ในคณิตศาสตร์เพื่อความบันเทิงตัวเลขซ้ำหรือบางครั้งเรียกว่าตัวเลขเดี่ยว^{[ 1 ]}คือจำนวนธรรมชาติที่ประกอบด้วยตัวเลขเดียวกันซ้ำๆในระบบเลขฐาน (มักจะเป็นเลขฐานสิบ โดยปริยาย ) คำนี้เป็นการผสมคำระหว่าง "repeated" และ "digit" ตัวอย่างเช่น11 , 666 , 4444และ999999ตัวเลขซ้ำทั้งหมดเป็นจำนวนพาลินโดรมและเป็นพหุคูณของ จำนวนซ้ำ ตัวเลขซ้ำที่รู้จักกันดีอื่นๆ ได้แก่จำนวนเฉพาะซ้ำและโดยเฉพาะอย่างยิ่งจำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์ (ซึ่งเป็นตัวเลขซ้ำเมื่อแสดงในรูปเลขฐานสอง)

จำนวนดังกล่าวสามารถแสดงได้ดังต่อไปนี้

${\displaystyle \underbrace {nn\ldots nn} _{k}={\frac {(nn-n)^{k}-n^{k}}{(nn-2\cdot n)\cdot n^{(k-2)}}}}$

โดยที่ nn คือการต่อกันของ n กับ n และ k คือจำนวนของ n ที่ต่อกัน

nn สามารถแสดงทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้

${\displaystyle n\cdot \left(10^{\lfloor \log _{10}(n)\rfloor +1}+1\right)}$

สำหรับ n = 23 และ k = 5 สูตรจะมีลักษณะดังนี้

${\displaystyle {\frac {(2323-23)^{5}-23^{5}}{(2323-2\cdot 23)\cdot 23^{(5-2)}}}={\frac {64363429993563657}{27704259}}=\underbrace {2323232323} _{5}}$

อย่างไรก็ตาม 2323232323 ไม่ใช่ตัวเลขซ้ำ (repdigit)

นอกจากนี้ จำนวนใดๆ ก็สามารถแยกออกเป็นผลรวมและผลต่างของจำนวนซ้ำได้เช่นกัน

ตัวอย่างเช่น 3453455634 = 3333333333 + (111111111 + (9999999 - (999999 - (11111 + (77 + (2))))))

ตัวเลขซ้ำ (Repdigits) คือการแสดงตัวเลข ใน ระบบฐาน 10 โดยที่คือตัวเลขที่ซ้ำกัน และคือจำนวนครั้งที่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น ตัวเลขซ้ำ 77777 ในระบบฐาน 10 คือ ${\displaystyle B}$${\displaystyle x{\frac {B^{y}-1}{B-1}}}$${\displaystyle 0<x<B}$${\displaystyle 1<y}$${\displaystyle 7\times {\frac {10^{5}-1}{10-1}}}$

ตัวเลขแบบซ้ำที่เรียกว่าตัวเลขบราซิลคือตัวเลขที่สามารถเขียนเป็นตัวเลขซ้ำในฐานใดฐานหนึ่งได้ โดยไม่อนุญาตให้ใช้ตัวเลขซ้ำ 11 และไม่อนุญาตให้ใช้ตัวเลขหลักเดียว (มิฉะนั้นตัวเลขทั้งหมดจะเป็นตัวเลขบราซิล) ตัวอย่างเช่น 27 เป็นตัวเลขบราซิลเพราะ 27 คือตัวเลขซ้ำ 33 ในฐาน 8 ในขณะที่ 9 ไม่ใช่ตัวเลขบราซิลเพราะตัวเลขซ้ำที่แสดงได้เพียงอย่างเดียวคือ 11 ₈ซึ่งไม่ได้รับอนุญาตในคำจำกัดความของตัวเลขบราซิล การแสดงผลในรูปแบบ 11 ถือว่าเป็นเรื่องเล็กน้อยและไม่ได้รับอนุญาตในคำจำกัดความของตัวเลขบราซิล เพราะจำนวนธรรมชาติn ทั้งหมด ที่มากกว่าสองมีการแสดงผลเป็น 11 _{n − 1} [ ^{2 ] ตัวเลข}บราซิลยี่สิบตัวแรกคือ

7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 33, ... (ลำดับA125134ในOEIS )

ในบางเว็บไซต์ (รวมถึงกระดานรูปภาพเช่น4chan ) ถือเป็นเหตุการณ์มงคลเมื่อหมายเลข ID ที่กำหนดตามลำดับของโพสต์เป็นตัวเลขซ้ำ เช่น 22,222,222 ซึ่งเป็น "GET" ประเภทหนึ่ง (ประเภทอื่น ๆ ได้แก่ ตัวเลขกลม ๆ เช่น 34,000,000 หรือตัวเลขเรียงลำดับเช่น 12,345,678) ^{[ 3 ] [ 4 ]}

