สมการจำลอง

ในทางคณิตศาสตร์สมการจำลอง เป็น ระบบพลวัตประเภทหนึ่งที่ใช้ในทฤษฎีเกมวิวัฒนาการเพื่อจำลองว่าความถี่ของกลยุทธ์ในประชากรเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป เป็น พลวัตแบบ กำหนดได้แบบโมโนโทนไม่เป็นเชิงเส้นและไม่สร้างสรรค์ ซึ่งจับหลักการของการคัดเลือกโดยธรรมชาติในการปฏิสัมพันธ์เชิงกลยุทธ์^{[ 1 ]}

สมการการจำลองแบบอธิบายว่ากลยุทธ์ที่มี ความเหมาะสมสูงกว่าค่าเฉลี่ยจะเพิ่มความถี่ขึ้น ในขณะที่กลยุทธ์ที่ประสบความสำเร็จน้อยกว่าจะลดลง แตกต่างจากแบบจำลองการจำลองแบบอื่นๆ เช่นแบบจำลองควาซิสปีชีส์ สมการการจำลองแบบอนุญาตให้ความเหมาะสมของแต่ละประเภทขึ้นอยู่กับการกระจายตัวของประเภทประชากรอย่างมีพลวัต ทำให้ฟังก์ชันความเหมาะสมเป็น องค์ประกอบ ภายในของระบบ สิ่งนี้ทำให้สามารถจำลองการคัดเลือกที่ขึ้นอยู่กับความถี่ได้ โดยที่ความสำเร็จของกลยุทธ์ขึ้นอยู่กับความแพร่หลายของมันเมื่อเทียบกับกลยุทธ์อื่นๆ

ความแตกต่างที่สำคัญอีกประการหนึ่งจากแบบจำลองควาซิสปีชีส์คือ สมการการจำลองแบบนี้ไม่ได้รวมกลไกการกลายพันธุ์หรือการนำกลยุทธ์ใหม่ๆ เข้ามาใช้ จึงถือว่าไม่ใช่แบบจำลองที่สร้างนวัตกรรมใหม่โดยสมมติว่ากลยุทธ์ทั้งหมดมีอยู่ตั้งแต่เริ่มต้น และจำลองเฉพาะการเติบโตหรือการลดลงของสัดส่วนของกลยุทธ์เหล่านั้นเมื่อเวลาผ่านไปเท่านั้น

พลวัตการจำลองแบบถูกนำไปประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในสาขาต่างๆ เช่นชีววิทยา (เพื่อศึกษาการวิวัฒนาการและพลวัตของประชากร) เศรษฐศาสตร์ (เพื่อวิเคราะห์ความมีเหตุผลที่จำกัดและการวิวัฒนาการของกลยุทธ์) และ การ เรียนรู้ของเครื่องจักร (โดยเฉพาะในระบบหลายตัวแทนและการเรียนรู้แบบเสริมแรง )

สมการ

รูปแบบต่อเนื่องทั่วไปที่สุดของสมการการจำลองแบบแสดงผลลัพธ์ (replicator equation) คือ สมการเชิงอนุพันธ์ :

${\dot {x_{i}}}=x_{i}[f_{i}(x)-\phi (x)],\quad \phi (x)=\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)}$

ที่ไหน $x_{i}$ คือสัดส่วนของประเภท $i$ ในประชากร $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ คือเวกเตอร์ของการกระจายตัวของประเภทต่างๆ ในประชากร $f_{i}(x)$ คือความเหมาะสมของประเภท $i$ (ซึ่งขึ้นอยู่กับจำนวนประชากร) และ $\phi (x)$ คือค่าความเหมาะสมเฉลี่ยของประชากร (กำหนดโดยค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าความเหมาะสมของประชากร) $n$ ประเภทในประชากร) เนื่องจากองค์ประกอบของเวกเตอร์ประชากร $x$ ผลรวมเท่ากับหนึ่งตามนิยาม สมการนี้ถูกกำหนดบนซิ มเพล็กซ์ n มิติ

สมการการจำลองแบบนี้ถือว่าการกระจายตัวของประชากรเป็นแบบสม่ำเสมอ กล่าวคือ ไม่ได้รวมโครงสร้างของประชากรเข้าไปในค่าความเหมาะสม ในทางตรงกันข้าม สมการภูมิทัศน์ความเหมาะสมจะรวมการกระจายตัวของประชากรแต่ละประเภทเข้าไปด้วย ซึ่งแตกต่างจากสมการอื่นๆ ที่คล้ายกัน เช่น สมการควาซิสปีชีส์

