf {x} -{\boldsymbol {\xi }}\right|}}\left[\sigma _{\mathrm {outside} }\phi _{\mathrm {outside} }({\boldsymbol {\xi }})-\sigma _{\mathrm {inside} }\phi _{\mathrm {inside} }({\boldsymbol {\xi }})\right]dS}$

โดยที่การบูรณาการเกิดขึ้นทั่วทั้งพื้นผิวของเยื่อหุ้มเซลล์${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\xi }}}$เป็นตำแหน่งบนเยื่อหุ้มเซลล์ σ และ φ คือค่าการนำไฟฟ้าและศักยภาพภายในเยื่อหุ้มเซลล์ และ σ และ φ คือค่าที่สอดคล้องกันภายนอกเยื่อหุ้มเซลล์ ดังนั้น เมื่อกำหนดค่า σ และ φ บนเยื่อหุ้มเซลล์แล้ว ศักยภาพภายนอกเซลล์ φ( x ) สามารถคำนวณได้สำหรับตำแหน่งx ใดๆ ในทางกลับกัน สนามไฟฟ้าEและความหนาแน่นกระแสjสามารถคำนวณได้จากสนามศักยภาพนี้^{[ 25 ]}

• แบบจำลองเซลล์ประสาททางชีววิทยา
• สมการกระแส GHK
• แบบจำลองการคำนวณทางประสาท
• การนำไฟฟ้าแบบกระโดด
• ไบโออิเล็กทรอนิกส์
• ทฤษฎีสายเคเบิล