ในทางคณิตศาสตร์ลำดับความคลาดเคลื่อนต่ำคือลำดับที่มีคุณสมบัติว่า สำหรับทุกค่าของ${\displaystyle N}$ลำดับย่อยของมัน${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$มีความคลาดเคลื่อนต่ำ

โดยคร่าวๆ แล้ว ความคลาดเคลื่อนของลำดับจะต่ำ หากสัดส่วนของจุดในลำดับที่ตกอยู่ในเซตB ใดๆ ใกล้เคียงกับสัดส่วนของค่า B ซึ่งจะเกิดขึ้นโดยเฉลี่ย (แต่ไม่ใช่สำหรับตัวอย่างเฉพาะ) ในกรณีของลำดับที่มีการกระจาย อย่างสม่ำเสมอ คำจำกัดความเฉพาะของความคลาดเคลื่อนจะแตกต่างกันไปตามการเลือกB ( ทรงกลมหลายมิติลูกบาศก์หลายมิติฯลฯ) และวิธีการคำนวณ (โดยปกติจะทำให้เป็นมาตรฐาน) และการรวมความคลาดเคลื่อนสำหรับแต่ละ B (โดยปกติจะใช้ค่าที่แย่ที่สุด)

ลำดับความคลาดเคลื่อนต่ำเรียกอีกอย่างว่า ลำดับ กึ่งสุ่มเนื่องจากมีการใช้กันอย่างแพร่หลายแทนตัวเลขสุ่ม ที่มีการกระจายแบบสม่ำเสมอ คำว่า "กึ่ง" ใช้เพื่อบ่งบอกให้ชัดเจนยิ่งขึ้นว่าค่าของลำดับความคลาดเคลื่อนต่ำนั้นไม่ใช่ทั้งตัวเลขสุ่มหรือตัวเลขสุ่มเทียมแต่ลำดับดังกล่าวมีคุณสมบัติบางอย่างร่วมกับตัวแปรสุ่ม และในบางแอปพลิเคชัน เช่นวิธีควาซี-มอนเตคาร์โลความคลาดเคลื่อนที่ต่ำกว่าถือเป็นข้อได้เปรียบที่สำคัญ

ตัวเลขกึ่งสุ่มมีข้อดีเหนือกว่าตัวเลขสุ่มแท้ตรงที่มันครอบคลุมขอบเขตที่สนใจได้อย่างรวดเร็วและสม่ำเสมอ

การประยุกต์ใช้ที่มีประโยชน์สองประการ ได้แก่ การหาฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นและการหา ฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงกำหนดที่มีสัญญาณรบกวนน้อย ตัวเลขกึ่งสุ่มช่วยให้ สามารถคำนวณ โมเมนต์ ลำดับสูง ได้อย่างแม่นยำและรวดเร็วมาก

การประยุกต์ใช้ที่ไม่เกี่ยวข้องกับการเรียงลำดับ ได้แก่ การหาค่าเฉลี่ยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานค่าความเบ้และค่าความโค้งของข้อมูลทางสถิติ และการหาค่าสูงสุดและต่ำสุดทั้งแบบอินทิกรัลและแบบทั่วโลกของฟังก์ชันเชิงกำหนดที่ซับซ้อน นอกจากนี้ ตัวเลขกึ่งสุ่มยังสามารถใช้เป็นจุดเริ่มต้นสำหรับอัลกอริธึมเชิงกำหนดที่ทำงานได้เฉพาะในพื้นที่ เช่นการวนซ้ำแบบนิวตัน-ราฟสัน

ตัวเลขกึ่งสุ่มยังสามารถนำมาใช้ร่วมกับอัลกอริธึมการค้นหาได้อีกด้วย โดยใช้อัลกอริธึมการค้นหาตัวเลขกึ่งสุ่มสามารถใช้ในการหาค่าฐานนิยม ค่ามัธยฐาน ช่วงความเชื่อมั่นและการกระจายสะสมของการกระจายทางสถิติ รวมถึงค่าต่ำสุดเฉพาะที่ ทั้งหมด และคำตอบทั้งหมดของฟังก์ชันเชิงกำหนดได้

