ปัจจัยการคูณนิวตรอนที่มีประสิทธิภาพ${\displaystyle k_{\คณิตศาสตร์ {eff} }}$สามารถอธิบายได้โดยใช้ผลคูณของปัจจัยความน่าจะเป็นหกประการที่อธิบายระบบนิวเคลียร์ ปัจจัยเหล่านี้ซึ่งโดยทั่วไปเรียงลำดับตามลำดับเวลาโดยคำนึงถึงอายุของนิวตรอนในเครื่องปฏิกรณ์ความร้อนนั้นรวมถึงความน่าจะเป็นของการไม่รั่วไหลอย่างรวดเร็ว${\displaystyle P_{\คณิตศาสตร์ {FNL} }}$ปัจจัยการแตกตัวอย่างรวดเร็ว${\displaystyle \varepsilon }$ความน่าจะเป็นของการหลุดพ้นจากเรโซแนนซ์${\displaystyle p}$ความน่าจะเป็นของการไม่รั่วซึมทางความร้อน${\displaystyle P_{\คณิตศาสตร์ {TNL} }}$ปัจจัยการใช้ประโยชน์ความร้อน${\displaystyle f}$และปัจจัยการสร้างนิวตรอน${\displaystyle \eta }$(เรียกอีกอย่างว่าปัจจัยประสิทธิภาพของนิวตรอน) สูตรหกปัจจัยตามธรรมเนียมเขียนไว้ดังนี้:

