ในสถิติเศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณระบาดวิทยาและสาขาวิชาที่เกี่ยวข้อง วิธี การกึ่งทดลองของตัวแปรเครื่องมือ ( IV ) ใช้ในการประมาณความสัมพันธ์เชิงสาเหตุเมื่อการทดลองแบบควบคุมไม่สามารถทำได้ หรือเมื่อการรักษาไม่ประสบความสำเร็จในทุกหน่วยในการทดลองแบบสุ่ม^{[ 1 ]}โดยทั่วไปแล้ว IV จะถูกใช้เมื่อตัวแปรอธิบาย (หรือที่เรียกว่าตัวแปรอิสระหรือตัวทำนาย) ที่สนใจมีความสัมพันธ์กับเทอมความคลาดเคลื่อน (ตัวแปรภายใน) ซึ่งในกรณีนี้วิธีการกำลังสองน้อยที่สุดแบบธรรมดาและANOVAจะให้ ผลลัพธ์ ที่ลำเอียงเมื่อใช้แล้ว เครื่องมือที่ถูกต้องจะเปลี่ยนตัวแปรอธิบาย (ตัวแปรที่มีความสัมพันธ์กับตัวแปรภายใน) แต่ไม่มีผลกระทบที่เป็นอิสระต่อตัวแปรตามและไม่มีความสัมพันธ์กับเทอมความคลาดเคลื่อน ดังนั้นจึงช่วยให้นักวิจัยหรือนักวิเคราะห์สามารถค้นพบผลกระทบเชิงสาเหตุที่แท้จริงของตัวแปรอธิบายต่อตัวแปรตามได้

วิธีการใช้ตัวแปรเครื่องมือช่วยให้ สามารถประมาณค่า ได้อย่างสม่ำเสมอเมื่อตัวแปรอธิบาย (ตัวแปรควบคุม) มีความสัมพันธ์กับค่าความคลาดเคลื่อนใน แบบ จำลองการถดถอยความสัมพันธ์ดังกล่าวอาจเกิดขึ้นได้เมื่อ:

1. การเปลี่ยนแปลงในตัวแปรตามจะส่งผลให้ค่าของตัวแปรอิสระ อย่างน้อยหนึ่งตัวเปลี่ยนแปลงไป ด้วย ("สาเหตุย้อนกลับ")
2. มีตัวแปรที่ถูกละเว้นซึ่งส่งผลกระทบต่อทั้งตัวแปรตามและตัวแปรอิสระ หรือ
3. ตัวแปรเสริมอาจมีความคลาดเคลื่อนในการวัด

ตัวแปรอธิบายที่ประสบปัญหาอย่างน้อยหนึ่งอย่างในบริบทของการถดถอยบางครั้งเรียกว่าตัวแปรภายในในสถานการณ์นี้ วิธี การกำลังสองน้อยที่สุดแบบธรรมดาจะให้ค่าประมาณที่ไม่สอดคล้องกันและมีอคติ^{[ 2 ]}อย่างไรก็ตาม หาก มี เครื่องมืออยู่ ค่าประมาณที่สอดคล้องกันก็ยังคงสามารถได้รับ เครื่องมือคือตัวแปรที่ไม่ใช่ส่วนหนึ่งของสมการอธิบาย แต่มีความสัมพันธ์กับตัวแปรอธิบายภายใน โดยมีเงื่อนไขขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปรควบคุมอื่นๆ

ในแบบจำลองเชิงเส้น มีข้อกำหนดหลักสองประการสำหรับการใช้ตัวแปรอิสระ:

• เครื่องมือจะต้องมีความสัมพันธ์กับตัวแปรอธิบายภายใน โดยมีเงื่อนไขว่าตัวแปรควบคุมอื่นๆ หากความสัมพันธ์นี้แข็งแกร่ง เครื่องมือดังกล่าวจะกล่าวได้ว่ามีขั้นตอนแรกที่แข็งแกร่งความสัมพันธ์ที่อ่อนแออาจทำให้เกิดการอนุมานที่ผิดพลาดเกี่ยวกับการประมาณค่าพารามิเตอร์และทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานในขั้นตอนที่สองมีขนาดใหญ่กว่าการประมาณค่ากำลังสองน้อยที่สุดแบบธรรมดา^{[ 3 ] [ 4 ]}
• ตัวแปรเครื่องมือต้องไม่มีความสัมพันธ์กับค่าความคลาดเคลื่อนในสมการอธิบาย โดยมีเงื่อนไขว่าตัวแปรควบคุมอื่นๆ เป็นไปตามนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวแปรเครื่องมือต้องไม่ประสบปัญหาเดียวกันกับตัวแปรทำนายเดิม หากตรงตามเงื่อนไขนี้ ตัวแปรเครื่องมือก็จะถือว่าตรงตามข้อจำกัดการยกเว้น

โดยทั่วไป ในการพยายามประมาณผลกระทบเชิงสาเหตุของตัวแปรX ("ตัวแปรควบคุม" หรือ "ตัวแปรอธิบาย") ต่อตัวแปรY ("ตัวแปรตาม") นั้นตัวแปรเครื่องมือคือตัวแปรที่สามZซึ่งส่งผล ต่อ Yก็ต่อเมื่อผ่านผลกระทบที่มีต่อXเท่านั้น  

