ตัวกรองโคไซน์ยกกำลัง

Q: ปัจจัยการกลิ้ง

ปัจจัยการ ลดลง เบต้า {\displaystyle \beta } เป็นตัววัด แบนด์วิดท์ส่วนเกิน ของตัวกรอง กล่าวคือ แบนด์วิดท์ที่ถูกใช้งานเกินกว่าแบนด์วิดท์ไนควิสต์ของตัวกรอง 1 2 ที {\displaystyle {\frac {1}{2T}}} นักเขียนบางคนใช้ α = เบต้า {\displaystyle \alpha =\beta } [ 2 ]

ตัวกรองโคไซน์ยกกำลัง (Raised-cosine filter)เป็นตัวกรองที่ใช้บ่อยในการ ปรับ รูปพัลส์ในการมอดูเลชั่น แบบดิจิทัล เนื่องจากมีความสามารถในการลดการรบกวนระหว่างสัญลักษณ์ (Intersymbol Interference : ISI) ชื่อของมันมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าส่วนที่ไม่เป็นศูนย์ของสเปกตรัมความถี่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด ( $\beta =1$ ) คือ ฟังก์ชัน โคไซน์ที่ 'ยก' ขึ้นให้อยู่เหนือ $f$ แกน (แนวนอน)

คำอธิบายทางคณิตศาสตร์

การตอบสนองแบบอิมพัลส์ของตัวกรองโคไซน์ยกกำลังที่มีปัจจัยการลดทอนต่างๆ กัน

ตัวกรองโคไซน์ยกกำลัง (raised-cosine filter) เป็นการนำตัวกรองไนควิสต์ แบบผ่านต่ำ (low-pass Nyquist filter) มาใช้ ซึ่งมีคุณสมบัติสมมาตรแบบเหลืออยู่ (vestigial symmetry) หมายความว่าสเปกตรัมของตัวกรองนี้แสดงสมมาตรแบบคี่ (odd symmetry)เกี่ยวกับ ${\frac {1}{2T}}$ , ที่ไหน $T$ คือช่วงเวลาสัญลักษณ์ของระบบการสื่อสาร

คำอธิบายในโดเมนความถี่คือฟังก์ชันที่กำหนดแบบเป็นช่วงโดยกำหนดดังนี้:

H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right],&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}

หรือในแง่ของฮาเวอร์โคซีน :

H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\\operatorname {hvc} \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right),&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}

สำหรับ

0\leq \beta \leq 1

และมีลักษณะเฉพาะด้วยคุณค่าสองประการ; $\beta$ ปัจจัย การลดลงและ $T$ ซึ่งเป็นส่วนกลับของอัตราสัญลักษณ์

การตอบสนองแบบอิมพัลส์ของตัวกรองดังกล่าว^{[ 1 ]}จะได้รับดังนี้:

h(t)={\begin{cases}{\frac {\pi }{4T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {1}{2\beta }}\right),&t=\pm {\frac {T}{2\beta }}\\{\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta t}{T}}\right)^{2}}},&{\text{otherwise}}\end{cases}}

ในแง่ของฟังก์ชัน sinc ที่เป็นมาตรฐาน ในที่นี้คือ "sinc สำหรับการสื่อสาร" $\sin(\pi x)/(\pi x)$ มากกว่าด้านคณิตศาสตร์

ปัจจัยการกลิ้ง

ปัจจัยการลดลง $\beta$ เป็นตัววัดแบนด์วิดท์ส่วนเกินของตัวกรอง กล่าวคือ แบนด์วิดท์ที่ถูกใช้งานเกินกว่าแบนด์วิดท์ไนควิสต์ของตัวกรอง ${\frac {1}{2T}}$ นักเขียนบางคนใช้ $\alpha =\beta$ [ ²^]

ถ้าเรากำหนดให้แบนด์วิดท์ส่วนเกินเป็น $\Delta f$ , แล้ว:

\beta ={\frac {\Delta f}{\left({\frac {1}{2T}}\right)}}={\frac {\Delta f}{R_{S}/2}}=2T\,\Delta f

ที่ไหน $R_{S}={\frac {1}{T}}$ คืออัตราสัญลักษณ์

กราฟแสดงการตอบสนองของแอมพลิจูดดังนี้ $\beta$ ค่าจะแปรผันระหว่าง 0 ถึง 1 และผลกระทบที่สอดคล้องกันต่อการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นดังที่เห็นได้ว่า ระดับระลอกคลื่นในโดเมนเวลาจะเพิ่มขึ้นเมื่อ $\beta$ ลดลง นี่แสดงให้เห็นว่าแบนด์วิดท์ส่วนเกินของตัวกรองสามารถลดลงได้ แต่ต้องแลกมาด้วยการยืดระยะเวลาการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น