${\displaystyle k_{\mathrm {eff} }=P_{\mathrm {FNL} }\varepsilon pP_{\mathrm {TNL} }f\eta }$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle P_{\คณิตศาสตร์ {FNL} }}$อธิบายถึงความน่าจะเป็นที่นิวตรอนเร็วจะไม่หลุดออกจากระบบโดยไม่เกิดปฏิกิริยากับอนุภาคอื่น
  • ขอบเขตของปัจจัยนี้คือ 0 และ 1 โดยค่า 1 อธิบายถึงระบบที่นิวตรอนเร็วจะไม่สามารถหลุดออกไปได้โดยไม่เกิดปฏิกิริยา กล่าวคือ ระบบอนันต์
  • เขียนอีกแบบว่า${\displaystyle L_{f}}$
• ${\displaystyle \varepsilon }$คืออัตราส่วนของการแตกตัวทั้งหมดต่อการแตกตัวที่เกิดจากนิวตรอนความร้อนเพียงอย่างเดียว
  • นิวตรอนเร็วมีโอกาสน้อยที่จะทำให้เกิดปฏิกิริยาฟิชชันในยูเรเนียม โดยเฉพาะยูเรเนียม-238
  • ปัจจัยฟิชชันเร็วอธิบายถึงส่วนประกอบของฟิชชันเร็วที่มีต่อปัจจัยการคูณนิวตรอนที่มีประสิทธิภาพ
  • ขอบเขตของปัจจัยนี้คือ 1 และอนันต์ โดยค่า 1 หมายถึงระบบที่มีเฉพาะนิวตรอนความร้อนเท่านั้นที่ทำให้เกิดการแตกตัว ส่วนค่า 2 หมายถึงระบบที่มีทั้งนิวตรอนความร้อนและนิวตรอนเร็วที่ทำให้เกิดการแตกตัวในปริมาณเท่ากัน
• ${\displaystyle p}$คืออัตราส่วนของจำนวนนิวตรอนที่เริ่มเข้าสู่สภาวะสมดุลทางความร้อนต่อจำนวนนิวตรอนที่ถึงระดับพลังงานความร้อน
  • ไอโซโทปหลายชนิดมี "เรโซแนนซ์" ใน เส้นโค้ง ภาค ตัดขวางการจับยึด ซึ่งเกิดขึ้นในช่วงพลังงานระหว่างพลังงานเร็วและพลังงานความร้อน
  • หากนิวตรอนเริ่มเข้าสู่สภาวะสมดุลทางความร้อน (กล่าวคือ เริ่มชะลอตัวลง) มีความเป็นไปได้ที่มันจะถูกดูดซับโดยวัสดุที่ไม่ก่อให้เกิดการเพิ่มจำนวนก่อนที่มันจะถึงระดับพลังงานความร้อน
  • ขอบเขตของปัจจัยนี้คือ 0 และ 1 โดยค่า 1 อธิบายถึงระบบที่นิวตรอนเร็วทั้งหมดที่ไม่รั่วไหลออกมาและไม่ก่อให้เกิดการแตกตัวอย่างรวดเร็วจะไปถึงระดับพลังงานความร้อนในที่สุด
• ${\displaystyle P_{\คณิตศาสตร์ {TNL} }}$อธิบายถึงความน่าจะเป็นที่นิวตรอนความร้อนจะไม่หลุดออกจากระบบโดยไม่เกิดปฏิกิริยากับอนุภาคอื่น
  • ขอบเขตของปัจจัยนี้คือ 0 และ 1 โดยค่า 1 อธิบายถึงระบบที่นิวตรอนความร้อนจะไม่สามารถหลุดออกไปได้โดยไม่เกิดปฏิกิริยา กล่าวคือ ระบบอนันต์
  • เขียนอีกแบบว่า${\displaystyle L_{th}}$
• ${\displaystyle f}$คืออัตราส่วนของจำนวนนิวตรอนความร้อนที่ถูกดูดซับโดย นิวเคลียส ที่สามารถแตกตัวได้เทียบกับจำนวนนิวตรอนที่ถูกดูดซับในวัสดุทั้งหมดในระบบ
  • ปัจจัยนี้อธิบายถึงประสิทธิภาพการใช้ประโยชน์จากนิวตรอนความร้อนในระบบ จึงเป็นที่มาของชื่อ ปัจจัยการใช้ประโยชน์ความร้อน (Thermal utilization factor)
  • ค่าของตัวประกอบนี้อยู่ระหว่าง 0 และ 1 โดยค่า 1 หมายถึงระบบที่ทั้งระบบประกอบด้วยนิวเคลียสที่แตกตัวได้ (กล่าวคือ นิวตรอนความร้อนสามารถทำปฏิกิริยากับวัสดุที่แตกตัวได้เท่านั้น) ในทำนองเดียวกัน ค่า 0.5 หมายถึงระบบที่ปฏิกิริยากับนิวเคลียสที่แตกตัวได้และนิวเคลียสที่ไม่แตกตัวได้มีค่าเท่ากัน
  • สำหรับเครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์แบบดั้งเดิม ปัจจัยนี้เป็นปัจจัยเดียวที่ผู้ปฏิบัติงานสามารถควบคุมได้โดยตรง ด้วยการปรับเปลี่ยนแท่งควบคุมคุณสามารถเพิ่มปริมาณนิวตรอนที่ถูกดูดซับในนิวเคลียสที่ไม่เกิดการแตกตัว ในขณะเดียวกันก็ลดปริมาณนิวตรอนที่ถูกดูดซับในนิวเคลียสที่เกิดการแตกตัวได้
• ${\displaystyle \eta }$อธิบายถึงความน่าจะเป็นที่นิวตรอนที่ถูกดูดกลืนจะทำให้เกิดปฏิกิริยาฟิชชัน
  • ปัจจัยนี้อธิบายถึงพฤติกรรมของวัสดุฟิสไซล์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากมีการดูดซับนิวตรอน จะมีโอกาสมากน้อยเพียงใดที่จะทำให้เกิดการแตกตัว และจะเกิดนิวตรอนจำนวนเท่าใดจากการแตกตัวนั้น

บางครั้งตัวคูณจะคำนวณโดยใช้สูตรสี่ตัวคูณ แบบง่าย ซึ่งเหมือนกับที่อธิบายไว้ข้างต้นด้วย${\displaystyle P_{\คณิตศาสตร์ {FNL} }}$และ${\displaystyle P_{\คณิตศาสตร์ {TNL} }}$ทั้งสองค่าเท่ากับ 1 และใช้เมื่อมีการตั้งสมมติฐานว่าเครื่องปฏิกรณ์นั้น "ไม่มีที่สิ้นสุด" กล่าวคือ นิวตรอนมีโอกาสน้อยมากที่จะรั่วไหลออกจากระบบ ค่านี้${\displaystyle k_{\infty }}$มักใช้ในการประเมินความปลอดภัยของการออกแบบเครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์

