ศักยภาพควอนตัมหรือศักยภาพเชิงควอนตัมเป็นแนวคิดหลักของการกำหนดสูตรของเดอ บรอยล์-โบห์มในกลศาสตร์ควอนตัมซึ่งนำเสนอโดยเดวิด โบห์มในปี 1952

เดิมทีแนวคิด นี้ถูกนำเสนอภายใต้ชื่อศักยภาพทางกลศาสตร์ควอน ตัม ต่อมาเรียกว่าศักยภาพควอนตัมและภายหลังได้รับการขยายความโดย Bohm และBasil Hileyในการตีความว่าเป็นศักยภาพของข้อมูลที่กระทำต่ออนุภาคควอนตัม นอกจากนี้ยังเรียกอีกชื่อหนึ่งว่าพลังงานศักยภาพควอนตัมศักยภาพของ Bohm ศักยภาพควอนตัมของ Bohm หรือ ศักยภาพควอนตั ม ของ Bohm

ศักยภาพควอนตัม

${\displaystyle \quad Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R}{R}}}$

ในกรอบของทฤษฎีเดอ บรอยล์-โบห์ม ศักยภาพควอนตัมเป็นเทอมหนึ่งในสมการชโรดิงเกอร์ซึ่งทำหน้าที่นำทางการเคลื่อนที่ของอนุภาคควอนตัม แนวทางศักยภาพควอนตัมที่โบห์มนำเสนอ^{[ 1 ] [ 2 ]}ให้การอธิบายแนวคิดที่หลุยส์ เดอ บรอยล์ นำเสนอซึ่งมีพื้นฐานทางกายภาพน้อยกว่า : เดอ บรอยล์ได้ตั้งสมมติฐานในปี 1925 ว่าฟังก์ชันคลื่น สัมพัทธภาพ ที่กำหนดบนปริภูมิเวลาแสดงถึงคลื่นนำร่องซึ่งนำทางอนุภาคควอนตัม ซึ่งแสดงเป็นยอดที่แกว่งไปมาในสนามคลื่น แต่ต่อมาเขาได้ละทิ้งแนวทางของเขาเนื่องจากเขาไม่สามารถหาอนุพันธ์ของสมการนำทางสำหรับอนุภาคจากสมการคลื่นที่ไม่เป็นเชิงเส้นได้ บทความสำคัญของโบห์มในปี 1952 ได้นำเสนอศักยภาพควอนตัมและรวมถึงคำตอบสำหรับข้อโต้แย้งที่เกิดขึ้นกับทฤษฎีคลื่นนำร่อง

ศักยภาพควอนตัมของ Bohm มีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับผลลัพธ์ของแนวทางอื่นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกี่ยวข้องกับงานของErwin Madelungในปี พ.ศ. 2460 ^{[ 3 ]}และCarl Friedrich von Weizsäckerในปี พ.ศ. 2478 ^{[ 4 ]}

โดยอาศัยการตีความทฤษฎีควอนตัมที่ Bohm นำเสนอในปี พ.ศ. 2495 David Bohm และBasil Hileyในปี พ.ศ. 2518 ได้นำเสนอแนวคิดศักยภาพควอนตัมที่นำไปสู่แนวคิด "ความเป็นหนึ่งเดียวที่ไม่ขาดตอนของจักรวาลทั้งหมด" โดยเสนอว่าคุณสมบัติใหม่พื้นฐานที่นำเสนอโดยฟิสิกส์ควอนตัมคือภาวะไม่เป็นท้องถิ่น^{[ 5 ]}

สมการชโรดิงเกอร์

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\right)\psi \quad }$

เขียนใหม่โดยใช้รูปแบบเชิงขั้วสำหรับฟังก์ชันคลื่นที่มีฟังก์ชันค่าจริงและโดยที่คือแอมพลิจูด ( ค่าสัมบูรณ์ ) ของฟังก์ชันคลื่นและ คือเฟสของมัน ซึ่งจะได้สมการสองสมการ: จากส่วนจินตนาการและส่วนจริงของสมการชโรดิงเกอร์ จะได้สมการความต่อเนื่องและ สมการควอนตัม แฮมิลตัน-จาโคบีตามลำดับ^{[ 1 ] [ 6 ]}${\displaystyle \psi =R\exp(iS/\hbar )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle S/\hbar }$

ส่วนจินตภาพของสมการชโรดิงเกอร์ในรูปแบบเชิงขั้วให้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial t}}=-{\frac {1}{2m}}\left[R\nabla ^{2}S+2\nabla R\cdot \nabla S\right],}$

ซึ่งหากพิจารณาตามที่กำหนดก็สามารถตีความได้ว่าเป็นสมการความต่อเนื่องสำหรับความหนาแน่นของความน่าจะเป็นและสนามความเร็ว${\displaystyle \rho =R^{2}}$${\displaystyle \partial \rho /\partial t+\nabla \cdot (\rho v)=0}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle v={\frac {1}{m}}\nabla S}$

ส่วนจริงของสมการชโรดิงเกอร์ในรูปแบบเชิงขั้วจะให้สมการแฮมิลตัน-จาโคบีที่ดัดแปลงแล้ว

เรียกอีกอย่างว่าสมการแฮมิลตัน-จาโคบีควอนตัม [ ^{7 ] แตก}ต่างจากสมการแฮมิลตัน-จาโคบี แบบคลาสสิก เพียงแค่เทอม

คำศัพท์นี้เรียกว่าศักยภาพควอนตัมจึงขึ้นอยู่กับความโค้งของแอมพลิจูดของฟังก์ชันคลื่น^{[ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle Q}$

ในขีดจำกัดฟังก์ชันนี้เป็นคำตอบของสมการแฮมิลตัน-จาโคบี (แบบคลาสสิก) ^{[ 1 ]}ดังนั้น ฟังก์ชันนี้จึงเรียกว่าฟังก์ชันแฮมิลตัน-จาโคบี หรือแอคชั่นซึ่งขยายไปสู่ฟิสิกส์ควอนตัม ${\displaystyle \hbar \to 0}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

