จำนวนของ Rayoเป็นจำนวนขนาดใหญ่ที่ตั้งชื่อตามศาสตราจารย์ด้านปรัชญาชาวเม็กซิกันAgustín Rayoซึ่งได้กำหนดนิยามของจำนวนนี้ในระหว่าง "การดวลจำนวนใหญ่" ที่สถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์ (MIT) เมื่อวันที่ 26 มกราคม พ.ศ. 2550 ^{[ 1 ] [ 2 ]}ในขณะนั้น มีการอ้างว่าจำนวนนี้เป็นจำนวนที่มีชื่อที่ใหญ่ที่สุด เนื่องจากขนาดของมันเกินกว่าจำนวนขนาดใหญ่ที่โดดเด่นอื่นๆ เช่นจำนวนของ GrahamและTREE(3)อย่าง มาก ^{[ 3 ] [ 4 ]}

นิยามของจำนวน Rayo เป็นรูปแบบหนึ่งของนิยาม: ^{[ 5 ]}

จำนวนที่เล็กที่สุดที่มากกว่าจำนวนจำกัดใดๆ ที่ระบุโดยนิพจน์ในภาษาใดๆ ของทฤษฎีเซตลำดับที่หนึ่งซึ่งภาษานั้นใช้ สัญลักษณ์ กูเกิลหรือน้อยกว่า เท่านั้น

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เวอร์ชันเริ่มต้นของคำจำกัดความ ซึ่งต่อมาได้รับการชี้แจงเพิ่มเติม อ่านว่า "จำนวนที่เล็กที่สุดที่ใหญ่กว่าจำนวนใดๆ ที่สามารถตั้งชื่อได้ด้วยนิพจน์ในภาษาของทฤษฎีเซตลำดับแรกที่มีค่าน้อยกว่ากูเกิล ( 10 )¹⁰⁰ ) สัญลักษณ์” ^{[ 2 ]}

นิยามอย่างเป็นทางการของตัวเลขนั้นกำหนดคุณลักษณะอย่างหนึ่ง${\displaystyle {\mbox{Sat}}}$ตามสูตรอันดับสอง ต่อไปนี้ โดยที่${\displaystyle [\phi ]}$เป็น สูตร ที่เข้ารหัสแบบเกอเดลและ${\displaystyle s}$เป็นการกำหนดค่าตัวแปร: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Sat}}([\phi ],s):=&{\mbox{For all }}R\ \{\\&\{{\mbox{for any (coded) formula }}[\psi ]{\mbox{ and any variable assignment }}t\\&(R([\psi ],t)\leftrightarrow \\&(([\psi ]={\mbox{''}}x_{i}\in x_{j}{\mbox{''}}\land t(x_{i})\in t(x_{j}))\ \lor \\&([\psi ]={\mbox{''}}x_{i}=x_{j}{\mbox{''}}\land t(x_{i})=t(x_{j}))\ \lor \\&([\psi ]={\mbox{''}}(\neg \theta ){\mbox{''}}\land \neg R([\theta ],t))\ \lor \\&([\psi ]={\mbox{''}}(\theta \land \xi ){\mbox{''}}\land R([\theta ],t)\land R([\xi ],t))\ \lor \\&([\psi ]={\mbox{''}}\exists x_{i}\ (\theta ){\mbox{'' and, for some an }}x_{i}{\mbox{-variant }}t'{\mbox{ of }}t,R([\theta ],t'))\\&)\}\rightarrow \\&R([\phi ],s)\}\end{aligned}}}$

จากสูตรนี้ จำนวนของ Rayo ถูกกำหนดดังนี้: ^{[ 5 ]}

จำนวนที่เล็กที่สุดที่มากกว่าจำนวนจำกัดทุกจำนวน${\displaystyle m}$โดยมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: มีสูตรอยู่${\displaystyle \phi (x_{1})}$ในภาษาของทฤษฎีเซตลำดับที่หนึ่ง (ตามที่นำเสนอในคำจำกัดความของ${\displaystyle {\mbox{Sat}}}$) โดยมีสัญลักษณ์น้อยกว่ากูเกิลและ${\displaystyle x_{1}}$เนื่องจากเป็นตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียวที่: (ก) มีการกำหนดค่าตัวแปร${\displaystyle s}$การมอบหมาย${\displaystyle m}$ถึง${\displaystyle x_{1}}$โดยที่${\displaystyle {\mbox{Sat}}([\phi (x_{1})],s)}$และ (b) สำหรับการกำหนดค่าตัวแปรใดๆ${\displaystyle t}$, ถ้า${\displaystyle {\mbox{Sat}}([\phi (x_{1})],t)}$, แล้ว${\displaystyle t}$มอบหมาย${\displaystyle m}$ถึง${\displaystyle x_{1}}$.

โดยสัญชาตญาณแล้ว จำนวนของ Rayo ถูกกำหนดในภาษาเชิงรูปธรรมดังนี้:

• ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$และ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$คือสูตรอะตอม
• ถ้า${\displaystyle \theta }$เป็นสูตรนั่นเอง${\displaystyle (\neg \theta )}$เป็นสูตร ( การปฏิเสธของ${\displaystyle \theta }$)
• ถ้า${\displaystyle \theta }$และ${\displaystyle \xi }$เป็นสูตร ดังนั้น${\displaystyle (\theta \land \xi )}$เป็นสูตร ( การเชื่อมโยงของ${\displaystyle \theta }$และ${\displaystyle \xi }$)
• ถ้า${\displaystyle \theta }$เป็นสูตรนั่นเอง${\displaystyle \exists x_{i}(\theta )}$เป็นสูตร ( การหาปริมาณเชิงการดำรงอยู่ )

ไม่อนุญาตให้ละวงเล็บ ตัวอย่างเช่น ต้องเขียนว่า${\displaystyle \exists x_{i}((\neg \theta ))}$แทนที่จะ${\displaystyle \exists x_{i}(\neg \theta )}$.

เป็นไปได้ที่จะแสดงตัวเชื่อมตรรกะ ที่ขาดหายไป ในภาษานี้ ตัวอย่างเช่น:

• การแยก :${\displaystyle (\theta \lor \xi )}$เช่น${\displaystyle (\neg ((\neg \theta )\land (\neg \xi )))}$.
• นัยยะแฝง :${\displaystyle (\theta \Rightarrow \xi )}$เช่น${\displaystyle (\neg (\theta \land (\neg \xi )))}$.
• เงื่อนไขสองทาง :${\displaystyle (\theta \Leftrightarrow \xi )}$เช่น${\displaystyle (\neg ((\neg (\theta \land \xi ))\land (\neg ((\neg \theta )\land (\neg \xi )))))}$.
• การวัดปริมาณแบบสากล :${\displaystyle \forall x_{i}(\theta )}$เช่น${\displaystyle (\neg \exists x_{i}((\neg \theta )))}$.

คำจำกัดความนี้เกี่ยวข้องกับสูตรในภาษานี้ที่มีตัวแปรอิสระ เพียงตัวเดียว โดยเฉพาะ${\displaystyle x_{1}}$ถ้าสูตรมีความยาว${\displaystyle n}$จะพอใจก็ต่อเมื่อ${\displaystyle x_{1}}$เท่ากับลำดับฟอนนอยมันน์ จำกัด${\displaystyle k}$เราเรียกสูตรดังกล่าวว่า "สตริงเรย์โอ" (Rayo string)${\displaystyle k}$และว่า${\displaystyle k}$สามารถตั้งชื่อแบบ "Rayo-nameable" ได้ใน${\displaystyle n}$สัญลักษณ์ จากนั้น${\displaystyle {\mbox{Rayo}}(10^{100})}$ถูกกำหนดให้เป็นสิ่งที่เล็กที่สุด${\displaystyle k}$มากกว่าจำนวนทั้งหมดที่สามารถตั้งชื่อได้ Rayo ในเวลามากที่สุด${\displaystyle (10^{100})}$สัญลักษณ์

Rayo ตั้งข้อสังเกตว่านักคณิตศาสตร์ที่ทำงานกับปรัชญาคณิตศาสตร์ที่ไม่สมจริงอาจปฏิเสธจำนวนของ Rayo ว่าเป็นสิ่งที่กำหนดไว้อย่างดี เพราะการกำหนดสัจพจน์ ใดๆ ของภาษาตรรกะลำดับที่สองจะมีแบบจำลอง ที่ไม่เหมือนกัน ซึ่งภายใต้แบบจำลองเหล่านั้นจำนวนของ Rayo อาจสอดคล้องกับค่าที่แตกต่างกัน^{[ 5 ]}