ในทางปฏิบัติ ประชากรมักมีจำนวนจำกัด ทำให้รูปแบบไม่ต่อเนื่องมีความสมจริงมากกว่า การวิเคราะห์ในรูปแบบไม่ต่อเนื่องนั้นยากกว่าและต้องใช้การคำนวณที่ซับซ้อนกว่า ดังนั้นจึงมักใช้รูปแบบต่อเนื่อง แม้ว่าจะมีคุณสมบัติสำคัญบางอย่างที่สูญหายไปเนื่องจากการปรับให้เรียบนี้ก็ตาม โปรดทราบว่ารูปแบบต่อเนื่องสามารถได้มาจากรูปแบบไม่ต่อเนื่องโดยกระบวนการหาค่าจำกัด

เพื่อลดความซับซ้อนในการวิเคราะห์ โดยทั่วไปจะถือว่าความเหมาะสมขึ้นอยู่กับการกระจายตัวของประชากรในเชิงเส้น ซึ่งทำให้สามารถเขียนสมการการจำลองแบบได้ในรูปแบบ:

{\dot {x_{i}}}=x_{i}\left(\left(Ax\right)_{i}-x^{T}Ax\right)

โดยที่เมทริกซ์ผลตอบแทน $A$ เก็บข้อมูลความเหมาะสมทั้งหมดของประชากร: ผลตอบแทนที่คาดหวังสามารถเขียนได้ดังนี้ $\left(Ax\right)_{i}$ และค่าเฉลี่ยความเหมาะสมของประชากรโดยรวมสามารถเขียนได้ดังนี้ $x^{T}Ax$ สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าการเปลี่ยนแปลงในอัตราส่วนของสัดส่วนสองอย่าง $x_{i}/x_{j}$ เมื่อพิจารณาเทียบกับเวลาแล้วจะเป็นดังนี้: ${d \over {dt}}\left({x_{i} \over {x_{j}}}\right)={x_{i} \over {x_{j}}}\left[f_{i}(x)-f_{j}(x)\right]$ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเปลี่ยนแปลงของอัตราส่วนนั้นเกิดจากความแตกต่างของความเหมาะสมทางชีวภาพระหว่างสายพันธุ์โดยสิ้นเชิง

การหาอนุพันธ์ของพลวัตการจำลองแบบกำหนดและแบบสุ่ม

สมมติว่าจำนวนบุคคลประเภทนั้น $i$ เป็น $N_{i}$ และจำนวนบุคคลทั้งหมดคือ $N$ กำหนดสัดส่วนของแต่ละประเภทดังนี้ $x_{i}=N_{i}/N$ สมมติว่าการเปลี่ยนแปลงในแต่ละประเภทนั้นถูกควบคุมโดยการเคลื่อนที่แบบบราวน์เชิงเรขาคณิต : $dN_{i}=f_{i}N_{i}dt+\sigma _{i}N_{i}dW_{i}$ ที่ไหน $f_{i}$ ความฟิตที่เกี่ยวข้องกับประเภท $i$ ความฟิตโดยเฉลี่ยของประเภทต่างๆ $\phi =x^{T}f$ กระบวนการWienerถือว่าไม่มีความสัมพันธ์กัน สำหรับ $x_{i}(N_{1},...,N_{m})$ จากนั้น บทพิสูจน์ของอิโตะจึงให้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\begin{aligned}dx_{i}(N_{1},...,N_{m})&={\partial x_{i} \over {\partial N_{j}}}dN_{j}+{1 \over {2}}{\partial ^{2}x_{i} \over {\partial N_{j}\partial N_{k}}}dN_{j}dN_{k}\\&={\partial x_{i} \over {\partial N_{j}}}dN_{j}+{1 \over {2}}{\partial ^{2}x_{i} \over {\partial N_{j}^{2}}}(dN_{j})^{2}\end{aligned}}$ ดังนั้นอนุพันธ์ย่อยจึงเป็นดังนี้: ${\begin{aligned}{\partial x_{i} \over {\partial N_{j}}}&={1 \over {N}}\delta _{ij}-{x_{i} \over {N}}\\{\partial ^{2}x_{i} \over {\partial N_{j}^{2}}}&=-{2 \over {N^{2}}}\delta _{ij}+{2x_{i} \over {N^{2}}}\end{aligned}}$ ที่ไหน $\delta _{ij}$ คือฟังก์ชันเดลต้าโครเนกเกอร์ความสัมพันธ์เหล่านี้บ่งชี้ว่า: $dx_{i}={dN_{i} \over {N}}-x_{i}\sum _{j}{dN_{j} \over {N}}-{(dN_{i})^{2} \over {N^{2}}}+x_{i}\sum _{j}{(dN_{j})^{2} \over {N^{2}}}$ แต่ละส่วนประกอบในสมการนี้สามารถคำนวณได้ดังนี้: ${\begin{aligned}{dN_{i} \over {N}}&=f_{i}x_{i}dt+\sigma _{i}x_{i}dW_{i}\\-x_{i}\sum _{j}{dN_{j} \over {N}}&=-x_{i}\left(\phi dt+\sum _{j}\sigma _{j}x_{j}dW_{j}\right)\\-{(dN_{i})^{2} \over {N^{2}}}&=-\sigma _{i}^{2}x_{i}^{2}dt\\x_{i}\sum _{j}{(dN_{j})^{2} \over {N^{2}}}&=x_{i}\left(\sum _{j}\sigma _{j}^{2}x_{j}^{2}\right)dt\end{aligned}}$ จากนั้นสมการพลวัตการจำลองแบบสุ่มสำหรับแต่ละประเภทจะกำหนดโดย: $dx_{i}=x_{i}\left(f_{i}-\phi -\sigma _{i}^{2}x_{i}+\sum _{j}\sigma _{j}^{2}x_{j}^{2}\right)dt+x_{i}\left(\sigma _{i}dW_{i}-\sum _{j}\sigma _{j}x_{j}dW_{j}\right)$ สมมติว่า $\sigma _{i}$ หากเงื่อนไขต่างๆ เป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ สมการพลวัตการจำลองแบบกำหนดได้จะถูกกู้คืนกลับมา