ตัวอย่างเช่น สมมติว่านักวิจัยต้องการประเมินผลกระทบเชิงสาเหตุของการสูบบุหรี่ ( X ) ต่อสุขภาพโดยรวม ( Y ) ^{[ 5 ]} ความสัมพันธ์ระหว่างการสูบบุหรี่กับสุขภาพไม่ได้หมายความว่าการสูบบุหรี่ทำให้สุขภาพแย่ลง เพราะตัวแปรอื่นๆ เช่น ภาวะซึมเศร้า อาจส่งผลต่อทั้งสุขภาพและการสูบบุหรี่ หรือเพราะสุขภาพอาจส่งผลต่อการสูบบุหรี่ ไม่สามารถทำการทดลองแบบควบคุมเกี่ยวกับสถานะการสูบบุหรี่ในประชากรทั่วไปได้ นักวิจัยอาจพยายามประเมินผลกระทบเชิงสาเหตุของการสูบบุหรี่ต่อสุขภาพจากข้อมูลเชิงสังเกตโดยใช้อัตราภาษีสำหรับผลิตภัณฑ์ยาสูบ ( Z ) เป็นตัวแปรเครื่องมือสำหรับการสูบบุหรี่ อัตราภาษีสำหรับผลิตภัณฑ์ยาสูบเป็นตัวเลือกที่เหมาะสมสำหรับตัวแปรเครื่องมือ เพราะนักวิจัยสันนิษฐานว่าอัตราภาษีสามารถมีความสัมพันธ์กับสุขภาพได้ผ่านผลกระทบต่อการสูบบุหรี่เท่านั้น หากนักวิจัยพบว่าภาษียาสูบและสถานะสุขภาพมีความสัมพันธ์กัน นี่อาจถือเป็นหลักฐานว่าการสูบบุหรี่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในสุขภาพ

การใช้ตัวแปรเครื่องมือครั้งแรกเกิดขึ้นในหนังสือปี 1928 โดยPhilip G. Wrightซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีจากคำอธิบายที่ยอดเยี่ยมเกี่ยวกับการผลิต การขนส่ง และการขายน้ำมันพืชและน้ำมันสัตว์ในช่วงต้นทศวรรษ 1900 ในสหรัฐอเมริกา^{[ 6 ] [ 7 ]}ในปี 1945 Olav Reiersølได้นำแนวทางเดียวกันนี้มาใช้ในบริบทของแบบจำลองข้อผิดพลาดในตัวแปรในวิทยานิพนธ์ของเขา และตั้งชื่อวิธีการนี้ว่า^{[ 8 ]}

ไรท์พยายามหาอุปสงค์และอุปทานของเนยโดยใช้ข้อมูลแบบพาเนลเกี่ยวกับราคาและปริมาณที่ขายในสหรัฐอเมริกา แนวคิดก็คือ การวิเคราะห์การถดถอยสามารถสร้างเส้นโค้งอุปสงค์หรืออุปทานได้ เพราะเส้นโค้งเหล่านั้นเกิดจากเส้นทางระหว่างราคาและปริมาณที่ต้องการหรือเสนอขาย ปัญหาคือ ข้อมูลจากการสังเกตไม่ได้ก่อให้เกิดเส้นโค้งอุปสงค์หรืออุปทานอย่างแท้จริง แต่เป็นกลุ่มจุดสังเกตที่เปลี่ยนแปลงรูปร่างไปตามสภาวะตลาดที่แตกต่างกัน ดูเหมือนว่าการสรุปผลจากข้อมูลยังคงเป็นเรื่องยาก

ปัญหาคือ ราคา ส่งผลกระทบต่อทั้งอุปทานและอุปสงค์ ดังนั้น ฟังก์ชันที่อธิบายเพียงด้านใดด้านหนึ่งจึงไม่สามารถสร้างได้โดยตรงจากข้อมูลที่สังเกตได้ ไรท์จึงสรุปได้อย่างถูกต้องว่า เขาต้องการตัวแปรที่สัมพันธ์กับอุปสงค์หรืออุปทานอย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง นั่นคือ ตัวแปรเครื่องมือ (instrumental variable)

หลังจากพิจารณาอย่างถี่ถ้วน ไรท์ตัดสินใจใช้ปริมาณน้ำฝนในภูมิภาคเป็นตัวแปรเครื่องมือ โดยสรุปว่าปริมาณน้ำฝนมีผลต่อการผลิตหญ้าและส่งผลต่อการผลิตนม และในที่สุดก็ส่งผลต่อปริมาณเนย แต่ไม่มีผลต่อความต้องการเนย ด้วยวิธีนี้ เขาจึงสามารถสร้างสมการถดถอยโดยใช้เพียงตัวแปรเครื่องมือคือราคาและปริมาณอุปทาน^{[ 9 ]}

คำจำกัดความอย่างเป็นทางการของตัวแปรเครื่องมือ โดยใช้เงื่อนไขสมมติและเกณฑ์กราฟิก ได้รับการกำหนดโดยJudea Pearlในปี 2000 ^{[ 10 ]} AngristและKrueger (2001) นำเสนอการสำรวจประวัติและการใช้เทคนิคตัวแปรเครื่องมือ^{[ 11 ]}แนวคิดเรื่องความเป็นเหตุเป็นผลในเศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณ และความสัมพันธ์กับตัวแปรเครื่องมือและวิธีการอื่นๆ ได้รับการกล่าวถึงโดยHeckman (2008) ^{[ 12 ]}

แม้ว่าแนวคิดเบื้องหลัง IV จะขยายไปสู่โมเดลหลายประเภท แต่บริบททั่วไปของ IV คือการถดถอยเชิงเส้นตามธรรมเนียม^{[ 13 ]}ตัวแปรเครื่องมือถูกกำหนดให้เป็นตัวแปร${\displaystyle Z}$ซึ่งมีความสัมพันธ์กับตัวแปรอิสระ ${\displaystyle X}$และไม่มีความสัมพันธ์กับ "ค่าความคลาดเคลื่อน"${\displaystyle U}$ในสมการเชิงเส้น

