ในทางคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีสนามการขยายขอบเขตอย่างสุดขั้วของสนาม${\displaystyle K}$เป็นการขยายฟิลด์ที่ได้มาจากการเรียงลำดับการขยายฟิลด์หลายๆ ครั้ง โดยแต่ละครั้งสร้างขึ้นจากการนำรากที่ n ขององค์ประกอบจากฟิลด์ก่อนหน้ามาต่อกัน

การขยายรากอย่างง่ายคือการขยายอย่างง่ายF / Kที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบเดียว${\displaystyle \alpha }$น่าพอใจ${\displaystyle \alpha ^{n}=b}$สำหรับองค์ประกอบbของKในลักษณะเฉพาะpเรายังถือว่าการขยายโดยรากของพหุนาม Artin–Schreierเป็นการขยายรากแบบง่ายอนุกรมรากเป็นหอคอย${\displaystyle K=F_{0}<F_{1}<\cdots <F_{k}}$โดยที่ส่วนขยายแต่ละส่วน${\displaystyle F_{i}/F_{i-1}}$เป็นการขยายรากที่สองอย่างง่าย ในกรณีนี้คือการขยายสนาม${\displaystyle F_{k}/K}$เรียกว่าการขยายแบบราดิคัล (radical extension )

1. ถ้าEเป็นส่วนขยายเชิงรากของFและFเป็นส่วนขยายเชิงรากของKแล้วEก็เป็นส่วนขยายเชิงรากของKด้วย
2. ถ้าEและFเป็นส่วนขยายเชิงรากของKในฟิลด์ส่วนขยายCของKแล้ว ฟิลด์ย่อยประกอบEF (ฟิลด์ย่อยที่เล็กที่สุดของCที่ประกอบด้วยทั้งEและF ) จะเป็นส่วนขยายเชิงรากของK
3. ถ้าEเป็นส่วนขยายเชิงรากของFและE  > K > Fแล้วEก็เป็นส่วนขยายเชิงรากของKด้วย    

การขยายเชิงรากเกิดขึ้นตามธรรมชาติเมื่อแก้สมการพหุนามในรูปของรากอันที่จริงแล้วคำตอบในรูปของรากคือการแสดงคำตอบนั้นในรูปขององค์ประกอบของอนุกรมราก: พหุนามfบนฟิลด์Kกล่าวได้ว่าสามารถหาคำตอบได้โดยใช้ราก ถ้ามี ฟิลด์แยกของfบนKที่อยู่ในส่วนขยายเชิงรากของK

ทฤษฎีบทอาเบล-รัฟฟินีกล่าวว่า โดยทั่วไปแล้วไม่มีคำตอบโดยใช้รากที่สองสำหรับสมการที่มีดีกรีอย่างน้อยห้าเอวาริสต์ กาโลอิสแสดงให้เห็นว่าสมการสามารถหาคำตอบได้ด้วยรากที่สองก็ต่อเมื่อกลุ่มกาโลอิส ของสมการนั้น สามารถหาคำ ตอบได้ การพิสูจน์นี้อาศัยทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีกาโลอิสและทฤษฎีบทต่อไปนี้

ให้Kเป็นฟิลด์ที่มี รากที่ n ของเอกภาพที่แตกต่างกันn ตัว ส่วนขยายของKที่มีดีกรีnจะเป็นส่วนขยายเชิงรากที่สร้างขึ้นโดย รากที่ nของสมาชิกในKก็ต่อเมื่อมันเป็นส่วนขยายกาโลอิสที่มีกลุ่มกาโลอิสเป็นกลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับn

การพิสูจน์นี้เกี่ยวข้องกับตัวผกผันของลากรางจ์ให้${\displaystyle \omega }$เป็น รากที่ nดั้งเดิมของเอกภาพ (ซึ่งอยู่ในK ) หากส่วนขยายถูกสร้างขึ้นโดย${\displaystyle \alpha }$กับ${\displaystyle x^{n}-a}$ในฐานะพหุนามขั้นต่ำการแมป${\displaystyle \alpha \mapsto \omega \alpha }$เหนี่ยวนำให้เกิดK -automorphism ของส่วนขยายที่สร้างกลุ่มกาโลอิส ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความหมายแบบ "เฉพาะเมื่อ" ในทางกลับกัน ถ้า${\displaystyle \phi }$เป็นK -automorphism ที่สร้างกลุ่ม Galois และ${\displaystyle \beta }$เป็นตัวสร้างส่วนขยาย ให้

${\displaystyle \alpha =\sum _{i=0}^{n-1}\omega ^{-i}\phi ^{i}(\beta ).}$

ความสัมพันธ์${\displaystyle \phi (\alpha )=\omega \alpha }$หมายความว่าผลคูณของคอนจูเกตของ${\displaystyle \alpha }$(นั่นคือภาพของ${\displaystyle \alpha }$โดยK -automorphisms) อยู่ในKและเท่ากับผลคูณของ${\displaystyle \alpha ^{n}}$โดยผลคูณของรากที่nของหน่วย เนื่องจากผลคูณของรากที่nของหน่วยคือ${\displaystyle \pm 1}$ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle \alpha ^{n}\in K,}$ดังนั้นการขยายความนี้จึงเป็นการขยายความแบบสุดขั้ว

จากทฤษฎีบทนี้ สรุปได้ว่าส่วนขยายกาโลอิสสามารถขยายไปเป็นส่วนขยายราดิคัลได้ก็ต่อเมื่อกลุ่มกาโลอิสของส่วนขยายนั้นสามารถแก้ได้ (แต่ก็มีส่วนขยายกาโลอิสที่ไม่ใช่ราดิคัลซึ่งกลุ่มกาโลอิสสามารถแก้ได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น)${\textstyle \mathbb {Q} (\cos(2\pi /7))/\mathbb {Q} }$นี่คือเกณฑ์การหาคำตอบได้ด้วยรากที่สองในศัพท์สมัยใหม่ ซึ่งกาโลอิสได้เสนอไว้ การพิสูจน์ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการปิดกาโลอิสของส่วนขยายรากที่สองแบบง่ายที่มีดีกรีnคือส่วนขยายของมันด้วยรากที่สองของเอกภาพดั้งเดิมลำดับที่nและกลุ่มกาโลอิสของ รากที่สองของเอกภาพลำดับที่ nเป็นกลุ่มวัฏจักร