Hiley เน้นย้ำหลายแง่มุม^{[ 10 ]}ที่เกี่ยวข้องกับศักยภาพควอนตัมของอนุภาคควอนตัม:

• โดยทางคณิตศาสตร์แล้วจะได้มาจากส่วนจริงของสมการชโรดิงเกอร์ภายใต้การแยกส่วนเชิงขั้วของฟังก์ชันคลื่น^{[ 11 ]}ไม่ได้มาจากแฮมิลโทเนียน^{[ 12 ]}หรือแหล่งภายนอกอื่น ๆ และอาจกล่าวได้ว่าเกี่ยวข้องกับกระบวนการจัดระเบียบตนเองที่เกี่ยวข้องกับสนามพื้นฐาน
• ค่าจะไม่เปลี่ยนแปลงหากคูณด้วยค่าคงที่ เนื่องจากพจน์นี้ปรากฏอยู่ในตัวส่วนด้วย ดังนั้นค่าจึงไม่ขึ้นอยู่กับขนาดของและด้วยเหตุนี้จึงไม่ขึ้นอยู่กับความเข้มของสนาม ดังนั้นศักย์ควอนตัมจึงตรงตามเงื่อนไขเบื้องต้นสำหรับภาวะไม่เฉพาะที่ กล่าวคือ ค่าไม่จำเป็นต้องลดลงเมื่อระยะทางเพิ่มขึ้น${\displaystyle R}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \psi }$
• มันบรรจุข้อมูลเกี่ยวกับการจัดเตรียมการทดลองทั้งหมดที่อนุภาคนั้นอยู่

ในปี พ.ศ. 2522 Hiley และเพื่อนร่วมงานของเขา Philippidis และ Dewdney ได้นำเสนอการคำนวณอย่างเต็มรูปแบบเพื่ออธิบายการทดลองสองช่องในแง่ของวิถีโบห์เมียนที่เกิดขึ้นสำหรับอนุภาคแต่ละตัวที่เคลื่อนที่ภายใต้อิทธิพลของศักยภาพควอนตัมส่งผลให้เกิดรูปแบบการรบกวนที่เป็นที่รู้จักกันดี^{[ 13 ]}

นอกจากนี้ การเปลี่ยนแปลงรูปแบบการรบกวนที่เกิดขึ้นเมื่อมีสนามแม่เหล็กในปรากฏการณ์ Aharonov–Bohmสามารถอธิบายได้ว่าเกิดจากศักยภาพควอนตัม^{[ 14 ]}

การยุบตัวของฟังก์ชันคลื่นของการตีความโคเปนเฮเกนของทฤษฎีควอนตัมได้รับการอธิบายในแนวทางศักยภาพควอนตัมโดยการสาธิตว่าหลังจากการวัด "แพ็กเก็ตทั้งหมดของฟังก์ชันคลื่นหลายมิติที่ไม่สอดคล้องกับผลลัพธ์จริงของการวัดจะไม่มีผลต่ออนุภาค" นับจากนั้นเป็นต้นไป^{[ 15 ]} Bohm และ Hiley ชี้ให้เห็นว่า

...ศักยภาพควอนตัมสามารถพัฒนาจุดแยกสาขาที่ไม่เสถียร ซึ่งแยกกลุ่มวิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาคตาม "ช่องทาง" ที่พวกมันเข้าไปและอยู่ภายในในที่สุด สิ่งนี้อธิบายว่าการวัดเป็นไปได้อย่างไรโดยไม่ต้อง "ยุบตัว" ของฟังก์ชันคลื่น และกระบวนการควอนตัมทุกประเภท เช่น การเปลี่ยนผ่านระหว่างสถานะ การรวมสองสถานะเข้าเป็นหนึ่งเดียว และการแตกตัวของระบบหนึ่งเป็นสองระบบ สามารถเกิดขึ้นได้โดยไม่จำเป็นต้องมีผู้สังเกตการณ์ที่เป็นมนุษย์^{[ 16 ]}

การวัดจึง "เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงแบบมีส่วนร่วมซึ่งทั้งระบบที่อยู่ภายใต้การสังเกตและอุปกรณ์สังเกตการณ์ต่างมีส่วนร่วมซึ่งกันและกันเพื่อให้วิถีการเคลื่อนที่ประพฤติตัวในลักษณะที่สัมพันธ์กัน กลายเป็นสัมพันธ์กันและแยกออกเป็นชุดที่แตกต่างกันและไม่ทับซ้อนกัน (ซึ่งเราเรียกว่า 'ช่องสัญญาณ')" ^{[ 17 ]}

ฟังก์ชันคลื่นชโรดิงเกอร์ของระบบควอนตัมหลายอนุภาคไม่สามารถแสดงได้ในปริภูมิสามมิติ แบบปกติ แต่จะแสดงได้ในปริภูมิการจัดเรียงตัวซึ่งมีสามมิติต่ออนุภาค ดังนั้น จุดเดียวในปริภูมิการจัดเรียงตัวจึงแสดงถึงการจัดเรียงตัวของระบบอนุภาค n ตัวทั้งหมดโดยรวม

ฟังก์ชันคลื่นสองอนุภาคของอนุภาค ที่ มีมวลเท่ากันมีศักยภาพควอนตัม^{[ 18 ]}${\displaystyle \psi (\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle Q(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {(\nabla _{1}^{2}+\nabla _{2}^{2})R(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)}{R(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)}}}$

โดยที่และหมายถึงอนุภาคที่ 1 และอนุภาคที่ 2 ตามลำดับ นิพจน์นี้สามารถขยายความไปยังอนุภาคอื่นๆ ได้โดยตรง: ${\displaystyle \nabla _{1}^{2}}$${\displaystyle \nabla _{2}^{2}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle Q(\mathbf {r_{1}} ,...,\mathbf {r_{n}} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2R(\mathbf {r_{1}} ,...,\mathbf {r_{n}} ,\,t)}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\nabla _{i}^{2}}{m_{i}}}R(\mathbf {r_{1}} ,...,\mathbf {r_{n}} ,\,t)}$

ในกรณีที่ฟังก์ชันคลื่นของอนุภาคสองตัวหรือมากกว่านั้นสามารถแยกออกจากกันได้ ศักยภาพควอนตัมรวมของระบบจะกลายเป็นผลรวมของศักยภาพควอนตัมของอนุภาคทั้งสอง การแยกออกจากกันได้อย่างสมบูรณ์นั้นไม่สมเหตุสมผลอย่างยิ่ง เนื่องจากปฏิสัมพันธ์ระหว่างระบบและสิ่งแวดล้อมจะทำลายการแยกตัวประกอบ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันคลื่นที่เป็นการซ้อนทับ ของ ฟังก์ชันคลื่นหลายฟังก์ชันที่มีขอบเขตที่ไม่ทับซ้อนกันโดยประมาณจะสามารถแยกตัวประกอบได้โดยประมาณ^{[ 19 ]}

การที่ฟังก์ชันคลื่นสามารถแยกได้หมายความว่าสามารถแยกตัวประกอบได้ในรูปแบบจากนั้นจึงสรุปได้ว่าก็สามารถแยกตัวประกอบได้เช่นกัน และศักยภาพควอนตัมทั้งหมดของระบบจะกลายเป็นผลรวมของศักยภาพควอนตัมของอนุภาคทั้งสอง^{[ 20 ]}${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi (\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=\psi _{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)\psi _{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle Q(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}({\frac {\nabla _{1}^{2}R_{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)}{R_{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)}}+{\frac {\nabla _{2}^{2}R_{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}{R_{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}})=Q_{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)+Q_{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$

ในกรณีที่ฟังก์ชันคลื่นสามารถแยกได้ นั่นคือ ถ้าแยกตัวประกอบได้ในรูปแบบระบบอนุภาคเดี่ยวสองระบบจะทำงานอย่างอิสระ โดยทั่วไปแล้ว ศักยภาพควอนตัมของระบบอนุภาค - ที่มีฟังก์ชันคลื่นที่แยกได้คือผลรวมของศักยภาพควอนตัมที่แยกระบบออกเป็นระบบอนุภาคเดี่ยวที่เป็นอิสระ^{[ 21 ]}${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi (\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=\psi _{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)\psi _{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

โบห์ม รวมถึงนักฟิสิกส์คนอื่นๆ หลังจากเขา ได้พยายามหาหลักฐานว่ากฎของบอร์นเชื่อมโยงกับฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น${\displaystyle R}$

${\displaystyle \rho =R^{2}\quad }$

ในการกำหนดรูปแบบคลื่นนำร่องนั้น สามารถเข้าใจได้ว่าไม่ได้เป็นการแสดงถึงกฎพื้นฐาน แต่เป็นทฤษฎีบท (เรียกว่าสมมติฐานสมดุลควอนตัม ) ซึ่งใช้ได้เมื่อ ถึง สมดุลควอนตัมในระหว่างการพัฒนาตามเวลาภายใต้สมการชโรดิงเกอร์ ร่วมกับกฎของบอร์น และการประยุกต์ใช้กฎลูกโซ่และกฎผลคูณ อย่างตรงไปตรงมา

${\displaystyle \nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}=\nabla \nabla \rho ^{1/2}=\nabla \left({\frac {1}{2}}\rho ^{-1/2}\nabla \rho \right)={\frac {1}{2}}\left[\left(\nabla \rho ^{-1/2}\right)\nabla \rho +\rho ^{-1/2}\nabla ^{2}\rho \right]}$

ศักยภาพควอนตัมที่แสดงในรูปของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น จะกลายเป็น: ^{[ 22 ]}

${\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{4m}}\left[{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {1}{2}}{\frac {(\nabla \rho )^{2}}{\rho ^{2}}}\right]}$

แรงควอนตัมที่แสดงในรูปของการกระจายความน่าจะเป็นมีค่าเท่ากับ: ^{[ 23 ]}${\displaystyle F_{Q}=-\nabla Q}$

${\displaystyle F_{Q}={\frac {\hbar ^{2}}{4m}}\left[{\frac {\nabla (\nabla ^{2}\rho )}{\rho }}-{\frac {\nabla (\nabla \rho \cdot \nabla \rho )}{2\rho ^{2}}}-\left({\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}\right){\frac {\nabla \rho }{\rho }}\right]}$

M. R. Brown และ B. Hiley แสดงให้เห็นว่า นอกเหนือจากการกำหนดสูตรในแง่ของปริภูมิการกำหนดค่า ( ปริภูมิ -) แล้ว ศักยภาพควอนตัมยังสามารถกำหนดสูตรได้ในแง่ของปริภูมิโมเมนตัม ( ปริภูมิ -) อีกด้วย ^{[ 24 ] [ 25 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$