แนวคิดของเลขซ้ำได้รับการศึกษาภายใต้ชื่อนั้นมาตั้งแต่ปี 1974 เป็นอย่างน้อย^{[ 5 ]}ก่อนหน้านี้Beiler (1966)เรียกเลขเหล่านี้ว่า "เลขหลักเดียว" ^{[ 1 ]}เลขบราซิลได้รับการแนะนำในภายหลังในปี 1994 ในการแข่งขันโอลิมปิกคณิตศาสตร์ไอบีโรอเมริกันครั้งที่ 9 ซึ่งจัดขึ้นที่เมืองฟอร์ตาเลซาประเทศบราซิล ปัญหาแรกในการแข่งขันนี้ ซึ่งเสนอโดยประเทศเม็กซิโก มีดังนี้: ^{[ 6 ]}

จำนวนn > 0เรียกว่า "จำนวนบราซิล" ถ้ามีจำนวนเต็มbอยู่จริง โดยที่1 < b < n – 1ซึ่งเมื่อเขียนแทนnในฐานbแล้วจะได้ตัวเลขที่เท่ากันทุกหลัก จงพิสูจน์ว่าปี 1994 เป็นจำนวนบราซิล และปี 1993 ไม่ใช่จำนวนบราซิล

สำหรับ repdigit ที่จะเป็นจำนวนเฉพาะจะต้องเป็นrepunit (กล่าวคือ ตัวเลขที่ซ้ำกันคือ 1) และมีจำนวนหลักเป็นจำนวนเฉพาะในฐาน (ยกเว้นตัวเลขหลักเดียวที่ไม่สำคัญ) เนื่องจากตัวอย่างเช่น repdigit 77777 หารด้วย 7 ลงตัวในฐานใดๆ ที่มากกว่า 7 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เนื่องจาก repunit แบบบราซิลไม่อนุญาตให้จำนวนหลักเป็นสองพอดี จำนวนเฉพาะแบบบราซิลจึงต้องมีจำนวนหลักเป็นจำนวนเฉพาะคี่^{[ 7 ]}การมีจำนวนหลักเป็นจำนวนเฉพาะคี่ไม่เพียงพอที่จะรับประกันว่า repunit เป็นจำนวนเฉพาะ ตัวอย่างเช่น 21 = 111 ₄ = 3 × 7 และ 111 = 111 ₁₀ = 3 × 37 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ในฐานb ใดๆ ก็ตาม จำนวนเฉพาะ repunit ทุกตัวในฐานนั้น ยกเว้น 11 _b (ถ้าเป็นจำนวนเฉพาะ) จะเป็นจำนวนเฉพาะแบบบราซิล จำนวนเฉพาะแบบบราซิลที่เล็กที่สุดคือ

7 = 111 ₂ , 13 = 111 ₃ , 31 = 11111 ₂ = 111 ₅ , 43 = 111 ₆ , 73 = 111 ₈ , 127 = 1111111 ₂ , 157 = 111 ₁₂ , ... (ลำดับA085104ในOEIS )

ในขณะที่ผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะเป็นอนุกรมลู่เข้า ผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะบราซิลเป็นอนุกรมลู่เข้าซึ่งค่าของมันเรียกว่า "ค่าคงที่ของจำนวนเฉพาะบราซิล" ซึ่งมีค่ามากกว่า 0.33 เล็กน้อย (ลำดับA306759ในOEIS ) ^{[ 8 ]}การลู่เข้านี้บ่งชี้ว่าจำนวนเฉพาะบราซิลเป็นเศษส่วนที่น้อยมากของจำนวนเฉพาะทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ในบรรดาจำนวนเฉพาะ 3.7×10 ¹⁰ที่เล็กกว่า 10 ¹² มี เพียง 8.8×10 ⁴ เท่านั้นที่เป็นจำนวน เฉพาะบราซิล

จำนวน เฉพาะ repunit ทศนิยมมีรูปแบบสำหรับค่าของnที่ระบุไว้ในOEIS :  A004023มีการคาดการณ์ว่ามีจำนวนเฉพาะ repunit ทศนิยมเป็นอนันต์^{[ 9 ]} repunit ไบนารีคือจำนวนเมอร์เซนน์และจำนวนเฉพาะ repunit ไบนารีคือจำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์ ${\displaystyle R_{n}={\tfrac {10^{n}-1}{9}}\ {\mbox{with }}n\geq 3}$

