ให้ B(Σ) เป็นปริภูมิของฟังก์ชันที่วัดได้ Σ ที่มีขอบเขต พร้อมด้วยบรรทัดฐานสม่ำเสมอแล้วba (Σ) = B(Σ)* คือปริภูมิคู่ต่อเนื่องของ B(Σ) สิ่งนี้เป็นผลมาจาก Hildebrandt ^{[ 4 ]}และ Fichtenholtz & Kantorovich ^{[ 5 ]} นี่ เป็นทฤษฎีบทการแสดงแทนแบบ Riesz ชนิดหนึ่งที่อนุญาตให้แสดงการวัดเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นบนฟังก์ชันที่วัดได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ไอโซมอร์ฟิซึมนี้อนุญาตให้กำหนดปริพันธ์โดยสัมพันธ์กับการวัดแบบบวกจำกัด (โปรดทราบว่าปริพันธ์ Lebesgue ปกติต้องการ การบวก แบบนับได้ ) สิ่งนี้เป็นผลมาจาก Dunford & Schwartz ^{[ 6 ]}และมักใช้เพื่อกำหนดปริพันธ์โดยสัมพันธ์กับการวัดเวกเตอร์^{[ 7 ]}และ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การวัด Radonที่มีค่าเป็นเวกเตอร์

ความเป็นคู่เชิงโทโพโลยีba (Σ) = B(Σ)* นั้นเห็นได้ง่าย มี ความเป็นคู่ เชิงพีชคณิต ที่ชัดเจน ระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ของ การวัดแบบบวกจำกัด ทั้งหมด σ บน Σ และปริภูมิเวกเตอร์ของฟังก์ชันแบบง่าย (${\displaystyle \mu (A)=\zeta \left(1_{A}\right)}$สามารถตรวจสอบได้ง่ายว่ารูปแบบเชิงเส้นที่เกิดจาก σ นั้นต่อเนื่องในนอร์มสูงสุดหาก σ มีขอบเขต และผลลัพธ์นี้เป็นผลมาจากรูปแบบเชิงเส้นบนปริภูมิย่อยหนาแน่นของฟังก์ชันเชิงเดี่ยวที่ขยายไปยังองค์ประกอบของ B(Σ)* หากมันต่อเนื่องในนอร์มสูงสุด

ถ้า Σ เป็นซิกมาแอลเจบราและμเป็น มาตรวัดบวก แบบซิกมาแอดดิทีฟบน Σ แล้ว ปริภูมิ Lp L ^∞ ( μ ) ที่มี นอร์ม สูงสุดที่จำเป็น จะเป็น ปริภูมิผลหารของ B(Σ) โดยปริภูมิย่อยปิดของฟังก์ชันμ -null ที่มีขอบเขต ตามคำนิยาม :

${\displaystyle N_{\mu }:=\{f\in B(\Sigma ):f=0\ \mu {\text{-เกือบทุกที่}}\}.}$

ดังนั้น ปริภูมิบานาคคู่L ^∞ ( μ )* จึงสมสัณฐานกับ

${\displaystyle N_{\mu }^{\perp }=\{\sigma \in ba(\Sigma ):\mu (A)=0\Rightarrow \sigma (A)=0{\text{ สำหรับ }}A\in \Sigma \},}$

กล่าวคือ ปริภูมิของ มาตรวัด แบบมีเครื่องหมายที่เพิ่มได้แบบจำกัดบนΣซึ่งมีความต่อเนื่องสัมบูรณ์เทียบกับμ ( เรียกสั้น ๆ ว่า μ -ac)

เมื่อปริภูมิการวัดเป็นซิกมาไฟไนต์แล้วL ^∞ ( μ ) จะเป็นคู่ตรงข้ามกับL ¹ ( μ ) ซึ่งตามทฤษฎีบทของ Radon–Nikodymจะถูกระบุว่าเป็นเซตของ การวัด μ -ac ที่นับได้ ทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ การรวมอยู่ในคู่ตรงข้าม

${\displaystyle L^{1}(\mu )\subset L^{1}(\mu )^{**}=L^{\infty }(\mu )^{*}}$

มีโครงสร้างสมมาตรกับการรวมพื้นที่ของการวัดแบบμ -ac ที่มีขอบเขตแบบนับได้เข้าไปภายในพื้นที่ของการวัด แบบ μ -ac ที่มีขอบเขตแบบบวกจำกัดทั้งหมด