ตามแนวทางของ David Bohm นั้น Basil Hiley และนักคณิตศาสตร์Maurice de Gossonได้แสดงให้เห็นว่าศักยภาพควอนตัมสามารถมองได้ว่าเป็นผลลัพธ์ของการฉายภาพโครงสร้างพื้นฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โครงสร้าง พีชคณิตที่ไม่สลับที่ไปยังปริภูมิย่อย เช่น ปริภูมิปกติ ( ปริภูมิ ) ในแง่ของพีชคณิต ศักยภาพควอนตัมสามารถมองได้ว่าเกิดขึ้นจากความสัมพันธ์ระหว่างลำดับโดยนัยและลำดับโดยชัดแจ้ง : หาก ใช้ พีชคณิตที่ไม่สลับที่เพื่ออธิบายโครงสร้างที่ไม่สลับที่ของรูปแบบควอนตัม ปรากฏว่าไม่สามารถกำหนดปริภูมิพื้นฐานได้ แต่สามารถสร้าง " ปริภูมิเงา " (ปริภูมิโฮโมมอร์ฟิก) ได้ และในการทำเช่นนั้น ศักยภาพควอนตัมก็ปรากฏขึ้น ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]}แนวทางศักยภาพควอนตัมสามารถมองได้ว่าเป็นวิธีการสร้างปริภูมิเงา^{[ 27 ]}ศักยภาพควอนตัมจึงส่งผลให้เกิดการบิดเบือนเนื่องจากการฉายภาพของพื้นที่พื้นฐานไปยังพื้นที่ -space ในลักษณะเดียวกับการฉายภาพแบบเมอร์เคเตอร์ที่ทำให้เกิดการบิดเบือนในแผนที่ทางภูมิศาสตร์อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้^{[ 30 ] [ 31 ]}มีความสมมาตรอย่างสมบูรณ์ระหว่างการแสดง -representation และศักยภาพควอนตัมดังที่ปรากฏในปริภูมิการกำหนดค่าสามารถมองได้ว่าเกิดจากการกระจายตัวของการแสดง -representation ของโมเมนตัม ^{[ 32 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$

วิธีการนี้ได้ถูกนำไปใช้กับพื้นที่เฟส ที่ขยายออกไป [ ^{32 ] [ 33 ]}รวมถึงในแง่ของวิธีการพีชคณิต Duffin–Kemmer–Petiau ^{ด้วย[ 34 ] [ 35 ]}

สามารถแสดงได้^{[ 36 ]}ว่าค่าเฉลี่ยของศักยภาพควอนตัมเป็นสัดส่วนกับข้อมูลฟิชเชอร์ ของความหนาแน่นความน่าจะ เป็นเกี่ยวกับสิ่งที่สังเกตได้${\displaystyle Q=-\hbar ^{2}\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}/(2m{\sqrt {\rho }})}$${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}=\int \rho \cdot (\nabla \ln \rho )^{2}\,d^{3}x=-\int \rho \nabla ^{2}(\ln \rho )\,d^{3}x.}$

เมื่อใช้คำจำกัดความนี้สำหรับข้อมูลของ Fisher เราสามารถเขียนได้ว่า: ^{[ 37 ]}

${\displaystyle \langle Q\rangle =\int \psi ^{*}Q\psi \,d^{3}x=\int \rho Q\,d^{3}x={\frac {\hbar ^{2}}{8m}}{\mathcal {I}}.}$

Giovanni Salesi, Erasmo Recami และเพื่อนร่วมงานแสดงให้เห็นในปี 1998 ว่า ตามทฤษฎีบทของ Königศักยภาพควอนตัมสามารถระบุได้ด้วยพลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่ภายใน (" zitterbewegung ") ที่เกี่ยวข้องกับการหมุนของ อนุภาค สปิน 1/2ที่สังเกตได้ในกรอบศูนย์กลางมวล โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พวกเขาแสดงให้เห็นว่า ความเร็ว zitterbewegung ภายใน สำหรับอนุภาคที่หมุนแบบไม่สัมพัทธภาพที่มีสปินคงที่โดยไม่มีการหมุนควง และในกรณีที่ไม่มีสนามภายนอก จะมีค่ากำลังสอง: ^{[ 38 ]}

${\displaystyle \mathbf {V} ^{2}={\frac {(\nabla \rho \land \mathbf {s} )^{2}}{(m\rho )^{2}}}={\frac {(\nabla \rho )^{2}\mathbf {s} ^{2}-(\nabla \rho \cdot \mathbf {s} )^{2}}{(m\rho )^{2}}}}$

จากนั้นจึงแสดงให้เห็นว่าพจน์ที่สองมีขนาดเล็กมากจนแทบไม่มีผล ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า ${\displaystyle |\mathbf {s} |=\hbar /2}$

${\displaystyle |\mathbf {V} |={\frac {\hbar }{2}}{\frac {\nabla \rho }{m\rho }}}$

Salesi ให้รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับงานนี้ในปี 2009 ^{[ 39 ]}

ในปี พ.ศ. 2542 Salvatore Esposito ได้ขยายผลลัพธ์ของพวกเขาจากอนุภาคสปิน 1/2 ไปยังอนุภาคสปินใดๆ โดยยืนยันการตีความศักยภาพควอนตัมว่าเป็นพลังงานจลน์สำหรับการเคลื่อนที่ภายใน Esposito แสดงให้เห็นว่า (โดยใช้สัญลักษณ์=1) ศักยภาพควอนตัมสามารถเขียนได้ดังนี้: ^{[ 40 ]}${\displaystyle \hbar }$

${\displaystyle Q=-{\frac {1}{2}}m\mathbf {v} _{S}^{2}-{\frac {1}{2}}\nabla \cdot \mathbf {v} _{S}}$

และการตีความเชิงสาเหตุของกลศาสตร์ควอนตัมสามารถกำหนดใหม่ได้ในแง่ของความเร็วของอนุภาค

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{B}+\mathbf {v} _{S}\times \mathbf {s} }$

โดยที่ " ความเร็วลอยตัว " คือ

${\displaystyle \mathbf {v} _{B}={\frac {\nabla S}{m}}}$

และ "ความเร็วสัมพัทธ์" คือโดยที่ ${\displaystyle \mathbf {v} _{S}\times \mathbf {s} }$