${\displaystyle Y=X\beta +U}$

${\displaystyle Y}$เป็นเวกเตอร์${\displaystyle X}$เป็นเมทริกซ์ โดยปกติจะมีคอลัมน์หนึ่งที่มีค่าเป็น 1 และอาจมีคอลัมน์เพิ่มเติมสำหรับตัวแปรเสริมอื่นๆ ลองพิจารณาว่าเครื่องมือช่วยให้เข้าใจได้อย่างไร${\displaystyle \beta }$ที่จะได้รับการกู้คืน โปรดจำไว้ว่าOLSแก้ปัญหาสำหรับ${\displaystyle {\วงกว้าง {\beta }}}$โดยที่${\displaystyle \operatorname {cov} (X,{\หมวกกว้าง {U}})=0}$(เมื่อเราลดผลรวมของกำลังสองของข้อผิดพลาดให้เหลือน้อยที่สุด)${\displaystyle \min _{\beta }(YX\beta )'(YX\beta )}$เงื่อนไขอันดับแรกคือ อย่างแน่นอน${\displaystyle X'(YX{\widehat {\beta }})=X'{\widehat {U}}=0}$) หากเชื่อว่าแบบจำลองที่แท้จริงมี${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {cov} (X,U)\neq 0}$เนื่องจากเหตุผลใดๆ ก็ตามที่ระบุไว้ข้างต้น—ตัวอย่างเช่น หากมีตัวแปรที่ถูกละเว้นซึ่งส่งผลกระทบต่อทั้งสองอย่าง${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$แยกกัน—ดังนั้น ขั้นตอน OLS นี้ จะไม่แสดงผลกระทบเชิงสาเหตุของ${\displaystyle X}$บน${\displaystyle Y}$OLS จะเลือกพารามิเตอร์ที่ทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนที่ได้ดูเหมือนไม่มีความสัมพันธ์กับค่าอื่น${\displaystyle X}$.

เพื่อความง่าย ลองพิจารณากรณีตัวแปรเดียว สมมติว่าเรากำลังพิจารณาการถดถอยที่มีตัวแปรหนึ่งตัวและค่าคงที่หนึ่งตัว (อาจไม่จำเป็นต้องมีตัวแปรเสริมอื่น ๆ หรืออาจตัดตัวแปรเสริมอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องออกไปแล้ว ):

${\displaystyle y=\alpha +\beta x+u}$

ในกรณีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรอิสระที่สนใจจะกำหนดโดย${\displaystyle {\widehat {\beta }}={\frac {\ชื่อผู้ดำเนินการ {cov} (x,y)}{\ชื่อผู้ดำเนินการ {var} (x)}}}$แทนที่ด้วย${\displaystyle y}$ให้

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\beta }}&={\frac {\operatorname {cov} (x,y)}{\operatorname {var} (x)}}={\frac {\operatorname {cov} (x,\alpha +\beta x+u)}{\operatorname {var} (x)}}\\[6pt]&={\frac {\operatorname {cov} (x,\alpha +\beta x)}{\operatorname {var} (x)}}+{\frac {\operatorname {cov} (x,u)}{\operatorname {var} (x)}}=\beta ^{*}+{\frac {\operatorname {cov} (x,u)}{\operatorname {var} (x)}},\end{aligned}}}$

ที่ไหน${\displaystyle \beta ^{*}}$คือสิ่งที่เวกเตอร์สัมประสิทธิ์โดยประมาณจะเป็นหาก ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {cov} (x,u)=0}$ในกรณีนี้ สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า${\displaystyle \beta ^{*}}$เป็นตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงของ${\displaystyle \beta }$. ถ้า${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {cov} (x,u)\neq 0}$ในแบบจำลองพื้นฐานที่เราเชื่อนั้น วิธีOLSจะให้ค่าประมาณที่ไม่สอดคล้องกัน ซึ่งไม่สะท้อนถึงผลกระทบเชิงสาเหตุที่แท้จริงที่เราสนใจ วิธี IV ช่วยแก้ไขปัญหานี้โดยการระบุพารามิเตอร์${\displaystyle {\beta }}$ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่า${\displaystyle x}$ไม่มีความสัมพันธ์กับ${\displaystyle u}$แต่ขึ้นอยู่กับว่ามีตัวแปรอื่นอีกหรือไม่${\displaystyle z}$ไม่มีความสัมพันธ์กับ${\displaystyle u}$หากทฤษฎีชี้ว่า${\displaystyle z}$เกี่ยวข้องกับ${\displaystyle x}$(ขั้นตอนแรก) แต่ไม่สัมพันธ์กับ${\displaystyle u}$(ข้อจำกัดการยกเว้น) จากนั้น IV อาจระบุพารามิเตอร์เชิงสาเหตุที่สนใจได้ในกรณีที่ OLS ล้มเหลว เนื่องจากมีวิธีการเฉพาะหลายวิธีในการใช้และหาค่าประมาณ IV แม้ในกรณีเชิงเส้น (IV, 2SLS, GMM) เราจึงจะขอละเว้นการอธิบายเพิ่มเติมใน ส่วน การประมาณค่าด้านล่าง

เทคนิค IV ได้รับการพัฒนาในกลุ่มแบบจำลองที่ไม่เป็นเชิงเส้นที่กว้างขึ้นมาก คำจำกัดความทั่วไปของตัวแปรเครื่องมือโดยใช้รูปแบบเชิงสมมติและเชิงกราฟิก ได้รับการกำหนดโดย Pearl (2000; หน้า 248) ^{[ 10 ]}คำจำกัดความเชิงกราฟิกกำหนดให้Zต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