การวิเคราะห์

การวิเคราะห์แตกต่างกันในกรณีต่อเนื่องและกรณีไม่ต่อเนื่อง: ในกรณีต่อเนื่องจะใช้วิธีการจากสมการเชิงอนุพันธ์ ในขณะที่ในกรณีไม่ต่อเนื่องมักจะใช้วิธีการสุ่ม เนื่องจากสมการการจำลองแบบไม่เชิงเส้น การหาคำตอบที่แน่นอนจึงทำได้ยาก (แม้ในรูปแบบต่อเนื่องที่เรียบง่าย) ดังนั้นสมการจึงมักถูกวิเคราะห์ในแง่ของเสถียรภาพ สมการการจำลอง (ในรูปแบบต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่อง) สอดคล้องกับทฤษฎีพื้นฐานของทฤษฎีเกมวิวัฒนาการ ซึ่งบ่งบอกถึงเสถียรภาพของจุดสมดุลของสมการ คำตอบของสมการมักจะกำหนดโดยเซตของสถานะที่มีเสถียรภาพเชิงวิวัฒนาการของประชากร

โดยทั่วไป ในกรณีที่ไม่เสื่อมสภาพ จะมีสถานะเสถียรเชิงวิวัฒนาการภายใน (ESS) ได้มากที่สุดเพียงสถานะเดียว แม้ว่าจะมีจุดสมดุลหลายจุดบนขอบของซิมเพล็กซ์ก็ตาม ทุกด้านของซิมเพล็กซ์ไม่เปลี่ยนแปลงไปข้างหน้า ซึ่งสอดคล้องกับการขาดนวัตกรรมในสมการการจำลองแบบ: เมื่อกลยุทธ์ใดสูญพันธุ์ไปแล้ว ก็ไม่มีทางที่จะฟื้นคืนชีพได้อีก

ได้มีการจำแนกประเภทของภาพแสดงเฟสสำหรับสมการจำลองความเหมาะสมเชิงเส้นต่อเนื่องในกรณีสองมิติและสามมิติแล้ว การจำแนกประเภททำได้ยากขึ้นในมิติที่สูงขึ้น เนื่องจากจำนวนภาพแสดงเฟสที่แตกต่างกันเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว

ความสัมพันธ์กับสมการอื่นๆ

สมการการจำลองแบบต่อเนื่องบน $n$ ประเภทต่างๆ เทียบเท่ากับสมการ Lotka–Volterra แบบทั่วไปใน $n-1$ มิติ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}การแปลงเกิดขึ้นจากการเปลี่ยนตัวแปร:

x_{i}={\frac {y_{i}}{1+\sum _{j=1}^{n-1}{y_{j}}}}\quad i=1,\ldots ,n-1

x_{n}={\frac {1}{1+\sum _{j=1}^{n-1}{y_{j}}}},

ที่ไหน $y_{i}$ คือตัวแปร Lotka – Volterra พลวัตการจำลองแบบต่อเนื่องยังเทียบเท่ากับสมการ Price อีก ด้วย^{[ 4 ]}

สมการจำลองแบบไม่ต่อเนื่อง

เมื่อพิจารณาประชากรอนันต์ที่ไม่มีโครงสร้างและมีรุ่นที่ไม่ทับซ้อนกัน ควรใช้สมการการจำลองแบบในรูปแบบไม่ต่อเนื่อง ในทางคณิตศาสตร์ มีสมการเชิงปรากฏการณ์ง่ายๆ สองแบบดังนี้---

x'_{i}=x_{i}+x_{i}\left[\left(Ax\right)_{i}-x^{T}Ax\right]\,({\rm {type~I),}}

x'_{i}=x_{i}\left[{\frac {\left(Ax\right)_{i}}{x^{T}Ax}}\right]\,({\rm {type~II),}}

---สอดคล้องกับหลักการคัดเลือกโดยธรรมชาติของดาร์วินหรือปรากฏการณ์วิวัฒนาการที่คล้ายคลึงกันใดๆ ที่นี่ ไพรม์หมายถึงขั้นตอนเวลาถัดไป อย่างไรก็ตาม ลักษณะที่ไม่ต่อเนื่องของสมการทำให้เกิดขอบเขตขององค์ประกอบเมทริกซ์ผลตอบแทน^{[ 5 ]}ที่น่าสนใจคือ สำหรับกรณีง่ายๆ ของเกมสองผู้เล่นสองกลยุทธ์ แผนที่จำลองแบบประเภท I สามารถแสดงการแยกสาขาแบบทวีคูณของช่วงเวลาที่นำไปสู่ความโกลาหลและยังให้คำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการสรุป^{[ 6 ]}แนวคิดของสถานะเสถียรเชิงวิวัฒนาการเพื่อรองรับโซลูชันแบบคาบของแผนที่

การสรุปโดยทั่วไป

สมการจำลองทั่วไปที่รวมการกลายพันธุ์ไว้ด้วยนั้นกำหนดโดยสมการจำลอง-กลายพันธุ์ ซึ่งมีรูปแบบดังต่อไปนี้ในเวอร์ชันต่อเนื่อง: ^{[ 7 ]}

{\dot {x_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}-\phi (x)x_{i},

โดยที่เมทริกซ์ $Q$ ให้ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนผ่านสำหรับการกลายพันธุ์ประเภท $j$ พิมพ์ $i$ , $f_{i}$ คือความเหมาะสมของ $i^{th}$ และ $\phi$ คือค่าเฉลี่ยความเหมาะสมของประชากร สมการนี้เป็นการสรุปทั่วไปพร้อมกันของสมการการจำลองแบบและ สมการควา ซิสปีชีส์ และใช้ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของภาษา

สมการการจำลองแบบ-การกลายพันธุ์ในรูปแบบไม่ต่อเนื่อง อาจมีสองประเภทง่ายๆ สอดคล้องกับแผนที่การจำลองแบบสองแผนที่เขียนไว้ข้างต้น:

x'_{i}=x_{i}+\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}-\phi (x)x_{i},

และ

x'_{i}={\frac {\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}}{\phi (x)}},

ตามลำดับ

สมการจำลองหรือสมการจำลอง-กลายพันธุ์สามารถขยายได้^{[ 8 ]}เพื่อรวมผลของความล่าช้าที่สอดคล้องกับข้อมูลที่ล่าช้าเกี่ยวกับสถานะของประชากรหรือในการตระหนักถึงผลของการปฏิสัมพันธ์ระหว่างผู้เล่น สมการจำลองยังสามารถขยายไปสู่เกมที่ไม่สมมาตร ได้อย่างง่ายดาย การขยายทั่วไปล่าสุดที่รวมโครงสร้างประชากรไว้ด้วยนั้นใช้ในทฤษฎีกราฟวิวัฒนาการ^{[ 9 ]}

ดูเพิ่มเติม

การคำนวณสมดุลแนช

อ่านเพิ่มเติม

Cressman, R. (2003). พลวัตเชิงวิวัฒนาการและเกมรูปแบบขยาย The MIT Press.
Taylor, PD; Jonker, L. (1978). "กลยุทธ์ที่เสถียรเชิงวิวัฒนาการและพลวัตของเกม" คณิตศาสตร์ชีววิทยา40 : 145–156.
แซนด์โฮล์ม, วิลเลียม เอช. (2010). เกมประชากรและพลวัตเชิงวิวัฒนาการการเรียนรู้ทางเศรษฐศาสตร์และวิวัฒนาการทางสังคม สำนักพิมพ์เดอะ MIT

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]