เนื่องจากค่าของ${\displaystyle k_{\คณิตศาสตร์ {eff} }}$เนื่องจากมีความสัมพันธ์โดยตรงกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของจำนวนนิวตรอนในระบบ จึงสะดวกที่จะจำแนกสถานะของระบบนิวเคลียร์โดยพิจารณาจากค่าวิกฤตของสมการจำนวนนิวตรอน จุดที่พฤติกรรมของระบบนิวเคลียร์เปลี่ยนแปลงไปคือเมื่อใด${\displaystyle k_{\คณิตศาสตร์ {eff} }}$มีค่าเท่ากับ 1 พอดี จุดนี้เรียกว่า "ภาวะวิกฤต" และอธิบายถึงระบบที่อัตราการผลิตและอัตราการสูญเสียของนิวตรอนเท่ากันพอดี

เมื่อไร${\displaystyle k_{\คณิตศาสตร์ {eff} }}$หากค่าน้อยกว่าหรือมากกว่าหนึ่ง จะใช้คำว่าภาวะวิกฤตย่อยและภาวะวิกฤตยิ่งยวดเพื่ออธิบายระบบตามลำดับ:

• ${\displaystyle k_{\mathrm {eff} }<1}$( ภาวะวิกฤตย่อย ): จำนวนนิวตรอนในระบบลดลงแบบเลขชี้กำลัง
• ${\displaystyle k_{\mathrm {eff} }=1}$ ( ภาวะวิกฤต ): จำนวนนิวตรอนคงที่ในระดับหนึ่ง
• ${\displaystyle k_{\mathrm {eff} }>1}$ ( ภาวะวิกฤตยิ่งยวด ): จำนวนนิวตรอนในระบบเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ

ในระบบนิวเคลียร์ที่ใช้งานได้จริง เช่น เครื่องปฏิกรณ์ฟิชชัน หากต้องการให้เกิดภาวะวิกฤต ก็มีแนวโน้มว่า${\displaystyle k_{\คณิตศาสตร์ {eff} }}$ในความเป็นจริงแล้ว ค่าจะแกว่งไปมาระหว่างค่าที่น้อยกว่า 1 เล็กน้อยกับค่าที่มากกว่า 1 เล็กน้อย ซึ่งส่วนใหญ่เกิดจากผลกระทบของปฏิกิริยาตอบกลับทางความร้อน เมื่อเฉลี่ยจำนวนนิวตรอนในช่วงเวลาหนึ่งแล้ว ค่าจะดูเหมือนคงที่ ทำให้ค่าเฉลี่ยของ${\displaystyle k_{\คณิตศาสตร์ {eff} }}$ในช่วงเวลาประมาณ 1 นาฬิกา ระหว่างการทดลองที่ใช้กำลังไฟฟ้าคงที่ ทั้งนิวตรอนหน่วงและผลิตภัณฑ์ฟิสชันชั่วคราว " สารพิษที่เผาไหม้ได้ " มีบทบาทสำคัญในการกำหนดจังหวะเวลาของการแกว่งเหล่านี้

มูลค่าของ${\displaystyle k_{\คณิตศาสตร์ {eff} }}$โดยทั่วไปแล้ว การคำนวณหรือการใช้งานค่าปฏิกิริยาโดยตรงนั้นทำได้ยาก ดังนั้นจึงใช้วิธีการวัด ปริมาณปฏิกิริยาของระบบแทน โดยปฏิกิริยาของระบบนิวเคลียร์จะถูกอธิบายในเชิงคุณภาพว่าเป็นค่าที่เบี่ยงเบนจากสภาวะวิกฤต สมการด้านล่างนี้อธิบายถึงปฏิกิริยาบริสุทธิ์${\displaystyle \rho }$เป็นฟังก์ชันของตัวคูณนิวตรอน${\displaystyle k_{\คณิตศาสตร์ {eff} }}$:

${\displaystyle \rho ={k_{\mathrm {eff} }-1 \over k_{\mathrm {eff} }}}$

หรือเมื่อเปรียบเทียบความแตกต่างของปฏิกิริยาระหว่างระบบนิวเคลียร์สองระบบที่มีตัวคูณ${\displaystyle k_{1}}$และ${\displaystyle k_{2}}$,

${\displaystyle {\Delta k \over k}={k_{2}-k_{1} \over k_{1}k_{2}}}$

สำหรับระบบส่วนใหญ่ ปฏิกิริยาตอบสนอง${\displaystyle \rho }$มีช่วงค่าแคบมาก ทำให้ยากที่จะอธิบายหรือตีความค่าใดๆ ในเชิงคุณภาพ เช่น${\displaystyle k_{\คณิตศาสตร์ {eff} }}$โดยทั่วไป มักแสดงในหน่วยของ${\displaystyle \%\Delta k/k}$เปอร์เซ็นต์มิลเลหรือ (เกือบเฉพาะในสหรัฐอเมริกา) โดยใช้หน่วยอนุพันธ์คือดอลลาร์และเซนต์โปรดทราบว่า${\displaystyle \rho }$มักแสดงออกมาในรูปแบบนี้เช่นกัน${\displaystyle \Delta k/k}$

${\displaystyle \%{\Delta k \over k}=\rho \times 100}$

${\displaystyle \mathrm {pcm} =\rho \times 10^{5}}$

${\displaystyle \$={\rho \over \beta _{\mathrm {eff} }}}$

มูลค่า${\displaystyle \beta _{\mathrm {eff} }}$ค่านี้เรียกว่าสัดส่วนนิวตรอนหน่วงที่มีประสิทธิภาพ (effective delayed neutron fraction) ซึ่งอธิบายถึงสัดส่วนการมีส่วนร่วมของนิวตรอนหน่วงต่ออัตราการแตกตัวของระบบ และวัดได้จากอัตราส่วนของจำนวนการแตกตัวทั้งหมดที่เกิดจากนิวตรอนหน่วงต่อจำนวนการแตกตัวทั้งหมดในระบบ ตัวเลขนี้แตกต่างจากสัดส่วนนิวตรอนหน่วงเล็กน้อย${\displaystyle \beta }$ซึ่งเป็นสัดส่วนของนิวตรอนในระบบที่เป็นนิวตรอนหน่วงเนื่องจากนิวตรอนหน่วงโดยทั่วไปจะเกิดขึ้นที่พลังงานต่ำกว่า จึงทำให้เกิดการเปลี่ยนเป็นพลังงานความร้อนได้ง่ายกว่า หมายความว่ามีแนวโน้มที่จะทำให้เกิดปฏิกิริยาฟิชชันมากกว่านิวตรอนทันที ผลกระทบของการถ่วงน้ำหนักนี้แสดงไว้ในการพิสูจน์ของ${\displaystyle \beta _{\mathrm {eff} }}$.

เมื่อระบบนิวเคลียร์อยู่ในสภาวะต่ำกว่าวิกฤต การนำนิวตรอนเข้าสู่ระบบจะทำให้จำนวนนิวตรอนในระบบลดลง อย่างไรก็ตาม หากมีการนำนิวตรอนเข้าสู่ระบบในอัตราคงที่ (เช่น จากแหล่งกำเนิดนิวตรอน ) ระบบนิวเคลียร์อาจดูเหมือนอยู่ในสภาวะวิกฤตได้ ทั้งที่จริงแล้วไม่ได้อยู่ในสภาวะวิกฤตอย่างแท้จริง ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า ภาวะวิกฤตจากแหล่งกำเนิด ( source criticality ) ซึ่งเกิดจากปรากฏการณ์ที่เรียกว่า การเพิ่มจำนวนในสภาวะต่ำกว่าวิกฤต (subcritical multiplication)

สมการจำนวนนิวตรอนสามารถปรับเปลี่ยนให้เขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle {d \over dt}\left(n(t)\right)=\left({{k_{\mathrm {eff} }-1} \over l}\right)n(t)+S(t)}$

นี่เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ที่ยากต่อการแก้มาก ในกรณีนี้ เราสมมติว่านิวตรอนทั้งหมดมาจากแหล่งกำเนิด และนิวตรอนแต่ละรุ่นมีขนาดเท่ากัน ในกรณีนี้ เราสามารถประมาณค่าโดยใช้ชุดอนุกรมเรขาคณิตได้:

${\displaystyle n(t)=n_{0}+n_{0}k_{\mathrm {eff} }+n_{0}\left(k_{\mathrm {eff} }\right)^{2}+n_{0}\left(k_{\mathrm {eff} }\right)^{3}+\cdots =n_{0}\sum _{i=0}^{\infty }(k_{\mathrm {eff} })^{i}=\left({1 \over {1-k_{\mathrm {eff} }}}\right)n_{0}}$

เราใช้สมการข้างต้นและกำหนดตัวประกอบใหม่${\displaystyle M}$เรียกว่าตัวคูณวิกฤตย่อย:

${\displaystyle M={1 \over {1-k_{\mathrm {eff} }}}}$

การคูณปัจจัยนี้ด้วยความแรงของแหล่งกำเนิด (ในหน่วยนิวตรอน/วินาที) จะได้จำนวนประชากรนิวตรอนที่เสถียร ตราบใดที่${\displaystyle k_{\คณิตศาสตร์ {eff} }}$เป็นที่ทราบกันดีว่า:

${\displaystyle n_{\infty }=S_{0}\times M}$

โดยทั่วไปแล้ว สมการนี้มักใช้ในการประมาณค่า${\displaystyle k_{\คณิตศาสตร์ {eff} }}$เนื่องจากการวัดจำนวนประชากรนิวตรอนที่มีเสถียรภาพทำได้ง่าย แต่การทราบความแรงของแหล่งกำเนิดนิวตรอนนั้นทำได้ยาก เพื่อแก้ปัญหานี้ เมื่อระบบเข้าใกล้สภาวะวิกฤต${\displaystyle M}$เข้าใกล้ค่าอนันต์ ดังนั้น การวัดค่าจึงเป็นวิธีที่ใช้งานได้จริงมากกว่า${\displaystyle 1/M}$ซึ่งจะเข้าใกล้ศูนย์เมื่อระบบเข้าสู่ภาวะวิกฤต${\displaystyle 1/M}$สามารถประมาณได้จากอัตราส่วนของอัตราการนับก่อนและหลังการเพิ่มปฏิกิริยา

${\displaystyle {CR_{0} \over CR}\approx {1 \over M}\quad \therefore \quad \lim _{CR_{0}/CR\rightarrow 0}\left({k_{\mathrm {eff} }}\right)=1}$

แหล่งกำเนิดนิวตรอนส่วนใหญ่เป็นการผสมผสานระหว่างตัวปล่อยอนุภาคอัลฟาและเบริลเลียมเบริลเลียม-9ซึ่งเป็นไอโซโทปเสถียรเพียงชนิดเดียวของเบริลเลียมที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติ สามารถปล่อยนิวตรอนได้เมื่อดูดซับอนุภาคอัลฟา (${\displaystyle \alpha ,n}$ปฏิกิริยาไบนารีเป็นสิ่งที่ก่อให้เกิดนิวตรอน แหล่งกำเนิดนิวตรอนที่พบได้บ่อยที่สุด ได้แก่ อเมริเซียม-เบริลเลียม (AmBe), พลูโทเนียม-เบริลเลียม (PuBe) และโพโลเนียม-เบริลเลียม (PoBe)

${\displaystyle {\ce {{^{9}_{4}Be}+{^{4}_{2}\alpha }\Rightarrow {^{1}_{0}n}+{^{12}_{6}C}}}}$

แอนติโมนี-124ยังใช้ร่วมกับเบริลเลียมเพื่อสร้างนิวตรอน เนื่องจากรังสีแกมมาที่ปล่อยออกมาจากแอนติโมนี-124 มีพลังงานเฉพาะที่เบริลเลียมสามารถดูดซับได้และทำให้เบริลเลียมปล่อยนิวตรอนออกมา กระบวนการนี้เรียกว่า (${\displaystyle \gamma ,n}$ปฏิกิริยา ) แหล่งกำเนิดแอนติโมนี-124 มักถูกใช้โดยบริษัทเหมืองแร่เพื่อค้นหาแร่เบริลเลียม