${\displaystyle (Z\perp \!\!\!\perp Y)_{G_{\overline {X}}}\qquad (Z\not \!\!{\perp \!\!\!\perp }X)_{G}}$

ที่ไหน${\displaystyle \perp \!\!\!\perp }$ย่อมาจากd -separationและ${\displaystyle G_{\overline {X}}}$หมายถึงกราฟที่ลูกศรทั้งหมดที่เข้าสู่จุดXถูกตัดออก

นิยามเชิงสมมติกำหนดให้Z ต้อง เป็นไปตามเงื่อนไข

${\displaystyle (Z\perp \!\!\!\perp Y_{x})\qquad (Z\not \!\!{\perp \!\!\!\perp }X)}$

โดยที่Y หมายถึงค่าที่Yจะได้รับหากX มีค่า เป็นxและ${\displaystyle \perp \!\!\!\perp }$ยืนหยัดเพื่อความเป็นอิสระ

หากมีตัวแปรเสริมW เพิ่มเติม คำจำกัดความข้างต้นจะถูกปรับเปลี่ยนเพื่อให้Zมีคุณสมบัติเป็นตัวแปรเครื่องมือได้ หากเป็นไปตามเกณฑ์ที่กำหนดโดยมีเงื่อนไขว่าW เป็น จริง

สาระสำคัญของคำจำกัดความของเพิร์ลคือ:

1. สมการที่น่าสนใจคือสมการ "เชิงโครงสร้าง" ไม่ใช่สมการ "เชิงการถดถอย"
2. ตัวแปรความคลาดเคลื่อนUหมายถึงปัจจัยภายนอกทั้งหมดที่ส่งผลต่อYเมื่อXคงที่
3. เครื่องมือZควรเป็นอิสระจากU
4. เครื่องมือZไม่ควรส่งผลกระทบต่อYเมื่อXคงที่ (ข้อจำกัดการยกเว้น)
5. เครื่องมือZไม่ควรเป็นอิสระจากX

เงื่อนไขเหล่านี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปแบบฟังก์ชันเฉพาะของสมการ และสามารถนำไปใช้กับสมการที่ไม่เป็นเชิงเส้นได้ โดยที่Uอาจไม่เป็นแบบบวก (ดูการวิเคราะห์แบบไม่ใช้พารามิเตอร์) นอกจากนี้ยังสามารถนำไปใช้กับระบบสมการหลายสมการได้ โดยที่X (และปัจจัยอื่นๆ) ส่งผลต่อYผ่านตัวแปรกลางหลายตัว ตัวแปรเครื่องมือไม่จำเป็นต้องเป็นสาเหตุของXตัวแทนของสาเหตุดังกล่าวอาจถูกนำมาใช้ได้เช่นกัน หากเป็นไปตามเงื่อนไข 1–5 ^{[ 10 ]}ข้อจำกัดการยกเว้น (เงื่อนไข 4) ซ้ำซ้อน เนื่องจากเป็นผลมาจากเงื่อนไข 2 และ 3

ต่อไปนี้เราจะกลับมาทบทวนและขยายความกลไกของ IV อย่างละเอียดมากขึ้น สมมติว่าข้อมูลถูกสร้างขึ้นโดยกระบวนการในรูปแบบต่อไปนี้

${\displaystyle y_{i}=X_{i}\beta +e_{i},}$

ที่ไหน

• iจัดทำดัชนีการสังเกตการณ์
• ${\displaystyle y_{i}}$คือ ค่าที่ iของตัวแปรตาม
• ${\displaystyle X_{i}}$เป็นเวกเตอร์ของ ค่าลำดับที่ iของตัวแปรอิสระและค่าคงที่
• ${\displaystyle e_{i}}$คือ ค่าที่ iของพจน์ความคลาดเคลื่อนที่ไม่สามารถสังเกตได้ ซึ่งแสดงถึงสาเหตุทั้งหมดของ${\displaystyle y_{i}}$นอกเหนือจาก${\displaystyle X_{i}}$, และ
• ${\displaystyle \beta }$เป็นเวกเตอร์พารามิเตอร์ที่ไม่สามารถสังเกตได้

เวกเตอร์พารามิเตอร์${\displaystyle \beta }$ผลกระทบเชิงสาเหตุต่อ${\displaystyle y_{i}}$ของการเปลี่ยนแปลงหนึ่งหน่วยในแต่ละองค์ประกอบของ${\displaystyle X_{i}}$โดยถือว่าสาเหตุอื่นๆ ทั้งหมด${\displaystyle y_{i}}$ค่าคงที่ เป้าหมายทางเศรษฐศาสตร์คือการประมาณค่า${\displaystyle \beta }$เพื่อความง่าย ให้สมมติว่าค่าที่สุ่มได้ของe นั้น ไม่มีความสัมพันธ์กัน และได้มาจาก1การแจกแจงที่มีความแปรปรวน เท่ากัน (กล่าวคือ ข้อผิดพลาดไม่มีความสัมพันธ์กันในเชิงอนุกรมและมีความแปรปรวนคงที่ )

สมมติว่ามีการเสนอแบบจำลองการถดถอยที่มีรูปแบบเดียวกัน เมื่อกำหนดตัวอย่างสุ่มT ตัวอย่าง จากกระบวนการนี้ ตัวประมาณ ค่ากำลังสองน้อยที่สุดแบบธรรมดาคือ