ความคลาดเคลื่อนของชุด${\displaystyle P=\{x_{1},\dots ,x_{N}}\}$ถูกกำหนดโดยใช้ สัญกรณ์ ของ Niederreiterดังนี้ $${\displaystyle D_{N}(P)=\sup _{B\in J}\left|{\frac {A(B;P)}{N}}-\lambda _{s}(B)\right|}$$

ที่ไหน${\displaystyle \lambda _{s}}$คือ${\displaystyle s}$การ วัดแบบเลเบสแบบหลายมิติ${\displaystyle A(B;P)}$คือจำนวนจุดใน${\displaystyle P}$ที่ตกอยู่ใน${\displaystyle B}$, และ${\displaystyle J}$คือชุดของ${\displaystyle s}$ช่วงมิติหรือกล่องในรูปแบบ

$${\displaystyle \prod _{i=1}^{s}[a_{i},b_{i})=\{\mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{s}:a_{i}\leq x_{i}<b_{i}\}\,}$$

ที่ไหน${\displaystyle 0\leq a_{i}<b_{i}\leq 1}$.

ความคลาดเคลื่อนของดวงดาว${\displaystyle D_{N}^{*}(P)}$มีนิยามที่คล้ายกัน ยกเว้นว่าค่าสูงสุดจะหาจากเซต${\displaystyle J^{*}}$ของกล่องสี่เหลี่ยมผืนผ้าในรูปแบบ

$${\displaystyle \prod _{i=1}^{s}[0,u_{i})}$$

ที่ไหน${\displaystyle u_{i}}$อยู่ในช่วงครึ่งเปิด[0, 1 )

ทั้งสองมีความเกี่ยวข้องกันโดย

$${\displaystyle D_{N}^{*}\leq D_{N}\leq 2^{s}D_{N}^{*}.\,}$$

หมายเหตุ : ตามคำจำกัดความเหล่านี้ ความคลาดเคลื่อนหมายถึงกรณีที่เลวร้ายที่สุดหรือค่าเบี่ยงเบนความหนาแน่นสูงสุดของชุดข้อมูลที่เป็นเอกรูป อย่างไรก็ตาม มาตรวัดข้อผิดพลาดอื่นๆ ก็มีความหมายเช่นกัน ซึ่งนำไปสู่คำจำกัดความและมาตรวัดความแปรผันอื่นๆ ตัวอย่างเช่น${\displaystyle L^{2}}$-ความคลาดเคลื่อนหรือการปรับศูนย์กลาง${\displaystyle L^{2}}$-ความคลาดเคลื่อนยังถูกนำมาใช้อย่างมากในการเปรียบเทียบคุณภาพของชุดจุดสม่ำเสมอ ทั้งสองอย่างคำนวณได้ง่ายกว่ามากสำหรับค่าขนาดใหญ่${\displaystyle N}$และ${\displaystyle s}$.

อนุญาต${\displaystyle {\overline {I}}^{s}}$เป็น${\displaystyle s}$ลูกบาศก์หน่วยมิติ${\displaystyle {\overline {I}}^{s}=[0,1]\times \cdots \times [0,1]}$. อนุญาต${\displaystyle f}$มีการเปลี่ยนแปลงที่จำกัด${\displaystyle V(f)}$บน${\displaystyle {\overline {I}}^{s}}$ในความหมายของฮาร์ดี้และเคราส์ จากนั้นสำหรับสิ่งใดก็ตาม${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$ใน${\displaystyle I^{s}=[0,1)^{s}=[0,1)\times \cdots \times [0,1)}$,

$${\displaystyle \left|{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(x_{i})-\int _{{\bar {I}}^{s}}f(u)\,du\right|\leq V(f)\,D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N}).}$$ อสมการKoksma – Hlawkaมีความคมชัดในความหมายดังต่อไปนี้: สำหรับเซตของจุดใดๆ${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{N}\}}$ใน${\displaystyle I^{s}}$และใดๆ${\displaystyle \varepsilon >0}$มีฟังก์ชันอยู่${\displaystyle f}$โดยมีการเปลี่ยนแปลงที่จำกัดและ${\displaystyle V(f)=1}$โดยที่

$${\displaystyle \left|{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(x_{i})-\int _{{\bar {I}}^{s}}f(u)\,du\right|>D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N})-\varepsilon .}$$

ดังนั้น คุณภาพของกฎการอินทิเกรตเชิงตัวเลขจึงขึ้นอยู่กับความคลาดเคลื่อนเท่านั้น${\displaystyle D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N})}$.

อนุญาต${\displaystyle D=\{1,2,\ldots ,d\}}$. สำหรับ${\displaystyle \emptyset \neq u\subseteq D}$เราเขียน $${\displaystyle dx_{u}:=\prod _{j\in u}dx_{j}}$$ และกำหนดให้เป็น${\displaystyle (x_{u},1)}$จุดที่ได้จากxโดยการแทนที่พิกัดที่ไม่ได้อยู่ในuด้วย${\displaystyle 1}$. แล้ว

$${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(x_{i})-\int _{{\bar {I}}^{s}}f(u)\,du=\sum _{\emptyset \neq u\subseteq D}(-1)^{|u|}\int _{[0,1]^{|u|}}\operatorname {disc} (x_{u},1){\frac {\partial ^{|u|}}{\partial x_{u}}}f(x_{u},1)\,dx_{u},}$$

ที่ไหน${\displaystyle \operatorname {disc} (z)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\prod _{j=1}^{d}1_{[0,z_{j})}(x_{i,j})-\prod _{j=1}^{d}z_{i}}$คือฟังก์ชันความคลาดเคลื่อน

เมื่อนำอสมการโคชี-ชวาร์ซสำหรับปริพันธ์และผลรวมมาใช้กับเอกลักษณ์ฮลาวกา-ซาเรมบา เราจะได้${\displaystyle L^{2}}$เวอร์ชันของอสมการค็อกมา-ฮลอว์กา:

$${\displaystyle \left|{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(x_{i})-\int _{{\bar {I}}^{s}}f(u)\,du\right|\leq \|f\|_{d}\operatorname {disc} _{d}(\{t_{i}\}),}$$

ที่ไหน

$${\displaystyle \operatorname {disc} _{d}(\{t_{i}\})=\left(\sum _{\emptyset \neq u\subseteq D}\int _{[0,1]^{|u|}}\operatorname {disc} (x_{u},1)^{2}\,dx_{u}\right)^{1/2}}$$

และ

$${\displaystyle \|f\|_{d}=\left(\sum _{u\subseteq D}\int _{[0,1]^{|u|}}\left|{\frac {\partial ^{|u|}}{\partial x_{u}}}f(x_{u},1)\right|^{2}dx_{u}\right)^{1/2}.}$$

${\displaystyle L^{2}}$ความคลาดเคลื่อนมีความสำคัญในทางปฏิบัติสูง เนื่องจากสามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็วและชัดเจนสำหรับชุดจุดที่กำหนด ด้วยวิธีนี้จึงง่ายต่อการสร้างตัวเพิ่มประสิทธิภาพชุดจุดโดยใช้${\displaystyle L^{2}}$ความแตกต่างเป็นเกณฑ์

การหาค่าที่แน่นอนของความคลาดเคลื่อนของชุดจุดขนาดใหญ่เป็นเรื่องยากในเชิงคำนวณ อสมการ Erdős – Turán – Koksmaให้ค่าขอบเขตบน

อนุญาต${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$เป็นจุดใน${\displaystyle I^{s}}$และ${\displaystyle H}$ให้ เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ ก็ได้ แล้ว

$${\displaystyle D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N})\leq \left({\frac {3}{2}}\right)^{s}\left({\frac {2}{H+1}}+\sum _{0<\|h\|_{\infty }\leq H}{\frac {1}{r(h)}}\left|{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}e^{2\pi i\langle h,x_{n}\rangle }\right|\right)}$$

ที่ไหน

$${\displaystyle r(h)=\prod _{i=1}^{s}\max\{1,|h_{i}|\}\quad {\text{for}}\quad h=(h_{1},\ldots ,h_{s})\in \mathbb {Z} ^{s}.}$$

ข้อสันนิษฐานที่ 1.มีค่าคงที่อยู่ค่าหนึ่ง${\displaystyle c_{s}}$ขึ้นอยู่กับมิติเท่านั้น${\displaystyle s}$โดยที่ $${\displaystyle D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N})\geq c_{s}{\frac {(\ln N)^{s-1}}{N}}}$$ สำหรับเซตจุดจำกัดใดๆ${\displaystyle {x_{1},\ldots ,x_{N}}}$.