${\displaystyle \mathbf {v} _{S}={\frac {\nabla R^{2}}{2mR^{2}}}}$

และแสดงถึงทิศทางการหมุนของอนุภาค ในการกำหนดสูตรนี้ ตามที่เอสโปซิโตกล่าว กลศาสตร์ควอนตัมจำเป็นต้องตีความในแง่ของความน่าจะเป็น เนื่องจากเงื่อนไขการเคลื่อนที่เริ่มต้นของระบบไม่สามารถกำหนดได้อย่างแม่นยำ^{[ 40 ]}เอสโปซิโตอธิบายว่า "ผลกระทบควอนตัมที่มีอยู่ในสมการชโรดิงเกอร์นั้นเกิดจากการมีทิศทางเชิงพื้นที่เฉพาะที่เกี่ยวข้องกับอนุภาค ซึ่งหากสมมติว่าพื้นที่เป็นไอโซโทรปิก จะสามารถระบุได้ว่าเป็นการหมุนของอนุภาคเอง" ^{[ 41 ]}เอสโปซิโตได้ขยายความจากอนุภาคสสารไปสู่อนุภาคเกจโดยเฉพาะโฟตอนซึ่งเขาแสดงให้เห็นว่า หากจำลองเป็นโดยมีฟังก์ชันความน่าจะเป็นพวกมันสามารถเข้าใจได้ในแนวทางศักยภาพควอนตัม^{[ 42 ]}${\displaystyle \mathbf {s} }$${\displaystyle \psi =(\mathbf {E} -i\mathbf {B} )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle \psi ^{*}\cdot \psi =(\mathbf {E} ^{2}+\mathbf {B} ^{2})/2}$

ในปี 2002 James R. Bogan ได้ตีพิมพ์การหาอนุพันธ์ของการแปลงผกผันจากสมการ Hamilton-Jacobi ของกลศาสตร์คลาสสิกไปสู่สมการ Schrödinger ที่ขึ้นอยู่กับเวลาของกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งเกิดขึ้นจากการแปลงเกจที่แสดงถึงสปิน ภายใต้เงื่อนไขง่ายๆ ของการอนุรักษ์ความน่าจะเป็น การแปลงที่ขึ้นอยู่กับสปินนี้เป็นฟังก์ชันของศักยภาพควอนตัม^{[ 43 ]}

B. Hiley และ RE Callaghan ตีความบทบาทของแบบจำลอง Bohm และแนวคิดศักยภาพควอนตัมในกรอบของพีชคณิตคลิฟฟอร์ดอีกครั้ง โดยคำนึงถึงความก้าวหน้าล่าสุด ซึ่งรวมถึงงานของDavid Hestenesเกี่ยวกับพีชคณิตปริภูมิเวลาพวกเขาแสดงให้เห็นว่าภายในลำดับชั้นที่ซ้อนกันของพีชคณิตคลิฟฟอร์ดสำหรับแต่ละพีชคณิตคลิฟฟอร์ดสามารถสร้างองค์ประกอบของอุดมคติซ้ายขั้นต่ำและองค์ประกอบของอุดมคติขวาที่แสดงถึงการผันแบบคลิฟฟอร์ดได้ และจากนั้นจะได้ องค์ประกอบความหนาแน่นคลิฟฟอร์ด (CDE) ซึ่งเป็นองค์ประกอบของพีชคณิตคลิฟฟอร์ดที่สมมาตรกับเมทริกซ์ความหนาแน่น มาตรฐาน แต่เป็นอิสระจากการแสดงแทนเฉพาะใดๆ^{[ 44 ]}บนพื้นฐานนี้ สามารถสร้างตัวแปรทวิเชิงเส้นซึ่งแสดงถึงคุณสมบัติของระบบได้ Hiley และ Callaghan แยกแยะตัวแปรเชิงเส้นคู่ชนิดแรก ซึ่งแต่ละตัวแสดงถึงค่าคาดหวังขององค์ประกอบของพีชคณิตที่สามารถสร้างขึ้นได้เป็นและตัวแปรเชิงเส้นคู่ชนิดที่สองซึ่งสร้างขึ้นด้วยอนุพันธ์และแสดงถึงโมเมนตัมและพลังงาน โดยใช้เงื่อนไขเหล่านี้ พวกเขาสร้างผลลัพธ์ของกลศาสตร์ควอนตัมขึ้นใหม่โดยไม่ต้องพึ่งพาการแสดงแทนเฉพาะในแง่ของฟังก์ชันคลื่นหรือต้องอ้างอิงถึงปริภูมิฮิลเบิร์ต ภายนอก สอดคล้องกับผลลัพธ์ก่อนหน้านี้ ศักยภาพควอนตัมของอนุภาคที่ไม่สัมพัทธภาพที่มีสปิน ( อนุภาค Pauli ) แสดงให้เห็นว่ามีเทอมที่ขึ้นอยู่กับสปินเพิ่มเติม และโมเมนตัมของอนุภาคสัมพัทธภาพที่มีสปิน ( อนุภาค Dirac ) แสดงให้เห็นว่าประกอบด้วยการเคลื่อนที่เชิงเส้นและส่วนของการหมุน^{[ 45 ]}สมการไดนามิกสองสมการที่ควบคุมวิวัฒนาการของเวลาถูกตีความใหม่เป็นสมการอนุรักษ์ สมการหนึ่งแสดงถึงการอนุรักษ์พลังงานอีกสมการหนึ่งแสดงถึงการอนุรักษ์ความน่าจะเป็นและสปิน^{[ 46 ]}ศักยภาพควอนตัมทำหน้าที่เป็นพลังงานภายใน^{[ 47 ]}ซึ่งรับประกันการอนุรักษ์พลังงานทั้งหมด^{[ 46 ]}${\displaystyle C\ell _{i,j}}$${\displaystyle \Phi _{L}(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \Phi _{R}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\Phi }}_{L}(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \rho _{c}(\mathbf {r} ,t)=\Phi _{L}(\mathbf {r} ,t){\tilde {\Phi }}_{L}(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\rm {Tr}}B\rho _{c}}$

Bohm และ Hiley แสดงให้เห็นว่าความไม่เป็นท้องถิ่นของทฤษฎีควอนตัมสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นกรณีจำกัดของทฤษฎีที่เป็นท้องถิ่นอย่างแท้จริง โดยมีเงื่อนไขว่าการส่งผ่านข้อมูลที่ใช้งานอยู่จะต้องมากกว่าความเร็วแสง และกรณีจำกัดนี้จะให้ค่าประมาณของทั้งทฤษฎีควอนตัมและทฤษฎีสัมพัทธภาพ^{[ 48 ]}

แนวทางศักยภาพควอนตัมได้รับการขยายโดย Hiley และเพื่อนร่วมงานไปสู่ทฤษฎีสนามควอนตัมในปริภูมิเวลา Minkowski ^{[ 49 ] [ 50 ] [ 51 ] [ 52 ]}และไปสู่ปริภูมิเวลาโค้ง^{[ 53 ]}

คาร์โล คาสโตร และ ฮอร์เก มาเฮชา ได้อนุมานสมการชโรดิงเกอร์จากสมการแฮมิลตัน-จาโคบี ร่วมกับสมการความต่อเนื่อง และแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติของศักยภาพควอนตัมโบห์มเชิงสัมพัทธภาพในแง่ของความหนาแน่นของกลุ่มตัวอย่าง สามารถอธิบายได้ด้วยคุณสมบัติของปริภูมิเวล์ ในปริภูมิราบเรียบรีมันน์ ศักยภาพโบห์มแสดงให้เห็นว่าเท่ากับความโค้งเวล์ตามที่คาสโตรและมาเฮชากล่าว ในกรณีเชิงสัมพัทธภาพ ศักยภาพควอนตัม (โดยใช้ตัวดำเนินการดาล็องแบร์ และในสัญลักษณ์) จะอยู่ในรูปแบบ ${\displaystyle \scriptstyle \Box }$${\displaystyle \hbar =1}$

${\displaystyle Q=-{\frac {1}{2m}}{\frac {\quad \Box {\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}}$

และแรงควอนตัมที่กระทำโดยศักยภาพควอนตัมสัมพัทธภาพแสดงให้เห็นว่าขึ้นอยู่กับศักยภาพเกจ Weyl และอนุพันธ์ของมัน ยิ่งไปกว่านั้น ความสัมพันธ์ระหว่างศักยภาพของ Bohm และความโค้ง Weyl ในปริภูมิเวลาราบเรียบสอดคล้องกับความสัมพันธ์ที่คล้ายกันระหว่างข้อมูล Fisher และเรขาคณิต Weyl หลังจากการแนะนำโมเมนตัมเชิงซ้อน^{[ 54 ]}

ในทางกลับกัน Diego L. Rapoport เชื่อมโยงศักยภาพควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพกับความโค้งสเกลาร์ เมตริก (ความโค้งรีมันน์) ^{[ 55 ]}

ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับสมการไคลน์-กอร์ดอนสำหรับอนุภาคที่มีมวลและประจุ ปีเตอร์ อาร์. ฮอลแลนด์ ได้กล่าวถึง "เทอมคล้ายศักย์ควอนตัม" ที่เป็นสัดส่วนกันในหนังสือของเขาเมื่อปี 1993 อย่างไรก็ตาม เขาเน้นย้ำว่าการตีความทฤษฎีไคลน์-กอร์ดอนในแง่ของอนุภาคเดี่ยวโดยพิจารณาจากวิถีการเคลื่อนที่ ดังเช่นที่สามารถทำได้ในกลศาสตร์ควอนตัมของชโรดิงเกอร์แบบไม่สัมพัทธภาพ จะนำไปสู่ความไม่สอดคล้องกันที่ไม่สามารถยอมรับได้ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันคลื่นที่เป็นคำตอบของ สมการ ไคลน์-กอร์ดอนหรือสมการดิแรกไม่สามารถตีความได้ว่าเป็นแอมพลิจูดความน่าจะเป็นที่อนุภาคจะพบในปริมาตรที่กำหนดณ เวลาใดเวลาหนึ่งตามหลักการพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัม และในทำนองเดียวกัน ในการตีความเชิงสาเหตุ ก็ไม่สามารถตีความได้ว่าเป็นความน่าจะเป็นที่อนุภาคจะอยู่ในปริมาตรนั้น ณ เวลานั้น ฮอลแลนด์ชี้ให้เห็นว่า แม้จะมีความพยายามในการกำหนดตัวดำเนินการตำแหน่งเฮอร์มิเชียนที่จะช่วยให้สามารถตีความทฤษฎีสนามควอนตัมของปริภูมิการกำหนดค่าได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการใช้ แนวทาง การกำหนดตำแหน่งแบบนิวตัน-วิกเนอร์แต่ยังไม่มีการเชื่อมโยงกับความเป็นไปได้ในการกำหนดตำแหน่งเชิงประจักษ์ในแง่ของทฤษฎีการวัดเชิงสัมพัทธภาพหรือการตีความวิถีการเคลื่อนที่ อย่างไรก็ตาม ตามที่ฮอลแลนด์กล่าวไว้ นี่ไม่ได้หมายความว่าแนวคิดวิถีการเคลื่อนที่จะต้องถูกละทิ้งจากการพิจารณากลศาสตร์ควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพ^{[ 56 ]}${\displaystyle \Box R/R}$${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle d^{3}x}$${\displaystyle t}$

Hrvoje Nikolić ได้มาซึ่งการแสดงออกของศักยภาพควอนตัม และเขาได้เสนอสูตร Lorentz-covariant ของการตีความ Bohmian ของฟังก์ชันคลื่นหลายอนุภาค^{[ 57 ]}เขายังได้พัฒนาการตีความเชิงความน่าจะเป็นแบบสัมพัทธภาพทั่วไปของทฤษฎีควอนตัม^{[ 58 ] [ 59 ] [ 60 ]}ซึ่งไม่ใช่ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในอวกาศอีกต่อไป แต่เป็นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในกาลอวกาศ^{[ 61 ] [ 62 ]}${\displaystyle Q=-(1/2m)\,\Box R/R}$${\displaystyle |\psi |^{2}}$

เริ่มต้นจากการแสดงพื้นที่ของพิกัดสนาม การตีความเชิงสาเหตุของภาพชโรดิงเกอร์ของทฤษฎีควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพได้รับการสร้างขึ้น ภาพชโรดิงเกอร์สำหรับสนามที่เป็นกลาง สปิน 0 และไม่มีมวลพร้อมฟังก์ชันค่าจริงสามารถแสดงได้^{[ 63 ]}ว่านำไปสู่ ${\displaystyle \Psi \left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]=R\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]e^{S\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]}}$${\displaystyle R\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right],S\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]}$

${\displaystyle Q\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]=-(1/2R)\int d^{3}x\,\delta ^{2}R/\delta \psi ^{2}}$

สิ่งนี้ได้รับการเรียกว่าศักยภาพซูเปอร์ควอนตัมโดยโบห์มและเพื่อนร่วมงานของเขา^{[ 64 ]}

Basil Hiley แสดงให้เห็นว่าความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานและโมเมนตัมในแบบจำลองของ Bohm สามารถหาได้โดยตรงจากเทนเซอร์พลังงานและโมเมนตัมของทฤษฎีสนามควอนตัมและศักยภาพควอนตัมเป็นเทอมพลังงานที่จำเป็นสำหรับการอนุรักษ์พลังงานและโมเมนตัมในระดับท้องถิ่น^{[ 65 ]}เขายังได้บอกเป็นนัยว่าสำหรับอนุภาคที่มีพลังงานเท่ากับหรือสูงกว่า เกณฑ์ การสร้างคู่แบบจำลองของ Bohm ถือเป็นทฤษฎีหลายอนุภาคที่อธิบายกระบวนการสร้างและทำลายคู่ด้วย^{[ 66 ]}

ในบทความของเขาในปี พ.ศ. 2495 ซึ่งเสนอการตีความทางเลือกของกลศาสตร์ควอนตัม Bohm ได้กล่าวถึงศักยภาพ "กลศาสตร์ควอนตัม" ไว้แล้ว^{[ 67 ]}

Bohm และ Basil Hiley ยังเรียกศักยภาพควอนตัมว่าเป็นศักยภาพข้อมูลเนื่องจากมันมีอิทธิพลต่อรูปแบบของกระบวนการและตัวมันเองก็ถูกกำหนดโดยสิ่งแวดล้อม^{[ 12 ]} Bohm ระบุว่า "เรือหรือเครื่องบิน (พร้อมนักบินอัตโนมัติ) เป็น ระบบที่ ทำงานด้วยตนเองกล่าวคือ มันมีพลังงานของตัวเอง แต่รูปแบบของกิจกรรมของมันถูกกำหนดโดยเนื้อหาข้อมูลเกี่ยวกับสิ่งแวดล้อมที่ถูกส่งมาโดยคลื่นเรดาร์ ซึ่งเป็นอิสระจากความเข้มของคลื่น เราสามารถมองศักยภาพควอนตัมในทำนองเดียวกันว่ามีข้อมูลที่ใช้งาน อยู่ มันมีศักยภาพที่จะทำงานได้ทุกที่ แต่จะทำงานจริงเฉพาะที่และเมื่อมีอนุภาคเท่านั้น" (ตัวเอียงในต้นฉบับ) ^{[ 68 ]}

Hiley อ้างถึงศักยภาพควอนตัมว่าเป็นพลังงานภายใน^{[ 27 ]}และเป็น "คุณภาพใหม่ของพลังงานที่มีบทบาทเฉพาะในกระบวนการควอนตัมเท่านั้น" ^{[ 69 ]}เขาอธิบายว่าศักยภาพควอนตัมเป็นเทอมพลังงานเพิ่มเติม นอกเหนือจากพลังงานจลน์ และ พลังงาน ศักยภาพ (แบบคลาสสิก) ที่เป็นที่รู้จักกันดี และเป็นเทอมพลังงานที่ไม่เฉพาะที่ซึ่งเกิดขึ้นอย่างจำเป็นเมื่อพิจารณาถึงข้อกำหนดของการอนุรักษ์พลังงาน เขากล่าวเสริมว่าการต่อต้านแนวคิดเรื่องศักยภาพควอนตัมของชุมชนฟิสิกส์ส่วนใหญ่อาจเกิดจากความคาดหวังของนักวิทยาศาสตร์ว่าพลังงานควรเป็นพลังงานเฉพาะที่^{[ 70 ]}

Hiley ได้เน้นย้ำว่าศักยภาพควอนตัมสำหรับ Bohm นั้นเป็น "องค์ประกอบสำคัญในการได้รับข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับสิ่งที่อยู่เบื้องหลังรูปแบบควอนตัม Bohm เชื่อมั่นจากการวิเคราะห์เชิงลึกของเขาเกี่ยวกับแง่มุมนี้ของแนวทางที่ว่าทฤษฎีนี้ไม่สามารถเป็นเชิงกลได้ แต่เป็นแบบอินทรีย์ในความหมายของWhiteheadกล่าวคือ มันคือทั้งหมดที่กำหนดคุณสมบัติของอนุภาคแต่ละตัวและความสัมพันธ์ของพวกมัน ไม่ใช่ในทางกลับกัน" ^{[ 71 ] [ 72 ]}

Peter R. Hollandในตำราเรียนที่ครอบคลุมของเขายังเรียกมันว่าพลังงานศักย์ควอนตัมอีก ด้วย ^{[ 73 ]}ศักย์ควอนตัมยังถูกกล่าวถึงร่วมกับชื่อของ Bohm ว่าศักย์ Bohm , ศักย์ควอนตัม Bohmหรือศักย์ ควอนตัม Bohm

แนวทางศักยภาพควอนตัมสามารถใช้ในการจำลองผลกระทบควอนตัมโดยไม่จำเป็นต้องแก้สมการชโรดิงเกอร์อย่างชัดเจน และสามารถบูรณาการเข้ากับการจำลอง เช่นการจำลองมอนเตคาร์โลโดยใช้สมการอุทกพลศาสตร์และการแพร่กระจายแบบดริฟต์ [ ^{74 ] การ}ดำเนินการนี้ทำในรูปแบบของการคำนวณวิถีแบบ "อุทกพลศาสตร์" โดยเริ่มจากความหนาแน่นที่ "องค์ประกอบของไหล" แต่ละส่วน ความเร่งของ "องค์ประกอบของไหล" แต่ละส่วนจะถูกคำนวณจากเกรเดียนต์ของและและความแตกต่างของสนามความเร็วที่เกิดขึ้นจะเป็นตัวกำหนดการเปลี่ยนแปลงของความหนาแน่น^{[ 75 ]}${\displaystyle V}$${\displaystyle Q}$

วิธีการที่ใช้เส้นทางโบห์เมียนและศักยภาพควอนตัมถูกนำมาใช้ในการคำนวณคุณสมบัติของระบบควอนตัมที่ไม่สามารถหาคำตอบได้อย่างแม่นยำ ซึ่งมักจะประมาณโดยใช้วิธีการกึ่งคลาสสิก ในขณะที่วิธีการสนามเฉลี่ยศักยภาพสำหรับการเคลื่อนที่แบบคลาสสิกเป็นผลมาจากค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันคลื่น วิธีการนี้ไม่จำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันคลื่น^{[ 76 ]}

นิพจน์สำหรับแรงควอนตัมถูกนำมาใช้ร่วมกับการวิเคราะห์ทางสถิติแบบเบย์เซียนและ วิธี การคาดหวัง-เพิ่มค่าสูงสุดในการคำนวณกลุ่มวิถีที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงคลาสสิกและแรงควอนตัม^{[ 23 ]}

• Bohm, David (1952). "การตีความทฤษฎีควอนตัมที่เสนอแนะในแง่ของ "ตัวแปรที่ซ่อนอยู่" I". Physical Review . 85 (2): 166– 179. Bibcode : 1952PhRv...85..166B . doi : 10.1103/PhysRev.85.166 .( ข้อความเต็ม )
• Bohm, David (1952). "การตีความทฤษฎีควอนตัมที่เสนอแนะในแง่ของ "ตัวแปรที่ซ่อนอยู่", II". Physical Review . 85 (2): 180– 193. Bibcode : 1952PhRv...85..180B . doi : 10.1103/PhysRev.85.180 .( ข้อความเต็ม )
• D. Bohm, BJ Hiley, PN Kaloyerou: พื้นฐานทางภววิทยาสำหรับทฤษฎีควอนตัม , Physics Reports (ส่วนบทวิจารณ์ของ Physics Letters), เล่มที่ 144, ฉบับที่ 6, หน้า 321–375, 1987 ( ข้อความเต็มถูกเก็บถาวรเมื่อ 19 มีนาคม 2012 ที่Wayback Machine ) ในนั้น: D. Bohm, BJ Hiley: I. ระบบอนุภาคที่ไม่สัมพันธ์กับสัมพัทธภาพ , หน้า 321–348 และ D. Bohm, BJ Hiley, PN Kaloyerou: II. การตีความเชิงสาเหตุของสนามควอนตัม , หน้า 349–375

• He, Dongshan; Gao, Dongfeng; Cai, Qing-yu (2014). "การสร้างจักรวาลจากความว่างเปล่าโดยธรรมชาติ". Physical Review D . 89 (8) 083510. arXiv : 1404.1207 . Bibcode : 2014PhRvD..89h3510H . doi : 10.1103/PhysRevD.89.083510 .
• De Gosson, Maurice A.; Hiley, Basil (2013). "ไข่ซิมเพล็กติกในกลศาสตร์คลาสสิกและควอนตัม". American Journal of Physics . 81 (5): 328– 337. arXiv : 1304.4771 . Bibcode : 2013AmJPh..81..328D . doi : 10.1119/1.4791775 .
• Carroll, Robert (2005). "ความผันผวน แรงโน้มถ่วง และศักยภาพควอนตัม". arXiv : gr-qc/0501045 .

• Davide Fiscaletti: เกี่ยวกับแนวทางที่แตกต่างกันของศักยภาพควอนตัมของ Bohm ในกลศาสตร์ควอนตัมที่ไม่สัมพัทธภาพ , Quantum Matter, เล่ม 3, ฉบับที่ 3, มิถุนายน 2014, หน้า 177–199(23), doi : 10.1166 /qm.2014.1113
• Ignazio Licata , Davide Fiscaletti (พร้อมคำนำโดยBJ Hiley ): ศักยภาพควอนตัม: ฟิสิกส์ เรขาคณิต และพีชคณิต , AMC, Springer, 2013, ISBN 978-3-319-00332-0(ฉบับพิมพ์) / ISBN 978-3-319-00333-7(ออนไลน์)
• ปีเตอร์ อาร์. ฮอลแลนด์ : ทฤษฎีควอนตัมของการเคลื่อนที่: คำอธิบายเกี่ยวกับการตีความเชิงสาเหตุของเดอ บรอยล์-โบห์มในกลศาสตร์ควอนตัมสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ เคมบริดจ์ (ตีพิมพ์ครั้งแรก 25 มิถุนายน 1993) ISBN 0-521-35404-8ปกแข็งISBN 0-521-48543-6หนังสือปกอ่อน แปลงเป็นระบบพิมพ์ดิจิทัล ปี 2004
• เดวิด โบห์ม , บาซิล ไฮลีย์ : จักรวาลที่ไม่แบ่งแยก: การตีความเชิงภววิทยาของทฤษฎีควอนตัม , สำนักพิมพ์ Routledge, 1993, ISBN 0-415-06588-7
• David Bohm, F. David Peat : วิทยาศาสตร์ ความเป็นระเบียบ และความคิดสร้างสรรค์ , 1987, Routledge, ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2 ปี 2000 (แปลงเป็นฉบับพิมพ์ดิจิทัล ปี 2008, Routledge), ISBN 0-415-17182-2