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {OLS} }=(X^{\mathrm {T} }X)^{-1}X^{\mathrm {T} }y=(X^{\mathrm {T} }X)^{-1}X^{\mathrm {T} }(X\beta +e)=\beta +(X^{\mathrm {T} }X)^{-1}X^{\mathrm {T} }e}$

โดยที่X , yและeแทนเวกเตอร์คอลัมน์ที่มีความยาวTสมการนี้คล้ายกับสมการที่เกี่ยวข้องกับ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {cov} (X,y)}$ในบทนำ (นี่คือเวอร์ชันเมทริกซ์ของสมการนั้น) เมื่อXและeไม่มีความสัมพันธ์กันภายใต้เงื่อนไขความสม่ำเสมอบางประการ พจน์ที่สองจะมีค่าคาดหวังโดยมีเงื่อนไขว่าXเป็นศูนย์ และลู่เข้าสู่ศูนย์ในลิมิต ดังนั้นตัวประมาณค่าจึงไม่เอนเอียงและสอดคล้องกัน อย่างไรก็ตาม เมื่อXและตัวแปรเชิงสาเหตุอื่นๆ ที่ไม่ได้วัดซึ่งรวมอยู่ใน พจน์ eมีความสัมพันธ์กัน ตัวประมาณค่า OLS โดยทั่วไปจะเอนเอียงและไม่สอดคล้องกันสำหรับβในกรณีนี้ การใช้ค่าประมาณเพื่อทำนายค่าของyเมื่อกำหนดค่าของX นั้นถูกต้อง แต่ค่าประมาณนั้นไม่สามารถกู้คืนผลกระทบเชิงสาเหตุของXต่อyได้  

เพื่อกู้คืนพารามิเตอร์พื้นฐาน${\displaystyle \beta }$เราแนะนำชุดตัวแปรZที่มีความสัมพันธ์สูงกับแต่ละองค์ประกอบภายใน ของ Xแต่ (ในแบบจำลองพื้นฐานของเรา) ไม่มีความสัมพันธ์กับeเพื่อความง่าย อาจพิจารณาให้Xเป็น เมทริกซ์ T × 2 ที่ประกอบด้วยคอลัมน์ของค่าคงที่และตัวแปรภายในหนึ่งตัว และZเป็น เมทริกซ์ T × 2 ที่ประกอบด้วยคอลัมน์ของค่าคงที่และตัวแปรเครื่องมือหนึ่งตัว อย่างไรก็ตาม เทคนิคนี้สามารถขยายไปสู่กรณีที่Xเป็นเมทริกซ์ของค่าคงที่และตัวแปรภายใน 5 ตัว และZเป็นเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยค่าคงที่และตัวแปรเครื่องมือ 5 ตัว ในการอธิบายต่อไปนี้ เราจะสมมติว่าXเป็น เมทริกซ์ T × Kและไม่ได้ระบุค่าKตัวประมาณค่าที่XและZ เป็นเมทริกซ์ T × Kทั้งคู่เรียกว่า ตัว ประมาณค่าที่ ระบุได้พอดี (just-identified estimator ) 

สมมติว่าความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบภายในแต่ละตัวx และตัวแปรเครื่องมือเป็นไปตามสมการต่อไปนี้

${\displaystyle x_{i}=Z_{i}\gamma +v_{i},}$

รูปแบบ IV ที่พบได้บ่อยที่สุดจะใช้ตัวประมาณค่าต่อไปนี้:

${\displaystyle {\widehat {\beta }__{\mathrm {IV} }=(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }y}$

ข้อกำหนดนี้จะเข้าใกล้ค่าพารามิเตอร์ที่แท้จริงมากขึ้นเมื่อขนาดตัวอย่างใหญ่ขึ้น ตราบใดที่${\displaystyle Z^{\mathrm {T} }e=0}$ในแบบจำลองที่แท้จริง:

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {IV} }=(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }y=(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }X\beta +(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }e\rightarrow \beta }$

ตราบใดที่${\displaystyle Z^{\mathrm {T} }e=0}$ในกระบวนการพื้นฐานที่สร้างข้อมูล การใช้ตัวประมาณค่า IV อย่างเหมาะสมจะช่วยระบุพารามิเตอร์นี้ได้ เนื่องจาก IV หาค่าพารามิเตอร์เฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไข${\displaystyle Z^{\mathrm {T} }e=0}$และด้วยเหตุนี้จึงช่วยให้สามารถค้นหาพารามิเตอร์พื้นฐานที่แท้จริงได้ดียิ่งขึ้นเมื่อขนาดของกลุ่มตัวอย่างเพิ่มขึ้น

ต่อไปนี้เป็นการขยายความ: สมมติว่ามีตัวแปรเครื่องมือมากกว่าตัวแปรอิสระในสมการที่สนใจ ดังนั้นZจึงเป็น เมทริกซ์ขนาด T × Mโดยที่M > K กรณี นี้มักเรียกว่า กรณี ที่มีตัวแปรเครื่องมือเกิน (over-identified case) ในกรณีนี้ สามารถใช้ วิธีโมเมนต์ทั่วไป (Generalized Method of Moments : GMM) ได้ ตัวประมาณค่า GMM IV คือ

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {GMM} }=(X^{\mathrm {T} }P_{Z}X)^{-1}X^{\mathrm {T} }P_{Z}y,}$

ที่ไหน${\displaystyle P_{Z}}$หมายถึงเมทริกซ์การฉายภาพ${\displaystyle P_{Z}=Z(Z^{\mathrm {T} }Z)^{-1}Z^{\mathrm {T} }}$.

