ในตรรกศาสตร์ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ (เรียกอีกอย่างว่า ตัวดำเนินการ ทางตรรกศาสตร์ตัวเชื่อมประโยคหรือตัวดำเนินการประโยค ) คือตัวดำเนินการที่รวมหรือแก้ไขตัวแปรหรือสูตรทางตรรกศาสตร์หนึ่งตัวหรือมากกว่านั้น คล้ายกับที่ตัวเชื่อมทางคณิตศาสตร์ เช่นและรวมหรือปฏิเสธนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น ในไวยากรณ์ของตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ตัวเชื่อมแบบไบนารี (หมายถึง "หรือ") สามารถใช้เชื่อมสูตรทางตรรกศาสตร์สองสูตรและ เข้าด้วย กัน ทำให้เกิดสูตรเชิงซ้อน ${\displaystyle +}$${\displaystyle -}$${\displaystyle \lor }$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P\lor Q}$

แตกต่างจากในพีชคณิต ตรงที่ตัวเชื่อมทางตรรกะแต่ละตัวมีสัญลักษณ์มากมาย ตาราง "ตัวเชื่อมทางตรรกะ" แสดงตัวอย่างไว้

ตัวเชื่อมทั่วไปได้แก่การปฏิเสธการแยก การเชื่อมการบ่งชี้และความเท่าเทียมกันในระบบตรรกศาสตร์คลาสสิก มาตรฐาน ตัวเชื่อมเหล่านี้ถูกตีความว่าเป็นฟังก์ชันความจริงแม้ว่าจะมีการตีความทางเลือกที่หลากหลายในตรรกศาสตร์ที่ไม่ใช่คลาสสิ กก็ตาม การตีความแบบคลาสสิกของตัวเชื่อมเหล่านี้คล้ายคลึงกับความหมายของสำนวนในภาษาธรรมชาติ เช่น "ไม่" "หรือ" "และ" และ "ถ้า" ในภาษาอังกฤษแต่ไม่เหมือนกันเสียทีเดียว ความแตกต่างระหว่างตัวเชื่อมในภาษาธรรมชาติและตัวเชื่อมในตรรกศาสตร์คลาสสิกได้กระตุ้นให้เกิดแนวทางที่ไม่ใช่คลาสสิกในการหาความหมายของภาษาธรรมชาติ

ในภาษาเชิงรูปธรรม ฟังก์ชันความจริงจะถูกแทนด้วยสัญลักษณ์คงที่ ซึ่งทำให้มั่นใจได้ว่าประโยคที่มีรูปแบบถูกต้องจะมีเพียงการตีความเดียว สัญลักษณ์เหล่านี้เรียกว่าตัวเชื่อมทางตรรกะตัวดำเนินการทางตรรกะ ตัวดำเนินการเชิงประพจน์หรือในตรรกศาสตร์คลาสสิก เรียกว่าตัวเชื่อมฟังก์ชันความจริงสำหรับกฎที่อนุญาตให้สร้างสูตรที่มีรูปแบบถูกต้องใหม่ได้โดยการรวมสูตรที่มีรูปแบบถูกต้องอื่นๆ โดยใช้ตัวเชื่อมฟังก์ชันความจริง โปรดดูที่สูตร ที่มีรูปแบบถูกต้อง

ตัวเชื่อมตรรกะสามารถใช้เชื่อมโยงข้อความตั้งแต่ศูนย์ข้อความขึ้นไป ดังนั้นจึงอาจกล่าวถึงตัวเชื่อมตรรกะแบบn- ary ได้ ค่าคงที่บูลีนTrueและFalseสามารถมองได้ว่าเป็นตัวดำเนินการแบบ nullary การปฏิเสธเป็นตัวเชื่อมแบบ unary และอื่นๆ

สัญลักษณ์, ชื่อ		ตาราง ความจริง				แผนภาพเวนน์
ตัวเชื่อมศูนย์ (ค่าคงที่)
${\displaystyle \top }$	ความจริง / สัจพจน์	1
${\displaystyle \bot }$	ความเท็จ / ความขัดแย้ง	0
ตัวเชื่อมเอกภาค
${\displaystyle p}$ =		0		1
	ข้อเสนอ${\displaystyle p}$	0		1
${\displaystyle \neg }$	การปฏิเสธ	1		0
ตัวเชื่อมไบนารี
${\displaystyle p}$ =		0	0	1	1
${\displaystyle q}$ =		0	1	0	1
${\displaystyle \land }$	การเชื่อมโยง	0	0	0	1
${\displaystyle \uparrow }$	การปฏิเสธทางเลือก	1	1	1	0
${\displaystyle \vee }$	การแยก	0	1	1	1
${\displaystyle \downarrow }$	การปฏิเสธร่วมกัน	1	0	0	0
${\displaystyle \nleftrightarrow }$	เอกสิทธิ์เฉพาะหรือ	0	1	1	0
${\displaystyle \leftrightarrow }$	เงื่อนไขสองทาง	1	0	0	1
${\displaystyle \rightarrow }$	เงื่อนไขของวัสดุ	1	1	0	1
${\displaystyle \nrightarrow }$	การไม่เกี่ยวข้องกับวัสดุ	0	0	1	0
${\displaystyle \leftarrow }$	นัยยะตรงกันข้าม	1	0	1	1
${\displaystyle \nleftarrow }$	การไม่บ่งชี้ในทางกลับกัน	0	1	0	0
ข้อมูลเพิ่มเติม