ข้อสันนิษฐานที่ 2.มีค่าคงที่อยู่ค่าหนึ่ง${\displaystyle c'_{s}}$ขึ้นอยู่กับ :${\displaystyle s}$โดยที่:${\displaystyle D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N})\geq c'_{s}{\frac {(\ln N)^{s}}{N}}}$

สำหรับจำนวนอนันต์ของ${\displaystyle N}$สำหรับลำดับอนันต์ใดๆ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$.

ข้อสันนิษฐานเหล่านี้เทียบเท่ากัน พวกมันได้รับการพิสูจน์แล้ว${\displaystyle s\leq 2}$โดยWM Schmidtในมิติที่สูงกว่า ปัญหาที่เกี่ยวข้องยังคงไม่มีคำตอบ ขอบเขตล่างที่เป็นที่รู้จักดีที่สุดมาจากMichael Laceyและผู้ร่วมงาน

อนุญาต${\displaystyle s=1}$. แล้ว

$${\displaystyle D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N})\geq {\frac {1}{2N}}}$$

สำหรับเซตจุดจำกัดใดๆ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{N}}\}$.

อนุญาต${\displaystyle s=2}$ดับเบิลยู . เอ็ม. ชมิดต์พิสูจน์ว่าสำหรับเซตจุดจำกัดใดๆ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{N}}\}$,

$${\displaystyle D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N})\geq C{\frac {\log N}{N}}}$$

ที่ไหน

$${\displaystyle C=\max _{a\geq 3}{\frac {1}{16}}{\frac {a-2}{a\log a}}=0.023335\dots .}$$

สำหรับมิติใดๆ ก็ตาม${\displaystyle s>1}$เคเอฟ รอธพิสูจน์แล้วว่า

$${\displaystyle D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N})\geq {\frac {1}{2^{4s}}}{\frac {1}{((s-1)\log 2)^{\frac {s-1}{2}}}}{\frac {\log ^{\frac {s-1}{2}}N}{N}}}$$

สำหรับเซตจุดจำกัดใดๆ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{N}}\}$Jozef Beck ^{[ 1 ]}ได้สร้างการปรับปรุงลอการิทึมคู่ของผลลัพธ์นี้ในสามมิติ ซึ่งได้รับการปรับปรุงโดย D. Bilyk และMT Laceyให้เป็นกำลังของลอการิทึมเดี่ยว ขอบเขตที่ทราบดีที่สุดสำหรับs  >  2 มาจาก D. Bilyk และMT Laceyและ A. Vagharshakyan ^{[ 2 ]}มีอยู่${\displaystyle t>0}$ขึ้นอยู่กับsเพื่อให้ $${\displaystyle D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N})\geq t{\frac {\log ^{{\frac {s-1}{2}}+t}N}{N}}}$$

สำหรับเซตจุดจำกัดใดๆ ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{N}}\}$.

ขอบล่างทั่วไปของความคลาดเคลื่อนในท้องถิ่นโดยเฉลี่ยสามารถคำนวณได้โดยใช้เพียงขนาดช่องว่างขั้นต่ำและขนาดช่องว่างที่อยู่เหนือช่องว่างโดยเฉลี่ย^{[ 3 ]}

เนื่องจากการกระจายตัวของตัวเลขสุ่มใดๆ ก็สามารถแปลงไปเป็นการกระจายตัวแบบเอกรูปได้ และตัวเลขกึ่งสุ่มก็ถูกแปลงในลักษณะเดียวกัน บทความนี้จึงกล่าวถึงเฉพาะการสร้างตัวเลขกึ่งสุ่มบนการกระจายตัวแบบเอกรูปหลายมิติเท่านั้น