นิพจน์นี้จะลดรูปเหลือเป็นนิพจน์แรกเมื่อจำนวนเครื่องมือเท่ากับจำนวนตัวแปรอิสระในสมการที่สนใจ ดังนั้น IV ที่ระบุเกินจึงเป็นการขยายความของ IV ที่ระบุพอดี

มี ตัวประมาณค่า ที่ไม่ระบุตัวแปรที่เทียบเท่า กัน สำหรับกรณีที่m < kเนื่องจากพารามิเตอร์เป็นคำตอบของชุดสมการเชิงเส้น จึงมีแบบจำลองที่ไม่ระบุตัวแปรโดยใช้ชุดสมการดังกล่าว${\displaystyle Z'v=0}$ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียว

วิธีการคำนวณค่าประมาณ IV วิธีหนึ่งคือ วิธีการกำลังสองน้อยที่สุดสองขั้นตอน (2SLS หรือ TSLS) ในขั้นตอนแรก ตัวแปรอธิบายแต่ละตัวที่เป็นตัวแปรภายในในสมการที่สนใจจะถูกถดถอยกับตัวแปรภายนอกทั้งหมดในแบบจำลอง รวมถึงตัวแปรภายนอกในสมการที่สนใจและเครื่องมือที่ถูกตัดออก ค่าที่ทำนายได้จากการถดถอยเหล่านี้คือ:

ขั้นตอนที่ 1:ทำการถดถอยแต่ละคอลัมน์ของXกับZ , (${\displaystyle X=Z\delta +{\text{errors}}}$):

${\displaystyle {\widehat {\delta }}=(Z^{\mathrm {T} }Z)^{-1}Z^{\mathrm {T} }X,\,}$

และบันทึกค่าที่คาดการณ์ไว้:

${\displaystyle {\widehat {X}}=Z{\widehat {\delta }}={\color {ProcessBlue}Z(Z^{\mathrm {T} }Z)^{-1}Z^{\mathrm {T} }}X={\color {ProcessBlue}P_{Z}}X.\,}$

ในขั้นตอนที่สอง จะทำการประมาณค่าการถดถอยที่สนใจตามปกติ ยกเว้นว่าในขั้นตอนนี้ ตัวแปรอิสระภายในแต่ละตัวจะถูกแทนที่ด้วยค่าที่ทำนายได้จากขั้นตอนแรก:

ขั้นตอนที่ 2:ทำการวิเคราะห์การถดถอยของYกับค่าที่ทำนายได้จากขั้นตอนแรก:

${\displaystyle Y={\widehat {X}}\beta +\mathrm {noise} ,\,}$

ซึ่งให้

${\displaystyle \beta _{\text{2SLS}}=\left(X^{\mathrm {T} }{\color {ProcessBlue}P_{Z}}X\right)^{-1}X^{\mathrm {T} }{\color {ProcessBlue}P_{Z}}Y.}$

วิธีนี้ใช้ได้เฉพาะกับแบบจำลองเชิงเส้นเท่านั้น สำหรับตัวแปรภายในเชิงหมวดหมู่ อาจมีคนอยากใช้ขั้นตอนแรกที่แตกต่างจากกำลังสองน้อยที่สุดแบบธรรมดา เช่นแบบจำลองโพรบิตสำหรับขั้นตอนแรก ตามด้วย OLS สำหรับขั้นตอนที่สอง ซึ่งเป็นที่รู้จักกันทั่วไปในวรรณกรรมทางเศรษฐศาสตร์ว่าเป็นการถดถอยต้องห้าม^{[ 15 ]}เนื่องจากค่าประมาณพารามิเตอร์ IV ในขั้นตอนที่สองจะสอดคล้องกันเฉพาะในกรณีพิเศษเท่านั้น^{[ 16 ]}

ตัวประมาณค่าที่ได้ของ${\displaystyle \beta }$มีค่าเท่ากับนิพจน์ที่แสดงไว้ข้างต้น จำเป็นต้องมีการแก้ไขเล็กน้อยสำหรับผลรวมกำลังสองของค่าความคลาดเคลื่อนในแบบจำลองที่ปรับให้เหมาะสมในขั้นตอนที่สอง เพื่อให้เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของ${\displaystyle \beta }$คำนวณได้อย่างถูกต้อง

เมื่อไม่ทราบรูปแบบของสมการโครงสร้าง จะต้องใช้ตัวแปรเครื่องมือ${\displaystyle Z}$ยังคงสามารถกำหนดได้ผ่านสมการต่อไปนี้:

${\displaystyle x=g(z,u)\,}$

${\displaystyle y=f(x,u)\,}$

ที่ไหน${\displaystyle f}$และ${\displaystyle g}$เป็นฟังก์ชันสองฟังก์ชันใดๆ และ${\displaystyle Z}$เป็นอิสระจาก${\displaystyle U}$อย่างไรก็ตาม ต่างจากแบบจำลองเชิงเส้น การวัดค่าต่างๆ${\displaystyle Z,X}$และ${\displaystyle Y}$ไม่เอื้อต่อการระบุผลกระทบเชิงสาเหตุโดยเฉลี่ยของ${\displaystyle X}$บน${\displaystyle Y}$ซึ่งแสดงด้วย ACE

${\displaystyle {\text{ACE}}=\Pr(y\mid {\text{do}}(x))=\operatorname {E} _{u}[f(x,u)].}$

Balke และ Pearl [1997] ได้กำหนดขอบเขตที่แน่นหนาสำหรับ ACE และแสดงให้เห็นว่าขอบเขตเหล่านี้สามารถให้ข้อมูลที่มีค่าเกี่ยวกับเครื่องหมายและขนาดของ ACE ได้^{[ 17 ]}