ตัวเชื่อมตรรกะที่ใช้กันทั่วไปมีดังต่อไปนี้^{[ 1 ]}

• การปฏิเสธ (ไม่ใช่) : , , (คำนำหน้า) ซึ่งเป็นรูปแบบที่ทันสมัยและใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุด และพบได้ทั่วไปเช่นกัน${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \sim }$
• คำสันธาน (และ) : , , (คำนำหน้า) ซึ่งเป็นคำที่ทันสมัยและใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุด${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \&}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \wedge }$
• การแยก (หรือ) : , (คำนำหน้า) ซึ่งเป็นรูปแบบที่ทันสมัยและใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุด${\displaystyle \vee }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \vee }$
• ความหมายโดยนัย (ถ้า...แล้ว) : , , , (คำนำหน้า) ซึ่งเป็นรูปแบบที่ทันสมัยและใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุด และเป็นที่นิยมเช่นกัน${\displaystyle \to }$${\displaystyle \supset }$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle C}$${\displaystyle \to }$${\displaystyle \supset }$
• ความเท่าเทียมกัน (ก็ต่อเมื่อ) : , , , , (คำนำหน้า) ซึ่งเป็นรูปแบบที่ทันสมัยและใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุด และมักใช้ในกรณีที่ก็ใช้เช่นกัน${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle \subset \!\!\!\supset }$${\displaystyle \Leftrightarrow }$${\displaystyle \equiv }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle \subset \!\!\!\supset }$${\displaystyle \supset }$

ตัวอย่างเช่น ความหมายของประโยค " ฝนกำลังตก" (แทนด้วย) และ " ฉันอยู่ในบ้าน " (แทนด้วย) จะเปลี่ยนไป เมื่อนำทั้งสองประโยคมารวมกันด้วยตัวเชื่อมทางตรรกะ: ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

• ฝน ไม่ตก ( );${\displaystyle \neg p}$
• ฝนกำลังตกและฉันอยู่ข้างในบ้าน ( );${\displaystyle p\wedge q}$
• ฝนตกหรือฉันอยู่ข้างในบ้าน ( );${\displaystyle p\lor q}$
• ถ้าฝนตกฉันก็ อยู่ข้างในบ้าน ( );${\displaystyle p\rightarrow q}$
• ถ้าฉันอยู่ข้างในบ้านแสดงว่าฝนกำลังตก ();${\displaystyle q\rightarrow p}$
• ฉันจะอยู่แต่ในบ้านก็ต่อเมื่อฝนตกเท่านั้น ( )${\displaystyle p\leftrightarrow q}$

นอกจากนี้ ยังเป็นเรื่องปกติที่จะพิจารณาว่า สูตร ที่เป็นจริงเสมอและ สูตร ที่เป็นเท็จเสมอเป็นคุณสมบัติเชื่อมโยง (ซึ่งในกรณีนี้จะเป็นคุณสมบัติศูนย์ )

• สูตร ที่ถูกต้อง : , , (คำนำหน้า) หรือ;${\displaystyle \top }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathrm {T} }$
• สูตรที่ไม่ถูกต้อง : , , (คำนำหน้า) หรือ.${\displaystyle \bot }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle O}$${\displaystyle \mathrm {F} }$

ตารางนี้สรุปคำศัพท์ต่างๆ:

• การปฏิเสธ: สัญลักษณ์ปรากฏในHeytingในปี 1930 ^{[ 2 ] [ 3 ]} (เปรียบเทียบกับสัญลักษณ์ ⫟ ของFrege ใน Begriffsschrift ของเขา ^{[ 4 ]} ); สัญลักษณ์ปรากฏในRussellในปี 1908; ^{[ 5 ]}สัญกรณ์ทางเลือกคือการเพิ่มเส้นแนวนอนไว้ด้านบนของสูตร ดังเช่นใน; สัญกรณ์ทางเลือกอีกแบบคือการใช้สัญลักษณ์ไพรม์ดังเช่นใน${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle {\overline {p}}}$${\displaystyle p'}$
• การเชื่อมโยง: สัญลักษณ์ปรากฏใน Heyting ในปี พ.ศ. 2473 ^{[ 2 ]} (เปรียบเทียบกับการใช้สัญกรณ์เชิงเซตของการตัดกัน ของ Peano ^{[ 6 ]} ); สัญลักษณ์ปรากฏอย่างน้อยในSchönfinkelในปี พ.ศ. 2467; ^{[ 7 ]}สัญลักษณ์นี้มาจากการตีความตรรกะของBoole ว่าเป็น พีชคณิตพื้นฐาน${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \cap }$${\displaystyle \&}$${\displaystyle \cdot }$
• การแยก: สัญลักษณ์ปรากฏในRussellในปี พ.ศ. 2451 ^{[ 5 ]} (เปรียบเทียบกับการใช้สัญกรณ์ทางทฤษฎีเซตของการรวม ของ Peano ); สัญลักษณ์นี้ยังถูกใช้ แม้จะมีความกำกวมที่เกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าพีชคณิตพื้นฐานทั่วไปเป็นการแยกหรือ^แบบ พิเศษเมื่อตีความเชิงตรรกะใน วงแหวนสององค์ประกอบ; ในประวัติศาสตร์Peirceเคยใช้สัญลักษณ์นี้ร่วมกับจุดในมุมล่างขวา[ ^{8 ]}${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \cup }$${\displaystyle +}$${\displaystyle +}$${\displaystyle +}$
• นัยยะ: สัญลักษณ์ปรากฏในHilbertในปี พ.ศ. 2461; ^{[ 9 ] : 76} ถูกใช้โดย Russell ในปี พ.ศ. 2451 ^{[ 5 ]} (เปรียบเทียบกับ Ɔ ของ Peano ซึ่งเป็น C กลับหัว); ปรากฏในBourbakiในปี พ.ศ. 2497 ^{[ 10 ]}${\displaystyle \to }$${\displaystyle \supset }$${\displaystyle \Rightarrow }$
• ความเท่าเทียมกัน: สัญลักษณ์ในFregeในปี พ.ศ. 2322; ^{[ 11 ]}ใน Becker ในปี พ.ศ. 2476 (ไม่ใช่ครั้งแรกและสำหรับเรื่องนี้ดูต่อไปนี้); ^{[ 12 ]}ปรากฏในBourbakiในปี พ.ศ. 2497; ^{[ 13 ] สัญลักษณ์}อื่นๆ ปรากฏขึ้นเป็นระยะๆ ในประวัติศาสตร์ เช่นในGentzen [ ^{14 ]}ใน Schönfinkel ^{[ 7 ]}หรือใน Chazal ^{[ 15 ]}${\displaystyle \equiv }$${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle \Leftrightarrow }$${\displaystyle \supset \subset }$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle \subset \supset }$
• ถูกต้อง: สัญลักษณ์นี้มาจากการตีความตรรกะของบูล ว่าเป็น พีชคณิตพื้นฐานบนพีชคณิตบูลีนสององค์ประกอบสัญลักษณ์อื่นๆ ได้แก่(ตัวย่อของคำภาษาละติน "verum") ซึ่งพบได้ในงานของเปอาโนในปี 1889${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathrm {V} }$
• ไม่ถูกต้อง: สัญลักษณ์นี้มาจากตีความตรรกะของบูลว่าเป็นวงแหวนเช่นกัน สัญลักษณ์อื่นๆ ได้แก่(หมุนแล้ว) ซึ่งพบได้ในงานของพีอาโนในปี 1889${\displaystyle 0}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \mathrm {V} }$

ผู้เขียนบางคนใช้ตัวอักษรแทนคำเชื่อม: สำหรับการเชื่อม (ภาษาเยอรมัน "und" สำหรับ "และ") และสำหรับการแยก (ภาษาเยอรมัน "oder" สำหรับ "หรือ") ในงานเขียนยุคแรกๆ ของ Hilbert (1904); ^{[ 16 ]}สำหรับการปฏิเสธสำหรับการเชื่อมสำหรับการปฏิเสธทางเลือกสำหรับการแยกสำหรับการบ่งชี้สำหรับเงื่อนไขสองทางในŁukasiewiczในปี 1929 ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {u.} }$${\displaystyle \operatorname {o.} }$${\displaystyle Np}$${\displaystyle Kpq}$${\displaystyle Dpq}$${\displaystyle Apq}$${\displaystyle Cpq}$${\displaystyle Epq}$

ตัวเชื่อมทางตรรกะเช่น" " เป็นการบ่งชี้ แบบผกผันที่เหมือนกันกับเงื่อนไข เชิงวัตถุที่มีการสลับอาร์กิวเมนต์ ดังนั้น สัญลักษณ์สำหรับการบ่งชี้แบบผกผันจึงซ้ำซ้อน ในระบบคำนวณทางตรรกะบางระบบ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งในตรรกะแบบคลาสสิก ) ประโยคประกอบที่แตกต่างกันโดย พื้นฐานบางประโยคมีความสมมูลกันทางตรรกะ ตัวอย่าง ที่เห็นได้ชัดเจนกว่าของความซ้ำซ้อนคือความสมมูลแบบคลาสสิกระหว่างและดังนั้น ระบบตรรกะแบบคลาสสิกจึงไม่จำเป็นต้องใช้ตัวดำเนินการเงื่อนไข " " หาก " " (ไม่ใช่) และ " " (หรือ) ถูกใช้อยู่แล้ว หรืออาจใช้ " " เป็นเพียงรูปแบบการเขียนสำหรับประโยคประกอบที่มีการปฏิเสธหนึ่งรายการและการแยกหนึ่งรายการ ${\displaystyle \leftarrow }$${\displaystyle \neg p\vee q}$${\displaystyle p\to q}$${\displaystyle \to }$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \to }$

มีฟังก์ชันบูลีนสิบหกฟังก์ชัน ที่เชื่อมโยง ค่าความจริง ของอินพุตกับเอาต์พุตไบนารีสี่หลัก^{[ 17 ]} ฟังก์ชัน เหล่านี้สอดคล้องกับตัวเลือกที่เป็นไปได้ของตัวเชื่อมตรรกะไบนารีสำหรับตรรกะแบบคลาสสิกการใช้งานตรรกะแบบคลาสสิกที่แตกต่างกันสามารถเลือกชุดย่อยของตัวเชื่อม ที่สมบูรณ์ในเชิงฟังก์ชัน ที่แตกต่างกันได้${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

แนวทางหนึ่งคือการเลือก เซต ที่เล็กที่สุดและกำหนดตัวเชื่อมอื่นๆ ด้วยรูปแบบตรรกะบางอย่าง ดังเช่นในตัวอย่างเงื่อนไขเชิงวัตถุข้างต้นเซตตัวดำเนินการที่สมบูรณ์ในเชิงฟังก์ชันที่เล็กที่สุดในตรรกะคลาสสิกซึ่งมีจำนวนอาร์กิวเมนต์ไม่เกิน 2 มีดังต่อไปนี้:

องค์ประกอบหนึ่ง

${\displaystyle \{\uparrow \}}$, .${\displaystyle \{\downarrow \}}$

สององค์ประกอบ

${\displaystyle \{\vee ,\neg \}}$, , , , , , , , , , , , , , , , .​${\displaystyle \{\wedge ,\neg \}}$${\displaystyle \{\to ,\neg \}}$${\displaystyle \{\gets ,\neg \}}$${\displaystyle \{\to ,\bot \}}$${\displaystyle \{\gets ,\bot \}}$${\displaystyle \{\to ,\nleftrightarrow \}}$${\displaystyle \{\gets ,\nleftrightarrow \}}$${\displaystyle \{\to ,\nrightarrow \}}$${\displaystyle \{\to ,\nleftarrow \}}$${\displaystyle \{\gets ,\nrightarrow \}}$${\displaystyle \{\gets ,\nleftarrow \}}$${\displaystyle \{\nrightarrow ,\neg \}}$${\displaystyle \{\nleftarrow ,\neg \}}$${\displaystyle \{\nrightarrow ,\top \}}$${\displaystyle \{\nleftarrow ,\top \}}$${\displaystyle \{\nrightarrow ,\leftrightarrow \}}$${\displaystyle \{\nleftarrow ,\leftrightarrow \}}$

สามองค์ประกอบ

${\displaystyle \{\lor ,\leftrightarrow ,\bot \}}$, , , , , .${\displaystyle \{\lor ,\leftrightarrow ,\nleftrightarrow \}}$${\displaystyle \{\lor ,\nleftrightarrow ,\top \}}$${\displaystyle \{\land ,\leftrightarrow ,\bot \}}$${\displaystyle \{\land ,\leftrightarrow ,\nleftrightarrow \}}$${\displaystyle \{\land ,\nleftrightarrow ,\top \}}$

อีกแนวทางหนึ่งคือการใช้ตัวเชื่อมที่มีสิทธิเท่าเทียมกัน ซึ่งเป็นชุดที่สะดวกและสมบูรณ์ในเชิงฟังก์ชัน แต่ไม่ใช่ชุดขั้นต่ำแนวทางนี้ต้องการสัจพจน์ เชิงประพจน์มากขึ้น และความเท่าเทียมกันระหว่างรูปแบบตรรกะแต่ละอย่างจะต้องเป็นสัจพจน์หรือสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นทฤษฎีบท

อย่างไรก็ตาม สถานการณ์มีความซับซ้อนมากขึ้นในตรรกศาสตร์เชิงสัญชาตญาณในบรรดาตัวเชื่อมทั้งห้าตัว ได้แก่ {∧, ∨, →, ¬, ⊥} มีเพียงการปฏิเสธ "¬" เท่านั้นที่สามารถลดรูปเป็นตัวเชื่อมอื่นได้ (ดูเท็จ (ตรรกศาสตร์) § เท็จ การปฏิเสธ และความขัดแย้งสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม) ทั้งการเชื่อมแบบกริยาเชื่อม การแยกแบบกริยาเชื่อม และเงื่อนไขเชิงวัตถุ ไม่มีรูปแบบที่เทียบเท่ากันซึ่งสร้างขึ้นจากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์อีกสี่ตัว

ตัวเชื่อมทางตรรกะมาตรฐานของตรรกศาสตร์คลาสสิกมีสิ่งที่เทียบเคียงได้คร่าวๆ ในไวยากรณ์ของภาษาธรรมชาติ ในภาษาอังกฤษเช่นเดียวกับในหลายภาษา สำนวนดังกล่าวโดยทั่วไปคือคำสันธานอย่างไรก็ตาม พวกมันอาจอยู่ในรูปของคำเติมเต็ม คำต่อท้ายกริยา และคำอนุภาคได้เช่นกัน ความหมายของตัวเชื่อมในภาษาธรรมชาติเป็นหัวข้อวิจัยที่สำคัญในอรรถศาสตร์เชิงรูปธรรมซึ่งเป็นสาขาที่ศึกษาโครงสร้างทางตรรกะของภาษาธรรมชาติ

ความหมายของคำเชื่อมในภาษาธรรมชาติไม่ได้เหมือนกับคำที่ใกล้เคียงที่สุดในตรรกศาสตร์คลาสสิกอย่างแม่นยำ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การเชื่อมแบบ "หรือ" สามารถตีความได้ว่าเป็นการผูกขาดในหลายภาษา นักวิจัยบางคนใช้ข้อเท็จจริงนี้เป็นหลักฐานว่าความหมาย ในภาษาธรรมชาติ ไม่ใช่แบบคลาสสิกอย่างไรก็ตาม นักวิจัยคนอื่นๆ ยังคงรักษาความหมายแบบคลาสสิกไว้โดยการตั้ง สมมติฐาน เชิงปฏิบัติเกี่ยวกับความผูกขาด ซึ่งสร้างภาพลวงตาของความเป็นไม่ใช่แบบคลาสสิก ในสมมติฐานดังกล่าว ความผูกขาดมักถูกมองว่าเป็นนัยยะเชิงปริมาณปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการเชื่อมแบบ "หรือ" ได้แก่การอนุมานทางเลือกอิสระ ข้อจำกัดของฮูร์ฟอร์ดและการมีส่วนร่วมของการเชื่อมแบบ "หรือ" ในคำถาม ทางเลือก

ความไม่สอดคล้องกันที่เห็นได้ชัดอื่นๆ ระหว่างภาษาธรรมชาติและตรรกศาสตร์คลาสสิก ได้แก่ปรากฏการณ์ขัดแย้งของการบ่งชี้เชิงวัตถุ การอ้างอิงแบบลาและปัญหาของเงื่อนไขเชิงสมมติปรากฏการณ์เหล่านี้ถูกนำมาใช้เป็นแรงจูงใจในการระบุความหมายของเงื่อนไขในภาษาธรรมชาติด้วยตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์ ซึ่งรวมถึงเงื่อนไขที่เข้มงวด เงื่อนไข ที่เข้มงวดแบบแปรผันได้ตลอดจนตัวดำเนินการ แบบไดนามิก ต่างๆ

ตารางต่อไปนี้แสดงค่าประมาณมาตรฐานที่สามารถกำหนดได้ตามแบบคลาสสิกสำหรับคำเชื่อมในภาษาอังกฤษ

คำภาษาอังกฤษ	การเชื่อมต่อ	เครื่องหมาย	ประตูตรรกะ
ไม่	การปฏิเสธ	${\displaystyle \neg }$	ไม่
และ	การเชื่อมโยง	${\displaystyle \land }$	และ
หรือ	การแยก	${\displaystyle \vee }$	หรือ
ถ้า...แล้ว	นัยสำคัญทางวัตถุ	${\displaystyle \rightarrow }$	โดยนัย
...ถ้า	นัยยะตรงกันข้าม	${\displaystyle \leftarrow }$
ไม่...หรือ	การแยกส่วนเฉพาะ	${\displaystyle \nleftrightarrow }$	เอ็กซ์ออร์
ก็ต่อเมื่อ	เงื่อนไขสองทาง	${\displaystyle \leftrightarrow }$	เอ็กซ์เอ็นอาร์
ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง	การปฏิเสธทางเลือก	${\displaystyle \uparrow }$	เอ็นแอนด์
ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง...หรือ	การปฏิเสธร่วมกัน	${\displaystyle \downarrow }$	ก็ไม่เช่นกัน
แต่ไม่ใช่	การไม่เกี่ยวข้องทางวัตถุ	${\displaystyle \nrightarrow }$	นิมพลี
ไม่...แต่	การไม่บ่งชี้แบบผกผัน	${\displaystyle \nleftarrow }$

ตัวเชื่อมตรรกะบางตัวมีคุณสมบัติที่สามารถแสดงออกมาได้ในทฤษฎีบทที่ประกอบด้วยตัวเชื่อมนั้น คุณสมบัติบางประการที่ตัวเชื่อมตรรกะอาจมี ได้แก่:

ความสัมพันธ์

ในนิพจน์ที่มีตัวเชื่อมความสัมพันธ์แบบเดียวกันสองตัวขึ้นไปเรียงติดกัน ลำดับของการดำเนินการไม่สำคัญ ตราบใดที่ลำดับของตัวถูกดำเนินการไม่เปลี่ยนแปลง

ความสามารถในการสลับที่

ตัวถูกดำเนินการของตัวเชื่อมสามารถสลับกันได้ โดยยังคงรักษาความเท่าเทียมทางตรรกะกับนิพจน์เดิมไว้

การกระจายตัว

ตัวเชื่อมที่แสดงด้วย · จะกระจายไปยังตัวเชื่อมอีกตัวที่แสดงด้วย + ถ้าa · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c )สำหรับตัวถูกดำเนินการa , b , c ทั้งหมด

ภาวะเสื่อมสมรรถภาพทางเพศ

เมื่อใดก็ตามที่ตัวถูกดำเนินการของการดำเนินการเหมือนกัน ผลลัพธ์เชิงประกอบจะเทียบเท่ากับตัวถูกดำเนินการนั้นในเชิงตรรกะ

การดูดซึม

คู่ตัวเชื่อม ∧, ∨ จะสอดคล้องกับกฎการดูดซับก็ต่อเมื่อสำหรับ ตัวดำเนินการ aและbทั้งหมด${\displaystyle a\land (a\lor b)=a}$

ความสม่ำเสมอ

ถ้าf ( a ₁ , ..., a _n ) ≤ f ( b ₁ , ..., b _n ) สำหรับทุกa ₁ , ..., a _n , b ₁ , ..., b _n ∈ {0,1} โดยที่a ₁ ≤ b ₁ , a ₂ ≤ b ₂ , ..., a _n ≤ b _nเช่น ∨, ∧, ⊤, ⊥

ความสัมพันธ์

ตัวแปรแต่ละตัวจะส่งผลต่อค่าความจริงของการดำเนินการเสมอ หรือไม่ส่งผลต่อค่าความจริงเลยก็ได้ เช่น ¬, ↔, ⊤, ⊥${\displaystyle \nleftrightarrow }$

ความเป็นสองด้าน

การอ่านค่าความจริงของการดำเนินการจากบนลงล่างในตารางความจริงนั้นเหมือนกับการหาค่าผกผันของการอ่านตารางของตัวเชื่อมเดียวกันหรือตัวเชื่อมอื่นจากล่างขึ้นบน โดยไม่ต้องใช้ตารางความจริง ก็สามารถกำหนดได้เป็นg̃ (¬ a ₁ , ..., ¬ a _n ) = ¬ g ( a ₁ , ..., a _n )เช่น ¬.

การรักษาความจริง

ประโยคประกอบที่ว่า "ข้อโต้แย้งทั้งหมดเหล่านั้นเป็นสัจนิรันดร์" นั้นเองก็เป็นสัจนิรันดร์เช่นกัน ตัวอย่างเช่น ∨, ∧, ⊤, →, ↔, ⊂ (ดูความถูกต้อง )

การรักษาความเท็จ

ประโยคที่ประกอบด้วยข้อโต้แย้งที่ขัดแย้งกัน ทั้งหมดนั้น เองก็เป็นข้อขัดแย้งเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ∨, ∧, ⊥, ⊄, ⊅ (ดูความถูกต้อง )${\displaystyle \nleftrightarrow }$

คุณสมบัติการกลับด้าน (สำหรับตัวเชื่อมเอกภาค)

f ( f ( a )) = aเช่น การปฏิเสธในตรรกศาสตร์คลาสสิก

สำหรับตรรกศาสตร์แบบคลาสสิกและแบบสัญชาตญาณนิยม สัญลักษณ์ "=" หมายความว่า การบ่งชี้ที่สอดคล้องกัน "...→..." และ "...←..." สำหรับโครงสร้างเชิงตรรกะสามารถพิสูจน์ได้เป็นทฤษฎีบททั้งคู่ และสัญลักษณ์ "≤" หมายความว่า "...→..." สำหรับโครงสร้างเชิงตรรกะเป็นผลสืบเนื่องมาจากตัวเชื่อม "...→..." ที่สอดคล้องกันสำหรับตัวแปรเชิงประพจน์ ตรรกศาสตร์หลายค่าบางประเภทอาจมีนิยามของความเท่าเทียมกันและลำดับ (การบ่งชี้) ที่ไม่สอดคล้องกัน

ทั้งการเชื่อมประสาน (conjunction) และการแยก (disjunction) มีคุณสมบัติการสลับที่ (associative) การสลับตำแหน่ง (commutative) และเอกลักษณ์ (idempotent) ในตรรกศาสตร์คลาสสิก ตรรกศาสตร์หลายค่าส่วนใหญ่ และตรรกศาสตร์เชิงสัญชาตญาณ เช่นเดียวกับคุณสมบัติการกระจายตัวของการเชื่อมประสานเหนือการแยก และการแยกเหนือการเชื่อมประสาน รวมถึงกฎการดูดซับด้วย

ในตรรกศาสตร์คลาสสิกและตรรกศาสตร์หลายค่าบางประเภท การเชื่อมและการแยกเป็นสิ่งที่คู่กัน และการปฏิเสธเป็นสิ่งที่คู่กันในตัวเอง ซึ่งในตรรกศาสตร์แบบสัญชาตญาณนิยม การปฏิเสธก็เป็นสิ่งที่คู่กันในตัวเองเช่นกัน

เพื่อลดจำนวนวงเล็บที่จำเป็น เราอาจกำหนดกฎลำดับความสำคัญ ได้ เช่น ¬ มีลำดับความสำคัญสูงกว่า ∧, ∧ มีลำดับความสำคัญสูงกว่า ∨ และ ∨ มีลำดับความสำคัญสูงกว่า → ดังนั้น ตัวอย่างเช่น จึงย่อมาจาก ${\displaystyle P\vee Q\land {\neg R}\rightarrow S}$${\displaystyle (P\vee (Q\land (\neg R)))\rightarrow S}$

นี่คือตารางที่แสดงลำดับความสำคัญของตัวดำเนินการตรรกะที่ใช้กันทั่วไป^{[ 18 ] [ 19 ]}

ผู้ปฏิบัติงาน	ลำดับความสำคัญ
${\displaystyle \neg }$	1
${\displaystyle \land }$	2
${\displaystyle \vee }$	3
${\displaystyle \rightarrow }$	4
${\displaystyle \leftrightarrow }$	5

อย่างไรก็ตาม คอมไพเลอร์บางตัวไม่ได้ใช้ลำดับเดียวกัน ตัวอย่างเช่น มีการใช้ลำดับที่การเชื่อมแบบ "หรือ" มีลำดับความสำคัญต่ำกว่าการเชื่อมแบบ "หรือ" หรือการเชื่อมแบบ "หรือ" ^{[ 20 ]}บางครั้งลำดับความสำคัญระหว่างการเชื่อมแบบ "หรือ" ไม่ได้ระบุไว้ ทำให้ต้องระบุอย่างชัดเจนในสูตรที่กำหนดด้วยวงเล็บ ลำดับความสำคัญจะเป็นตัวกำหนดว่าตัวเชื่อมใดเป็น "ตัวเชื่อมหลัก" เมื่อตีความสูตรที่ไม่ใช่อะตอม

ตัวเชื่อมตรรกะทั้ง 16 ตัวสามารถเรียงลำดับบางส่วนได้เพื่อสร้างแผนภาพ Hasse ดังต่อไปนี้ ลำดับบางส่วนถูกกำหนดโดยการประกาศว่าถ้าและเฉพาะเมื่อเมื่อใดก็ตามที่เงื่อนไข เป็นจริงแล้ว ก็จะเป็นจริงเช่นกัน${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$

ตัวเชื่อมตรรกะใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์และทฤษฎีเซต

แนวทางฟังก์ชันความจริงสำหรับตัวดำเนินการทางตรรกะถูกนำไปใช้ในรูปของเกตตรรกะในวงจรดิจิทัล ใน ทางปฏิบัติ วงจรดิจิทัลเกือบทั้งหมด (ข้อยกเว้นที่สำคัญคือDRAM ) สร้างขึ้นจาก เกต NAND , NOR , NOTและเกตส่งผ่านดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ในฟังก์ชันความจริงในวิทยาการคอมพิวเตอร์ตัวดำเนินการทางตรรกะบนเวกเตอร์บิต (ซึ่งสอดคล้องกับพีชคณิตบูลีน จำกัด ) คือการดำเนินการแบบบิตต่อบิต

แต่ไม่ใช่ว่าการใช้ตัวเชื่อมตรรกะทุกรูปแบบในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์จะมีนัยยะแบบบูลีนเสมอไป ตัวอย่างเช่นบางครั้งมีการนำการประเมินแบบเลซี่ มาใช้กับ P ∧ QและP ∨ Qดังนั้นตัวเชื่อมเหล่านี้จึงไม่เป็นไปตามคุณสมบัติการสลับที่ได้ หากนิพจน์PหรือQ อย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่าง มีผลข้างเคียงนอกจากนี้เงื่อนไขซึ่งในบางแง่สอดคล้องกับ ตัวเชื่อม เงื่อนไขเชิงวัตถุนั้นโดยพื้นฐานแล้วไม่ใช่บูลีน เพราะสำหรับif (P) then Q;เงื่อนไข เงื่อนไข Q จะไม่ถูกดำเนินการหากเงื่อนไข  P เป็นเท็จ (ถึงแม้ว่าเงื่อนไขประกอบโดยรวมจะสำเร็จ ≈ "จริง" ในกรณีดังกล่าว) แนวคิดนี้ใกล้เคียงกับ มุมมองของลัทธิ สัญชาตญาณนิยมและ ลัทธิ สร้างสรรค์นิยมเกี่ยวกับเงื่อนไขเชิงวัตถุมากกว่ามุมมองของตรรกศาสตร์คลาสสิก

ตัวเชื่อมตรรกะใช้เพื่อกำหนดการดำเนินการพื้นฐานของ^{ทฤษฎี}เซต [ ^{21 ]}ดังต่อไปนี้:

การดำเนินการและตัวเชื่อมในทฤษฎีเซต

ตั้งค่าการทำงาน	การเชื่อมต่อ	คำนิยาม
จุดตัด	การเชื่อมโยง	${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A\land x\in B\}}$[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]
สหภาพ	การแยก	${\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A\lor x\in B\}}$[ 25 ] [ 22 ] [ 23 ]
คอมพลีเมนต์	การปฏิเสธ	${\displaystyle {\overline {A}}=\{x:x\notin A\}}$[ 26 ] [ 23 ] [ 27 ]
ชุดย่อย	นัยยะ	${\displaystyle A\subseteq B\leftrightarrow (x\in A\rightarrow x\in B)}$[ 28 ] [ 23 ] [ 29 ]
ความเท่าเทียมกัน	เงื่อนไขสองทาง	${\displaystyle A=B\leftrightarrow (\forall X)[A\in X\leftrightarrow B\in X]}$[ 28 ] [ 23 ] [ 30 ]

นิยามของความเท่าเทียมกันของเซตนี้เทียบเท่ากับสัจพจน์ของความขยาย

• Bocheński, Józef Maria (1959),บทสรุปตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์แปลจากฉบับภาษาฝรั่งเศสและเยอรมันโดย Otto Bird, D. Reidel, Dordrecht, South Holland
• Chao, C. (2023).数理逻辑：形式化方法的应用[ Mathematical Logic: Applications of theformalization Method ] (in Chinese). ปักกิ่ง: พิมพ์ล่วงหน้า หน้า  15–28 .
• เอ็นเดอร์ตัน, เฮอร์เบิร์ต (2001). บทนำทางคณิตศาสตร์สู่ตรรกศาสตร์ (ฉบับที่ 2). บอสตัน, แมสซาชูเซตส์: สำนักพิมพ์ Academic Press. ISBN 978-0-12-238452-3.
• Gamut, LTF (1991). "บทที่ 2". ตรรกศาสตร์ ภาษา และความหมาย . เล่ม 1. สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโก. หน้า  54–64 . OCLC  21372380 .
• Rautenberg, W. (2010). บทนำโดยย่อเกี่ยวกับตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ (ฉบับที่ 3). นิวยอร์ก : Springer Science+Business Media . doi : 10.1007/978-1-4419-1221-3 . ISBN 978-1-4419-1220-6..
• ฮัมเบอร์สโตน, ลอยด์ (2011). การเชื่อมต่อ . สำนักพิมพ์ MIT. ISBN 978-0-262-01654-4.

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับคำเชื่อมเชิงตรรกะ

• "ตัวเชื่อมเชิงประพจน์"สารานุกรมคณิตศาสตร์สำนักพิมพ์ EMS 2001 [1994]
• ลอยด์ ฮัมเบอร์สโตน (2010), " ตัวเชื่อมประโยคในตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรม ", สารานุกรมปรัชญาแห่งสแตนฟอร์ด ( แนวทาง ตรรกศาสตร์เชิงพีชคณิตนามธรรมสำหรับตัวเชื่อมประโยค)
• จอห์น แมคฟาร์เลน (2005), " ค่าคงที่เชิงตรรกะ ", สารานุกรมปรัชญาแห่งสแตนฟอร์ด