ไม่ทราบว่ามีจำนวนเฉพาะบราซิลเป็นอนันต์หรือไม่ หากสมมติฐาน Bateman–Hornเป็นจริง สำหรับจำนวนเฉพาะทุกจำนวนหลัก จะมีจำนวนเฉพาะ repunit เป็นอนันต์ที่มีจำนวนหลักเท่ากับจำนวนนั้น (และด้วยเหตุนี้จึงมีจำนวนเฉพาะบราซิลเป็นอนันต์) หรืออีกทางหนึ่ง หากมีจำนวนเฉพาะ repunit ทศนิยมเป็นอนันต์ หรือจำนวนเฉพาะ Mersenne เป็นอนันต์ ก็จะมีจำนวนเฉพาะบราซิลเป็นอนันต์^{[ 10 ]}เนื่องจากเศษส่วนของจำนวนเฉพาะที่เป็นบราซิลมีน้อยมาก จึงมีจำนวนเฉพาะที่ไม่ใช่บราซิลเป็นอนันต์ ซึ่งก่อตัวเป็นลำดับ

2, 3, 5, 11, 17, 19, 23, 29, 37, 41, 47, 53, ... (ลำดับA220627ในOEIS )

ถ้าจำนวนเฟอร์มาต์ เป็นจำนวนเฉพาะ มันจะไม่ใช่จำนวนเฉพาะแบบบราซิล แต่ถ้าเป็นจำนวนประกอบ มันจะมีจำนวนเฉพาะแบบบราซิล^{[ 11 ]} ซึ่งขัดแย้งกับการคาดการณ์ก่อนหน้านี้^{[ 12 ]}เรสตา มาร์คัส แกรนแธม และเกรฟส์ พบตัวอย่างของจำนวนเฉพาะโซฟี เจอร์เมน ที่มี ^{จำนวน} เฉพาะ แบบบราซิล โดยตัวอย่างแรกคือ 28792661 = 11111 ₇₃ ^{[ 13} ]${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$

จำนวนเต็มบวกเพียงจำนวนเดียวที่ไม่ใช่จำนวนบราซิลคือ 1, 6, จำนวนเฉพาะและกำลังสองของจำนวนเฉพาะ เนื่องจากจำนวนอื่นๆ ทั้งหมดเป็นผลคูณของตัวประกอบสองตัวxและyโดยที่ 1 < x < y − 1 และสามารถเขียนเป็นxxในฐานy − 1 ได้ ^{[ 14 ]}ถ้ากำลังสองของจำนวนเฉพาะp ²เป็นจำนวนบราซิล จำนวนเฉพาะpจะต้องสอดคล้องกับสมการไดโอแฟนไทน์

นักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์Trygve Nagellได้พิสูจน์^{[ 15 ]}ว่าสมการนี้มีคำตอบเดียวเมื่อpเป็นจำนวนเฉพาะที่สอดคล้องกับ( p , b , q ) = (11, 3, 5)ดังนั้น จำนวนเฉพาะยกกำลังสองเพียงจำนวนเดียวที่เป็นจำนวนบราซิลคือ 11 ² = 121 = 11111 ₃นอกจากนี้ยังมีจำนวน repunit ยกกำลังสองที่ไม่ใช่จำนวนธรรมดาอีกหนึ่งจำนวน คือคำตอบ ( p , b , q ) = (20, 7, 4) ซึ่งสอดคล้องกับ 20 ² = 400 = 1111 ₇แต่จำนวนนี้ไม่ถือเป็นข้อยกเว้นเมื่อพิจารณาจากการจัดประเภทของจำนวนบราซิล เนื่องจาก 20 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

กำลังที่สมบูรณ์แบบซึ่งเป็นหน่วยซ้ำที่มีสามหลักขึ้นไปในฐานb บางฐาน นั้นอธิบายได้ด้วยสมการไดโอแฟนไทน์ของ Nagell และLjunggren ^{[ 16 ]}

^{Yann Bugeaud และ Maurice Mignotte ตั้งข้อสันนิษฐานว่ามีเพียงกำลังสมบูรณ์สามกำลังเท่านั้นที่เป็นเร ปู}นิตีของบราซิล ได้แก่ 121, 343 และ 400 (ลำดับA208242ในOEIS ) กำลังสองสองกำลังที่ระบุไว้ข้างต้น และกำลังสาม 343 = 7 ³ = 111 ₁₈ ^{[ 17} ]