β = 0

เช่น $\beta$ เมื่อเข้าใกล้ 0 บริเวณที่การไหลออกจะแคบลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ดังนั้น:

\lim _{\beta \rightarrow 0}H(f)=\operatorname {rect} (fT)

ที่ไหน $\operatorname {rect} (\cdot )$ เป็นฟังก์ชันสี่เหลี่ยมผืนผ้าดังนั้นการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นจึงเข้าใกล้ $h(t)={\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right)$ ดังนั้นในกรณีนี้ มันจึงลู่เข้าสู่ตัวกรองในอุดมคติหรือ ตัวกรองแบบกำแพงอิฐ

β = 1

เมื่อไร $\beta =1$ ส่วนที่ไม่เป็นศูนย์ของสเปกตรัมคือโคไซน์ยกกำลังบริสุทธิ์ ซึ่งนำไปสู่การลดรูปดังนี้:

H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\right)\right],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.

หรือ

H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {hvc} \left(\pi fT\right),&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.

แบนด์วิดท์

โดยทั่วไปแล้ว แบนด์วิดท์ของตัวกรองแบบ Raised Cosine จะถูกกำหนดโดยความกว้างของส่วนความถี่บวกที่ไม่เป็นศูนย์ของสเปกตรัม กล่าวคือ:

BW={\frac {R_{S}}{2}}(\beta +1),\quad (0<\beta <1)

เมื่อวัดโดยใช้เครื่องวิเคราะห์สเปกตรัม แบนด์ วิดท์วิทยุ B ในหน่วยเฮิรตซ์ของสัญญาณมอดูเลตจะมีค่าเป็นสองเท่าของแบนด์วิดท์เบสแบนด์ BW (ตามที่อธิบายไว้ใน [1]) กล่าวคือ:

B=2BW=R_{S}(\beta +1),\quad (0<\beta <1)

ฟังก์ชันการหาความสัมพันธ์อัตโนมัติ

ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติของฟังก์ชันโคไซน์ยกกำลังมีดังนี้:

R\left(\tau \right)=T\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left(\beta {\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}-{\frac {\beta }{4}}\operatorname {sinc} \left(\beta {\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}\right]

ผลลัพธ์ของการหาค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติสามารถนำมาใช้วิเคราะห์ผลลัพธ์การชดเชยการสุ่มตัวอย่างต่างๆ ได้ เมื่อทำการวิเคราะห์ด้วยวิธีการหาค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติ

แอปพลิเคชัน

แรงกระตุ้นแบบโคไซน์ยกกำลังต่อเนื่อง แสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติ ISI เป็นศูนย์

เมื่อใช้ในการกรองกระแสสัญลักษณ์ ตัวกรอง Nyquist มีคุณสมบัติในการกำจัด ISI เนื่องจากผลตอบสนองแบบอิมพัลส์ของมันเป็นศูนย์ทั้งหมด $nT$ (ที่ไหน $n$ เป็นจำนวนเต็ม) ยกเว้น $n=0$ .

ดังนั้น หากสัญญาณคลื่นที่ส่งมาได้รับการสุ่มตัวอย่างอย่างถูกต้องที่ตัวรับ ค่าสัญลักษณ์ดั้งเดิมก็จะสามารถกู้คืนได้อย่างสมบูรณ์

อย่างไรก็ตาม ในระบบสื่อสารเชิงปฏิบัติหลายระบบ จะใช้ ตัวกรองแบบจับคู่ (matched filter)ในตัวรับสัญญาณ เนื่องจากผลกระทบของสัญญาณรบกวนสีขาว (white noise ) สำหรับกรณีที่ไม่มีการรบกวนระหว่างสัญลักษณ์ (ISI) ค่า การตอบสนอง สุทธิของตัวกรองส่งและรับจะต้องเท่ากัน $H(f)$ :

H_{R}(f)\cdot H_{T}(f)=H(f)

ดังนั้น:

|H_{R}(f)|=|H_{T}(f)|={\sqrt {|H(f)|}}

ตัวกรองเหล่านี้เรียกว่า ตัวกรอง แบบรากยกโคไซน์ (root-raised-cosine filters)

ตัวกรอง แบบ Raised cosine เป็น ตัวกรอง แบบ apodization ที่ใช้กันทั่วไป สำหรับfiber Bragg grating

ลิงก์ภายนอก

บทความทางเทคนิคเรื่อง "การดูแลและบำรุงรักษาตัวกรองดิจิทัลแบบปรับรูปคลื่น"ซึ่งตีพิมพ์ครั้งแรกในวารสาร RF Designเขียนโดย Ken Gentile

[ 1 ]

2

ไม่มีชื่อบทความ