ในการวิเคราะห์เชิงเส้น ไม่มีการทดสอบใดที่จะพิสูจน์ได้ว่าสมมติฐานที่ว่า "เป็นจริง" นั้นเป็นเท็จ${\displaystyle Z}$มีบทบาทสำคัญเมื่อเทียบกับคู่ดังกล่าว${\displaystyle (X,Y)}$นี่ไม่ใช่กรณีเมื่อ${\displaystyle X}$เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง เพิร์ล (2000) ได้แสดงให้เห็นว่า สำหรับทุก ๆ${\displaystyle f}$และ${\displaystyle g}$ข้อจำกัดต่อไปนี้ ซึ่งเรียกว่า "ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเครื่องมือ" จะต้องเป็นจริงเสมอ${\displaystyle Z}$สอดคล้องกับสมการทั้งสองข้างต้น: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \max _{x}\sum _{y}[\max _{z}\Pr(y,x\mid z)]\leq 1.}$

คำอธิบายข้างต้นตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าผลกระทบเชิงสาเหตุที่สนใจจะไม่เปลี่ยนแปลงไปตามการสังเกต นั่นคือ${\displaystyle \beta }$เป็นค่าคงที่ โดยทั่วไปแล้ว บุคคลต่างๆ จะตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงใน "การรักษา" x ในรูปแบบที่แตกต่างกัน เมื่อตระหนักถึงความเป็นไปได้นี้ ผลกระทบโดยเฉลี่ยในประชากรของการเปลี่ยนแปลงxต่อyอาจแตกต่างจากผลกระทบในประชากรย่อยที่กำหนด ตัวอย่างเช่น ผลกระทบโดยเฉลี่ยของโปรแกรมฝึกอบรมงานอาจแตกต่างกันอย่างมากระหว่างกลุ่มคนที่ได้รับการฝึกอบรมจริงและกลุ่มคนที่เลือกที่จะไม่ได้รับการฝึกอบรม ด้วยเหตุผลเหล่านี้ วิธีการ IV จึงอาศัยสมมติฐานโดยนัยเกี่ยวกับการตอบสนองทางพฤติกรรม หรือโดยทั่วไปแล้วสมมติฐานเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างการตอบสนองต่อการรักษาและแนวโน้มที่จะได้รับการรักษา^{[ 18 ]}

ตัวประมาณค่า IV มาตรฐานสามารถกู้คืนผลกระทบการรักษาเฉลี่ยเฉพาะที่ (LATE) แทนที่จะเป็นผลกระทบการรักษาเฉลี่ย (ATE) ^{[ 1 ]} Imbens และ Angrist (1994) แสดงให้เห็นว่าการประมาณค่า IV เชิงเส้นสามารถตีความได้ภายใต้เงื่อนไขที่อ่อนแอว่าเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของผลกระทบการรักษาเฉลี่ยเฉพาะที่ โดยที่น้ำหนักขึ้นอยู่กับความยืดหยุ่นของตัวแปรถดถอยภายในต่อการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรเครื่องมือ โดยคร่าวๆ นั่นหมายความว่าผลกระทบของตัวแปรจะปรากฏให้เห็นเฉพาะในกลุ่มย่อยที่ได้รับผลกระทบจากการเปลี่ยนแปลงที่สังเกตได้ในเครื่องมือ และกลุ่มย่อยที่ตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงในเครื่องมือมากที่สุดจะมีผลกระทบมากที่สุดต่อขนาดของการประมาณค่า IV

ตัวอย่างเช่น หากนักวิจัยใช้การมีอยู่ของวิทยาลัยที่ได้รับที่ดินจากรัฐบาลเป็นตัวแปรแทนการศึกษาในระดับวิทยาลัยในการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ระหว่างรายได้กับการศึกษา นักวิจัยจะสามารถระบุผลกระทบของการศึกษาในระดับวิทยาลัยต่อรายได้ในกลุ่มประชากรย่อยที่สำเร็จการศึกษาระดับวิทยาลัยหากมีวิทยาลัยอยู่ แต่จะไม่ได้รับปริญญาหากไม่มีวิทยาลัยอยู่ วิธีการเชิงประจักษ์นี้ หากปราศจากข้อสมมติเพิ่มเติม จะไม่สามารถบอกอะไรแก่นักวิจัยเกี่ยวกับผลกระทบของการศึกษาในระดับวิทยาลัยในกลุ่มคนที่สำเร็จการศึกษาระดับวิทยาลัยอยู่แล้วหรือไม่ได้เลย ไม่ว่าจะมีวิทยาลัยในท้องถิ่นหรือไม่ก็ตาม

ดังที่Bound , Jaegerและ Baker (1995) ตั้งข้อสังเกต ปัญหาเกิดจากการเลือกเครื่องมือที่ "อ่อนแอ" ซึ่งเป็นเครื่องมือที่ทำนายตัวทำนายคำถามภายในในสมการขั้นแรกได้ไม่ดี^{[ 19 ]}ในกรณีนี้ การทำนายตัวทำนายคำถามโดยเครื่องมือจะแย่ และค่าที่ทำนายได้จะมีความแปรปรวนน้อยมาก ดังนั้นจึงไม่น่าจะประสบความสำเร็จมากนักในการทำนายผลลัพธ์สุดท้ายเมื่อใช้แทนตัวทำนายคำถามในสมการขั้นที่สอง

ในบริบทของตัวอย่างเรื่องการสูบบุหรี่และสุขภาพที่กล่าวถึงข้างต้น ภาษีบุหรี่เป็นตัวแปรที่อ่อนแอหากสถานะการสูบบุหรี่ไม่ตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงของภาษีมากนัก หากภาษีที่สูงขึ้นไม่กระตุ้นให้ผู้คนเลิกสูบบุหรี่ (หรือไม่เริ่มสูบบุหรี่) การเปลี่ยนแปลงอัตราภาษีก็ไม่ได้บอกอะไรเราเกี่ยวกับผลกระทบของการสูบบุหรี่ต่อสุขภาพ หากภาษีส่งผลกระทบต่อสุขภาพผ่านช่องทางอื่นนอกเหนือจากผลกระทบต่อการสูบบุหรี่ ตัวแปรเหล่านั้นก็จะใช้ไม่ได้ผล และวิธีการใช้ตัวแปรเครื่องมืออาจให้ผลลัพธ์ที่ทำให้เข้าใจผิดได้ ตัวอย่างเช่น สถานที่และช่วงเวลาที่มีประชากรที่ใส่ใจสุขภาพค่อนข้างสูง อาจใช้ภาษีบุหรี่สูงและมีสุขภาพที่ดีขึ้นแม้ว่าอัตราการสูบบุหรี่จะคงที่ ดังนั้นเราจะสังเกตเห็นความสัมพันธ์ระหว่างสุขภาพและภาษีบุหรี่แม้ว่าการสูบบุหรี่จะไม่มีผลกระทบต่อสุขภาพก็ตาม ในกรณีนี้ เราจะเข้าใจผิดหากสรุปว่าการสูบบุหรี่มีผลกระทบเชิงสาเหตุต่อสุขภาพจากความสัมพันธ์ที่สังเกตได้ระหว่างภาษีบุหรี่และสุขภาพ

เมื่อตัวแปรอิสระเป็นตัวแปรภายนอก คุณสมบัติของตัวประมาณค่า OLS ในตัวอย่างขนาดเล็กสามารถหาได้โดยตรงโดยการคำนวณโมเมนต์ของตัวประมาณค่าแบบมีเงื่อนไขบนXแต่เมื่อตัวแปรอิสระบางตัวเป็นตัวแปรภายใน ทำให้ต้องใช้การประมาณค่าด้วยตัวแปรเครื่องมือ จะไม่สามารถหาค่าโมเมนต์ของตัวประมาณค่าได้ง่ายๆ โดยทั่วไปแล้ว ตัวประมาณค่าด้วยตัวแปรเครื่องมือจะมีคุณสมบัติที่ดีเฉพาะในเชิงอะซิมโทติกเท่านั้น ไม่ใช่ในตัวอย่างขนาดเล็ก และการอนุมานจะขึ้นอยู่กับการประมาณค่าเชิงอะซิมโทติกของการแจกแจงตัวอย่างของตัวประมาณค่า แม้ว่าตัวแปรเครื่องมือจะไม่มีความสัมพันธ์กับความคลาดเคลื่อนในสมการที่สนใจ และแม้ว่าตัวแปรเครื่องมือจะไม่อ่อนแอ คุณสมบัติของตัวประมาณค่าด้วยตัวแปรเครื่องมือในตัวอย่างขนาดเล็กก็อาจไม่ดี ตัวอย่างเช่น โมเดลที่ระบุอย่างแม่นยำจะสร้างตัวประมาณตัวอย่างจำกัดที่ไม่มีโมเมนต์ ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าตัวประมาณนั้นไม่มีอคติหรือไม่มีอคติ ขนาดที่ระบุของสถิติการทดสอบอาจบิดเบือนไปมาก และโดยทั่วไปแล้วค่าประมาณอาจอยู่ห่างไกลจากค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์^{[ 21 ]}

ข้อสมมติฐานที่ว่าเครื่องมือไม่มีความสัมพันธ์กับเทอมความคลาดเคลื่อนในสมการที่สนใจนั้นไม่สามารถทดสอบได้ในแบบจำลองที่ระบุได้อย่างแม่นยำ หากแบบจำลองมีการระบุเกิน จะมีข้อมูลที่สามารถนำมาใช้ทดสอบข้อสมมติฐานนี้ได้ การทดสอบข้อจำกัดการระบุเกินที่ พบบ่อยที่สุดเหล่านี้ เรียกว่าการทดสอบ Sargan–Hansenซึ่งอิงตามการสังเกตว่าค่าตกค้างควรจะไม่มีความสัมพันธ์กับชุดของตัวแปรภายนอกหากเครื่องมือเป็นตัวแปรภายนอกอย่างแท้จริง^{[ 22 ]}สถิติการทดสอบ Sargan–Hansen สามารถคำนวณได้ดังนี้${\displaystyle TR^{2}}$(จำนวนการสังเกตคูณด้วยสัมประสิทธิ์การกำหนด ) จากการถดถอย OLS ของค่าความคลาดเคลื่อนกับชุดของตัวแปรภายนอก สถิตินี้จะมีค่าใกล้เคียงกับค่าไคกำลังสอง โดยมี องศาอิสระ m  − kภายใต้สมมติฐานว่างที่ว่าพจน์ความคลาดเคลื่อนไม่มีความสัมพันธ์กับตัวแปรเครื่องมือ 

• ฟังก์ชันควบคุม (เศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณ) – วิธีการทางสถิติเพื่อแก้ไขปัญหาความสัมพันธ์ภายในตัวแปร 
• เครื่องมือที่เหมาะสมที่สุด– เทคนิคในการปรับปรุงประสิทธิภาพของตัวประมาณค่าในแบบจำลองโมเมนต์แบบมีเงื่อนไข