• จำนวนวิธีที่จำนวนnเป็นจำนวนบราซิลนั้นระบุไว้ในOEIS :  A220136ดังนั้น จึงมีจำนวนที่ไม่ใช่บราซิลและจำนวนที่เป็นบราซิลอยู่ ในบรรดาจำนวนเต็มเหล่านี้ บางจำนวนเป็นบราซิลหนึ่งครั้ง บางจำนวนเป็นบราซิลสองครั้ง หรือสามครั้ง หรือมากกว่านั้น จำนวนที่เป็น บราซิล kครั้ง เรียกว่าจำนวน k-บราซิล
• จำนวนที่ไม่ใช่บราซิล หรือจำนวน 0-บราซิลประกอบด้วย 1 และ 6 ร่วมกับจำนวนเฉพาะบางจำนวน และกำลังสองของจำนวนเฉพาะบางจำนวน ลำดับของจำนวนที่ไม่ใช่บราซิลเริ่มต้นด้วย 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 17, 19, 23, 25, ... (ลำดับA220570ในOEIS )
• ลำดับของจำนวนบราซิลเลียน 1 จำนวน ประกอบด้วยจำนวนเฉพาะอื่นๆ กำลังสองของจำนวนเฉพาะที่เป็นบราซิลเลียนเพียงจำนวนเดียว คือ 121 และจำนวนประกอบ≥ 8ที่เป็นผลคูณของตัวประกอบที่แตกต่างกันเพียงสองตัว โดยที่n = a × b = aa _{b –1}โดยที่1 < a < b – 1 (ลำดับA288783ในOEIS )
• เลข 2- บราซิล (ลำดับA290015ในOEIS ) ประกอบด้วยจำนวนประกอบและจำนวนเฉพาะเพียงสองจำนวน ได้แก่ 31 และ 8191 ที่จริงแล้ว ตามสมมติฐานของกูร์มาห์ติห์จำนวนเฉพาะสองจำนวนนี้เป็นคำตอบเดียวที่ทราบของสมการไดโอแฟนไทน์ :
  ${\displaystyle p={\frac {x^{m}-1}{x-1}}={\frac {y^{n}-1}{y-1}}}$โดยที่x , y  > 1 และn , m  > 2 :
  • ( p ,  x ,  y ,  m ,  n ) = (31, 5, 2, 3, 5) ซึ่งสอดคล้องกับ 31 = 11111 ₂ = 111 ₅และ
  • ( p ,  x ,  y ,  m ,  n ) = (8191, 90, 2, 3, 13) ซึ่งสอดคล้องกับ 8191 = 1111111111111 ₂ = 111 ₉₀โดยที่ 11111111111 คือหน่วยซ้ำที่มีตัวเลขสิบสามหลัก 1.
• สำหรับลำดับของจำนวน k-Brazilian แต่ละลำดับ จะมีพจน์ที่เล็กที่สุดอยู่ ลำดับของจำนวนk -Brazilian ที่เล็กที่สุดเหล่านี้เริ่มต้นด้วย 1, 7, 15, 24, 40, 60, 144, 120, 180, 336, 420, 360, ... และอยู่ใน OEIS :  A284758ตัวอย่างเช่น 40 เป็นจำนวน 4-Brazilian ที่เล็กที่สุด โดย 40 = 1111 ₃ = 55 ₇ = 44 ₉ = 22 ₁₉
• ในDictionnaire de (presque) tous les nombres entiers [ ^{18 ] Daniel} Lignon เสนอว่าจำนวนเต็มเป็นจำนวนบราซิลเลียนสูงหากเป็นจำนวนเต็มบวกที่มีการแสดงแบบบราซิลเลียนมากกว่าจำนวนเต็มบวกที่เล็กกว่าใดๆ คำจำกัดความนี้มาจากคำจำกัดความของจำนวนประกอบสูงที่สร้างโดยSrinivasa Ramanujanในปี 1915 จำนวนบราซิลเลียนสูง ชุดแรก คือ 1, 7, 15, 24, 40, 60, 120, 180, 336, 360, 720, ... และตรงกับOEIS :  A329383จาก 360 ถึง 321253732800 (อาจจะมากกว่านี้) มีจำนวนประกอบสูง ต่อเนื่องกัน 80 จำนวน ที่เป็นจำนวนบราซิลเลียนสูงเช่นกัน ดูOEIS :  A279930

สื่อสิ่งพิมพ์ยอดนิยมบางแห่งได้ตีพิมพ์บทความที่ระบุว่าตัวเลข repunit มี ความสำคัญ ทางตัวเลขศาสตร์โดยอธิบายว่าเป็น " ตัวเลขเทวดา " ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]}

• เก้าหกตัวในพาย

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "Repdigit" . MathWorld .
• ปัญหาที่ 9 Olimpíada Iberoamericana de Matemática

ค้นหาคำว่า repdigitใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมฟรี