ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพเชิง สัมพัทธ์ โดยประมาณคือตระกูลของตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพกล่าวคือ ตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพในสกีมXเหนือริงRคือสกีมย่อยปิดDของXที่ (1) แบนราบเหนือRและ (2) ชีฟอุดมคติ ของDเป็นชีฟอิสระเฉพาะที่ที่มีอันดับหนึ่ง (กล่าวคือชีฟผกผันได้ ) หรือเทียบเท่า สกีมย่อยปิดDของXเป็นตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพหากมีการคลุมเชิงเส้นเปิดของXและตัวหารที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งจุดตัดกำหนดโดยสมการ(เรียกว่าสมการเฉพาะที่) และแบนราบเหนือRและเข้ากันได้ ${\displaystyle I(D)}$${\displaystyle U_{i}=\operatorname {Spec} A_{i}}$${\displaystyle f_{i}\in A_{i}}$${\displaystyle D\cap U_{i}}$${\displaystyle f_{i}=0}$${\displaystyle A/f_{i}A}$

ให้Lเป็นมัดเส้นบนXและsเป็นส่วนตัดของ L โดยที่(กล่าวอีกนัยหนึ่งsเป็นสมาชิกปกติสำหรับเซตย่อยเปิดU ใดๆ ) ${\displaystyle s:{\mathcal {O}}_{X}\hookrightarrow L}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$

เลือกเซตคลุมเปิดของX บาง ส่วนที่ทำให้. สำหรับแต่ละiผ่านไอโซมอร์ฟิซึม การจำกัดจะสอดคล้องกับตัวหารที่ไม่เป็นศูนย์ของ. จากนั้น กำหนดสับสกีมปิดของX (เรียกว่าตำแหน่งศูนย์ของส่วนs ) โดย ${\displaystyle \{U_{i}\}}$${\displaystyle L|_{U_{i}}\simeq {\คณิตศาสตร์ {O}__{X}|_{U_{i}}}$${\displaystyle s|_{U_{i}}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}__{X}(U_{i})}$${\displaystyle \{s=0\}}$

${\displaystyle \{s=0\}\cap U_{i}=\{f_{i}=0\},}$

โดยที่ด้านขวามือหมายถึงสับสกีมปิดของที่กำหนดโดยชีฟอุดมคติที่สร้างโดย ซึ่งกำหนดไว้อย่างดี (กล่าวคือ พวกมันเห็นพ้องกันในส่วนที่ทับซ้อนกัน) เนื่องจากเป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ ด้วยเหตุผลเดียวกัน สับสกีมปิดจึงไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกการทำให้เป็นเรื่องเล็กน้อยในระดับท้องถิ่น ${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f_{i}/f_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$${\displaystyle \{s=0\}}$

ในทำนองเดียวกัน ตำแหน่งศูนย์ของsสามารถสร้างขึ้นได้เป็นไฟเบอร์ของมอร์ฟิซึม กล่าวคือ เมื่อมองLเป็นปริภูมิทั้งหมดของมัน ส่วนsเป็น มอร์ฟิซึม XของL : มอร์ฟิซึมที่sตามด้วยเป็นเอกลักษณ์ จากนั้นอาจสร้างขึ้นเป็นผลคูณไฟเบอร์ของs และการ ฝัง ส่วนศูนย์${\displaystyle s:X\to L}$${\displaystyle L\to X}$${\displaystyle \{s=0\}}$${\displaystyle s_{0}:X\to L}$

สุดท้าย เมื่อแบนราบเหนือโครงร่างพื้นฐานSมันจะเป็นตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพบนXเหนือSยิ่งไปกว่านั้น การสร้างนี้ครอบคลุมตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพทั้งหมดบนXดังต่อไปนี้ ให้Dเป็นตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพ และแทนชีฟอุดมคติของDเนื่องจากความเป็นอิสระในระดับท้องถิ่น การเลือกให้ลำดับที่แน่นอน ${\displaystyle \{s=0\}}$${\displaystyle I(D)}$${\displaystyle I(D)^{-1}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}-}$${\displaystyle 0\to I(D)\to {\mathcal {O}__{X}\to {\mathcal {O}__{D}\to 0}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}__{X}\to I(D)^{-1}\to I(D)^{-1}\otimes {\mathcal {O}__{D}\to 0}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง 1 ในสามารถระบุได้ด้วยส่วนหนึ่งในซึ่งเราใช้สัญลักษณ์แทน ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle \Gamma (X,I(D)^{-1})}$${\displaystyle s_{D}}$

