ในทฤษฎีความน่าจะเป็นสำหรับกระบวนการสุ่มหลักการสะท้อนสำหรับกระบวนการ Wienerระบุว่า หากเส้นทางของกระบวนการ Wiener f ( t ) ไปถึงค่าf ( s ) = aที่เวลาt = sแล้ว เส้นทางถัดไปหลังจากเวลาsจะมีการกระจายตัวเหมือนกับการสะท้อนของเส้นทางถัดไปเกี่ยวกับค่าa [ ^{1 ]}ในทางที่เป็นทางการมากขึ้น หลักการสะท้อนหมายถึงทฤษฎีบท เกี่ยวกับการกระจายตัว ^ของค่าสูงสุดของกระบวนการ Wiener หรือการเคลื่อนที่แบบบราวน์ ผลลัพธ์นี้เชื่อมโยงการกระจายตัวของค่าสูงสุดของการเคลื่อนที่แบบบราวน์จนถึงเวลาtกับการกระจายตัวของกระบวนการที่เวลาtซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่ได้จากคุณสมบัติ Markov ที่แข็งแกร่งของการเคลื่อนที่แบบบราวน์

ถ้าเป็นกระบวนการ Wiener และเป็นค่าเกณฑ์ (หรือเรียกว่าจุดตัด) แล้วทฤษฎีบทกล่าวว่า: ${\displaystyle (W(t):t\geq 0)}$${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)=2\mathbb {P} (W(t)\geq a)}$

สมมติว่าเนื่องจากความต่อเนื่องของกระบวนการ Wiener แต่ละเส้นทาง (การรับรู้ที่สุ่มมาหนึ่งครั้ง) ของกระบวนการ Wiener ซึ่งสิ้นสุดที่หรือสูงกว่าค่า/ระดับ/เกณฑ์/จุดตัดณ เวลา ( ) จะต้องผ่าน (ถึง) เกณฑ์( ) เป็นครั้งแรก ณ เวลาใดเวลาหนึ่งก่อนหน้านี้ (สามารถผ่านระดับได้หลายครั้งในช่วงเวลาเราจะเลือกค่าที่เร็วที่สุด) ${\displaystyle W(0)=0}$${\displaystyle (0,t)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle t}$${\displaystyle W(t)\geq a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle W(t_{a})=a}$${\displaystyle t_{a}\leq t}$${\displaystyle a}$${\displaystyle (0,t)}$

สำหรับทุกเส้นทางดังกล่าว คุณสามารถกำหนดเส้นทางอื่นที่สะท้อนหรือพลิกกลับในแนวตั้งบนช่วงย่อยแบบสมมาตรโดยรอบระดับจากเส้นทางเดิมได้ เส้นทางที่สะท้อนเหล่านี้ก็เป็นตัวอย่างของกระบวนการ Wiener ที่ไปถึงค่าบนช่วงแต่สิ้นสุดต่ำกว่าดังนั้น ในบรรดาเส้นทางทั้งหมดที่ไปถึงบนช่วง ครึ่งหนึ่งจะสิ้นสุดต่ำกว่าและอีกครึ่งหนึ่งจะสิ้นสุดสูงกว่า ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะสิ้นสุดสูงกว่าจึงเป็นครึ่งหนึ่งของความน่าจะเป็นที่จะไปถึง ${\displaystyle W'(t)}$${\displaystyle (0,t)}$${\displaystyle (t_{a},t)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle W'(t_{a})=a}$${\displaystyle (0,t)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle (0,t)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

ในรูปแบบที่แข็งแกร่งกว่า หลักการสะท้อนกล่าวว่า ถ้าเป็นเวลาหยุดการสะท้อนของกระบวนการ Wiener ที่เริ่มต้นที่ซึ่งแทนด้วยก็เป็นกระบวนการ Wiener เช่นกัน โดยที่: ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (W^{\tau }(t):t\geq 0)}$

${\displaystyle W^{\tau }(t)=W(t)\chi _{\left\{t\leq \tau \right\}}+(2W(\tau )-W(t))\chi _{\left\{t>\tau \right\}}}$

และฟังก์ชันตัวบ่งชี้และถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน รูปแบบที่แข็งแกร่งกว่านั้นบ่งบอกถึงทฤษฎีบทดั้งเดิมโดยการเลือก ${\displaystyle \chi _{\{t\leq \tau \}}={\begin{cases}1,&{\text{ถ้า }}t\leq \tau \\0,&{\text{มิฉะนั้น }}\end{cases}}}$${\displaystyle \chi _{\{t>\tau \}}}$${\displaystyle \tau =\inf \left\{t\geq 0:W(t)=a\right\}}$

เวลาหยุดที่เร็วที่สุดสำหรับการไปถึงจุดตัดa , , เป็นเวลาหยุดที่มีขอบเขตเกือบแน่นอน จากนั้นเราสามารถใช้คุณสมบัติของมาร์คอฟที่แข็งแกร่งเพื่อสรุปได้ว่าเส้นทางสัมพัทธ์หลังจาก, ที่กำหนดโดย, ก็เป็นการเคลื่อนที่แบบบราวน์อย่างง่ายที่เป็นอิสระจาก เช่นกันจากนั้นการกระจายความน่าจะเป็นสำหรับครั้งสุดท้ายที่อยู่ที่หรือสูงกว่าเกณฑ์ในช่วงเวลาสามารถแยกย่อยได้เป็น ${\displaystyle \tau _{a}:=\inf \left\{t:W(t)=a\right\}}$${\displaystyle \tau _{a}}$${\displaystyle X_{t}:=W(t+\tau _{a})-a}$${\displaystyle {\mathcal {F}__{\tau _{a}}^{W}}$${\displaystyle W(s)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle [0,t]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)\geq a\right)+\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)<a\right)\\&=\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)+\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)-W(\tau _{a})<0\right)\\\end{aligned}}}$.

โดยอาศัยคุณสมบัติของมาร์คอฟที่แข็งแกร่งโดยที่เป็นการเคลื่อนที่แบบบราวน์อย่างง่ายลำดับที่สองซึ่งเป็นอิสระจากดังนั้น โดยอาศัยความเป็นอิสระ พจน์ที่สองจึงกลายเป็น: ${\displaystyle W(t)-W(\tau _{a}){\overset {\mathcal {D}}{=}}W'(t-\tau _{a})}$${\displaystyle W'}$${\displaystyle \{W(u):0\leq u\leq \tau _{a}\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)-W(\tau _{a})<0\right)&=\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W'(t-\tau _{a})<0\right)\\&=\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)\mathbb {P} \left(W'(t-\tau _{a})<0\right)\\&={\frac {1}{2}}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right),\end{aligned}}}$.

เนื่องจากเป็นการเคลื่อนที่แบบบราวน์มาตรฐานที่ไม่ขึ้นกับและมีความน่าจะเป็นที่จะน้อยกว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทเสร็จสมบูรณ์โดยการแทนค่านี้ลงในบรรทัดที่สองของสมการแรก^{[ 2 ]}${\displaystyle W'(t)}$${\displaystyle {\mathcal {F}__{\tau _{a}}^{W}}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)+{\frac {1}{2}}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)\\\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=2\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)\end{aligned}}}$.

หลักการสะท้อนมักใช้เพื่อลดความซับซ้อนของคุณสมบัติการกระจายตัวของการเคลื่อนที่แบบบราวน์เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่แบบบราวน์ในช่วงเวลาที่จำกัด หลักการสะท้อนจะช่วยให้เราพิสูจน์ได้ว่าตำแหน่งของค่าสูงสุดที่สอดคล้อง กับเงื่อนไข มีการกระจายตัวแบบอาร์คไซน์ซึ่งเป็นหนึ่งในกฎอาร์คไซน์ของเลวี^{[ 3 ]}${\displaystyle (W(t):t\in [0,1])}$${\displaystyle t_{\text{max}}}$${\displaystyle W(t_{\text{max}})=\sup _{0\leq s\leq 1}W(s)}$