มีโครงสร้างของลำดับที่ทราบกันอยู่หลายแบบดังนี้ $${\displaystyle D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N})\leq C{\frac {(\ln N)^{s}}{N}}.}$$ ที่ไหน${\displaystyle C}$เป็นค่าคงที่ค่าหนึ่ง ขึ้นอยู่กับลำดับ หลังจากข้อสันนิษฐานที่ 2 เชื่อกันว่าลำดับเหล่านี้มีลำดับการลู่เข้าที่ดีที่สุด ตัวอย่างด้านล่างคือลำดับ van der CorputลำดับHaltonและลำดับ Sobol'ข้อจำกัดทั่วไปประการหนึ่งคือ วิธีการสร้างมักจะรับประกันได้เพียงลำดับการลู่เข้าเท่านั้น ในทางปฏิบัติ ความคลาดเคลื่อนต่ำสามารถทำได้ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle N}$มีขนาดใหญ่พอ และสำหรับค่า s ที่กำหนดขนาดใหญ่ ค่าต่ำสุดนี้${\displaystyle N}$อาจมีขนาดใหญ่มาก ซึ่งหมายความว่าต้องทำการวิเคราะห์แบบมอนเตคาร์โลด้วย เช่น${\displaystyle s=20}$ตัวแปรและ${\displaystyle N=1000}$จุดต่างๆ จากตัวสร้างลำดับที่มีความคลาดเคลื่อนต่ำ อาจให้ผลลัพธ์ด้านความแม่นยำที่ดีขึ้น เพียงเล็กน้อยเท่านั้น

ตัวเลขสุ่ม

ลำดับของตัวเลขกึ่งสุ่มสามารถสร้างขึ้นได้จากตัวเลขสุ่มโดยการกำหนดความสัมพันธ์เชิงลบให้กับตัวเลขสุ่มเหล่านั้น วิธีหนึ่งในการทำเช่นนี้คือการเริ่มต้นด้วยชุดตัวเลขสุ่ม${\displaystyle r_{i}}$บน${\displaystyle [0,0.5)}$และสร้างตัวเลขกึ่งสุ่ม${\displaystyle s_{i}}$ซึ่งมีลักษณะสม่ำเสมอบน${\displaystyle [0,1)}$โดยใช้:

${\displaystyle s_{i}=r_{i}}$สำหรับ${\displaystyle i}$แปลกและ${\displaystyle s_{i}=0.5+r_{i}}$สำหรับ${\displaystyle i}$สม่ำเสมอ.

วิธีที่สองในการทำเช่นนั้นโดยใช้ตัวเลขสุ่มเริ่มต้นคือการสร้างการเดินแบบสุ่มโดยมีค่าชดเชย 0.5 ดังนี้:

$${\displaystyle s_{i}=s_{i-1}+0.5+r_{i}{\pmod {1}}.\,}$$

กล่าวคือ นำเลขกึ่งสุ่มก่อนหน้ามาบวกกับ 0.5 และเลขสุ่มนั้น แล้วนำผลลัพธ์มาหาร ด้วย 1 แบบโมดูลัส 

สำหรับมิติมากกว่าหนึ่งมิติสามารถใช้ตารางลาติน ที่มีมิติเหมาะสมเพื่อสร้างค่าชดเชยเพื่อให้แน่ใจว่าครอบคลุมพื้นที่ทั้งหมดอย่างสม่ำเสมอ

ลำดับฮัลตัน

ลำดับ Halton เป็นการขยายลำดับ van der Corput ไปสู่มิติที่สูงขึ้นอย่างเป็นธรรมชาติ ให้sเป็นมิติใดๆ และb , ..., b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วม ใดๆ ที่มากกว่า 1 กำหนด

$${\displaystyle x(n)=(g_{b_{1}}(n),\dots ,g_{b_{s}}(n)).}$$

จากนั้นจะมีค่าคงที่Cที่ขึ้นอยู่กับb , ..., b เท่านั้น โดยที่ลำดับ { x ( n )} เป็นลำดับมิติs ที่มี

$${\displaystyle D_{N}^{*}(x(1),\dots ,x(N))\leq C'{\frac {(\log N)^{s}}{N}}.}$$

ชุดแฮมเมอร์สลีย์

อนุญาต${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{s-1}}$เป็น จำนวนเต็มบวกที่ไม่มีตัวหาร ร่วมกันและมากกว่า 1 สำหรับค่าที่กำหนด${\displaystyle s}$และ${\displaystyle N}$,${\displaystyle s}$ชุด Hammersleyขนาด-มิติ${\displaystyle N}$ถูกกำหนดโดย^{[ 8 ]}

$${\displaystyle x(n)=\left(g_{b_{1}}(n),\dots ,g_{b_{s-1}}(n),{\frac {n}{N}}\right)}$$