${\displaystyle {\ce {{^{9}_{4}Be}+{\gamma }\Rightarrow {^{1}_{0}n}+{^{8}_{4}Be}}}}$

แหล่งกำเนิดนิวตรอนอื่นๆ มาจากเครื่องเร่งอนุภาคที่ใช้ปฏิกิริยาฟิวชันในการสร้างนิวตรอน โดยใช้ดิวเทอเรียมและทริเทียมทำปฏิกิริยาฟิวชันผ่านปฏิกิริยานี้

${\displaystyle {\ce {{^{2}_{1}D}+{^{2}_{1}D}\Rightarrow {^{1}_{0}n}+{^{3}_{2}He}}}}$

${\displaystyle {\ce {{^{2}_{1}D}+{^{3}_{1}T}\Rightarrow {^{1}_{0}n}+{^{4}_{2}He}}}}$

นิวตรอนไม่ได้ถูกปล่อยออกมาทั้งหมดโดยตรงจากปฏิกิริยาฟิชชัน แต่บางส่วนเกิดจากการสลายตัวของกัมมันตรังสีของชิ้นส่วนฟิชชันบางส่วน นิวตรอนที่เกิดขึ้นโดยตรงจากฟิชชันเรียกว่า "นิวตรอนทันที" และนิวตรอนที่เกิดจากการสลายตัวของกัมมันตรังสีของชิ้นส่วนฟิชชันเรียกว่า "นิวตรอนหน่วง" สัดส่วนของนิวตรอนที่หน่วงเวลาเรียกว่า...${\displaystyle \beta }$ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ และเศษส่วนนี้โดยทั่วไปจะน้อยกว่า 1% ของนิวตรอนทั้งหมดในปฏิกิริยาลูกโซ่^{[ 17 ]}

เนื่องจากสารตั้งต้นของนิวตรอนหน่วง (นิวไคลด์กัมมันตรังสีที่สลายตัวโดยการปล่อยนิวตรอน) มีค่าคงที่การสลายตัวอยู่ในระดับวินาทีและมิลลิวินาที นิวตรอนหน่วงที่เกิดขึ้นจากสารเหล่านี้จึงช่วยให้ประชากรนิวตรอนในระบบตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงปฏิกิริยาเล็กน้อยได้ช้ากว่านิวตรอนแบบทันทีเพียงอย่างเดียวหลายลำดับความ magnitud เนื่องจากนิวตรอนหน่วงเหล่านี้ช่วยเพิ่มอายุเฉลี่ยของนิวตรอนได้อย่างมีประสิทธิภาพ${\displaystyle l}$[ ^{18 ] หากไม่มีนิวตรอนที่ล่าช้า การเปลี่ยนแปลงอัตราการ เกิด}ปฏิกิริยาในระบบนิวเคลียร์จะเกิดขึ้นด้วยความเร็วที่มนุษย์ไม่สามารถควบคุมได้

เมื่อไร${\displaystyle \beta _{\mathrm {eff} }>0}$และ${\displaystyle \rho =0}$ระบบนิวเคลียร์เรียกว่าระบบวิกฤตล่าช้า (delayed critical)บริเวณเหนือวิกฤต (supercriticality) ที่${\displaystyle 0<\rho <\beta _{\mathrm {eff} }}$เรียกว่าภาวะวิกฤตยิ่งยวดแบบล่าช้า (delayed supercriticality)ซึ่งเป็นบริเวณที่เครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์ทุกเครื่องทำงาน เมื่อ${\displaystyle \rho =\beta _{\mathrm {eff} }}$ระบบนี้ถูกอธิบายว่าเป็นวิกฤตฉับพลันบริเวณวิกฤตยิ่งยวดสำหรับ${\displaystyle \rho >\beta _{\mathrm {eff} }}$เรียกอีกอย่างว่าภาวะวิกฤตยิ่งยวดแบบฉับพลัน (prompt supercriticality)นี่คือบริเวณที่อาวุธนิวเคลียร์ทำงานอยู่ รวมถึงเครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์วิจัยแบบเป็นจังหวะบางเครื่อง เช่นเครื่องปฏิกรณ์TRIGA