ตอนนี้เราสามารถทำซ้ำข้อโต้แย้งก่อนหน้านี้ได้โดยใช้เนื่องจากDเป็นตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพ ดังนั้น Dจึงมีรูปแบบเฉพาะที่บนสำหรับตัวหารที่ไม่ใช่ศูนย์ f บางตัวใน Aการทำให้เป็นศูนย์ทำได้โดยการคูณด้วยfโดยเฉพาะอย่างยิ่ง 1 สอดคล้องกับfดังนั้น ตำแหน่งศูนย์ของคือD${\displaystyle L=I(D)^{-1}}$${\displaystyle \{f=0\}}$${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (A)}$${\displaystyle L|_{U}=Af^{-1}{\overset {\sim }{\to }}A}$${\displaystyle s_{D}}$

• ถ้าDและD'เป็นตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพ ผลรวมจะเป็นตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพซึ่งกำหนดไว้ในระดับท้องถิ่น โดยที่fและgให้สมการเฉพาะที่สำหรับDและD '${\displaystyle D+D'}$${\displaystyle fg=0}$
• ถ้าDเป็นตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพ และเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริงแล้วจะเป็นตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพใน${\displaystyle R\to R'}$${\displaystyle D\times _{R}R'}$${\displaystyle X\times _{R}R'}$
• ถ้าDเป็นตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพและเป็นมอร์ฟิซึมแบบราบเหนือRแล้วเป็นตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพในX'ที่มีชีฟอุดมคติ${\displaystyle f:X'\to X}$${\displaystyle D'=D\times _{X}X'}$${\displaystyle I(D')=f^{*}(I(D))}$

จากนี้ไป ให้ถือว่าXเป็น เส้นโค้ง เรียบ (ยังคงอยู่เหนือR ) ให้Dเป็นตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพในXและสมมติว่ามันเป็น ตัวหารคาร์เทียร์ ที่เหมาะสมเหนือR (ซึ่งเป็นไปโดยปริยายหากXเหมาะสม) ดังนั้น จะเป็นโมดูล Rที่เป็นอิสระเฉพาะที่ที่มีอันดับจำกัด อันดับนี้เรียกว่าดีกรีของDและใช้สัญลักษณ์แทนด้วยมันเป็นฟังก์ชันคงที่เฉพาะที่บนถ้าDและD'เป็นตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพที่เหมาะสม แล้ว จะเป็นตัวหารคาร์เทียร์ ที่เหมาะสมเหนือRและให้เป็นมอร์ฟิซึมแบบแบนที่จำกัด ดังนั้น[ ^{1 ] ใน}ทางกลับกัน การเปลี่ยนฐานจะไม่เปลี่ยนดีกรี: ^{[ 2 ]}${\displaystyle \Gamma (D,{\mathcal {O}}_{D})}$${\displaystyle \deg D}$${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$${\displaystyle D+D'}$${\displaystyle \deg(D+D')=\deg(D)+\deg(D')}$${\displaystyle f:X'\to X}$${\displaystyle \deg(f^{*}D)=\deg(f)\deg(D)}$${\displaystyle \deg(D\times _{R}R')=\deg(D)}$

สับสกีมปิดDของXเป็นแบบจำกัด แบน และมีการนำเสนอแบบจำกัด^ก็ต่อเมื่อเป็นตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพซึ่งเหมาะสมเหนือR [ ^{3 ]}

เมื่อกำหนดตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพDแล้ว จะมีสองวิธีที่เทียบเท่ากันในการเชื่อมโยงตัวหารไวล์เข้ากับตัวหารนั้น ${\displaystyle [D]}$