สำหรับ${\displaystyle n=1,\ldots ,N}$. แล้ว

$${\displaystyle D_{N}^{*}(x(1),\dots ,x(N))\leq C{\frac {(\log N)^{s-1}}{N}}}$$

ที่ไหน${\displaystyle C}$เป็นค่าคงที่ที่ขึ้นอยู่กับเท่านั้น${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{s-1}}$.

หมายเหตุ : สูตรแสดงให้เห็นว่าเซตแฮมเมอร์สลีย์นั้นแท้จริงแล้วคือลำดับฮาลตัน แต่เราได้มิติเพิ่มมาอีกหนึ่งมิติโดยไม่ต้องเสียค่าใช้จ่ายใดๆ โดยการเพิ่มการกวาดเชิงเส้น ซึ่งจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle N}$ทราบล่วงหน้าแล้ว เซตเชิงเส้นยังเป็นเซตที่มีความคลาดเคลื่อนหนึ่งมิติที่ต่ำที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้โดยทั่วไป น่าเสียดายที่สำหรับมิติที่สูงกว่านั้น ไม่มี "เซตบันทึกความคลาดเคลื่อน" ดังกล่าวเป็นที่รู้จัก${\displaystyle s=2}$โดยทั่วไปแล้ว เครื่องกำเนิดชุดจุดที่มีความคลาดเคลื่อนต่ำส่วนใหญ่จะให้ค่าความคลาดเคลื่อนที่ใกล้เคียงกับค่าที่เหมาะสมที่สุด

จุดที่แสดงด้านล่างคือองค์ประกอบ 100, 1000 และ 10000 แรกในลำดับประเภท Sobol' เพื่อเปรียบเทียบ องค์ประกอบ 10000 ของลำดับจุดสุ่มเทียมก็แสดงไว้ด้วยเช่นกัน ลำดับความคลาดเคลื่อนต่ำถูกสร้างขึ้นโดย อัลกอริทึม TOMS 659 ^{[ 10 ]} การใช้งานอัลกอริทึมในFortranมีให้ใช้งานจากNetlib

100 จุดแรกในลำดับความคลาดเคลื่อนต่ำของประเภทSobol'	คะแนน 1,000 คะแนนแรกในลำดับเดียวกัน คะแนน 1,000 คะแนนนี้ประกอบด้วย 100 คะแนนแรก โดยมีคะแนนเพิ่มเติมอีก 900 คะแนน

10,000 คะแนนแรกในลำดับเดียวกัน 10,000 คะแนนนี้ประกอบด้วย 1,000 คะแนนแรก โดยมีคะแนนเพิ่มเติมอีก 9,000 คะแนน	เพื่อเป็นการเปรียบเทียบ นี่คือ 10,000 จุดเริ่มต้นในลำดับของตัวเลขสุ่มเทียมที่มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ จะเห็นได้ว่ามีบริเวณที่มีความหนาแน่นสูงและต่ำ

• ทฤษฎีความคลาดเคลื่อน
• โซ่ Markov Monte Carlo
• วิธีการควาซี-มอนเตคาร์โล
• ตารางแบบเบาบาง
• การสุ่มตัวอย่างอย่างเป็นระบบ

• รวมอัลกอริธึมของ ACM (ดูอัลกอริธึมหมายเลข 647, 659 และ 738)
• ลำดับกึ่งสุ่มจากคลังข้อมูลวิทยาศาสตร์ของ GNU
• การสุ่มตัวอย่างแบบกึ่งสุ่มภายใต้ข้อจำกัดที่ FinancialMathematics.Com
• ตัวสร้างลำดับ Sobol' ในภาษา C++
• เอกสารอ้างอิง API ของ SciPy QMC: scipy.stats.qmc