ในทางคณิตศาสตร์รูปแบบตัวดำเนินการแก้ปัญหา (resolvent formalism)เป็นเทคนิคสำหรับการประยุกต์ใช้แนวคิดจากการวิเคราะห์เชิงซ้อน (complex analysis)ในการศึกษาเกี่ยวกับสเปกตรัมของตัวดำเนินการบนปริภูมิบานาค (Banach space)และปริภูมิทั่วไปอื่นๆ การให้เหตุผลเชิงรูปแบบสำหรับการดำเนินการดังกล่าวสามารถพบได้ในกรอบของแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก (holomorphic functional calculus )

ตัวผกผัน (Resolvent)แสดงถึงคุณสมบัติเชิงสเปกตรัมของตัวดำเนินการในโครงสร้างเชิงวิเคราะห์ของฟังก์ชันเมื่อกำหนดตัวดำเนินการAแล้ว ตัวผกผันอาจนิยามได้ดังนี้

${\displaystyle R(z;A)=(A-zI)^{-1}~.}$

นอกเหนือจากการใช้งานอื่นๆ แล้ว ตัวแก้ปัญหาอาจใช้ในการแก้สมการอินทิกรัลเฟรดโฮล์มที่ ไม่เป็นเอกพันธ์ ซึ่งวิธีการที่นิยมใช้กันทั่วไปคือการแก้ด้วยอนุกรม ซึ่งก็คืออนุกรมลิอูวิลล์-นอยมันน์

ตัวผกผันของAสามารถใช้เพื่อรับข้อมูลเกี่ยวกับการแยกส่วนสเปกตรัม ของA ได้โดยตรง ตัวอย่างเช่น สมมติว่าλ เป็นค่าลักษณะเฉพาะ ที่แยกเดี่ยว ใน สเปกตรัมของAนั่นคือ สมมติว่ามีเส้นโค้งปิดแบบง่าย ในระนาบเชิงซ้อนที่แยก λ ออก จากส่วนที่เหลือของสเปกตรัมของAแล้วเศษเหลือคือ...${\displaystyle C_{\lambda }}$

${\displaystyle -{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C_{\lambda }}(A-zI)^{-1}~dz}$

กำหนดตัวดำเนินการฉายภาพไปยัง ปริภูมิไอเกนλ ของA ทฤษฎีบท Hille –Yosidaเชื่อมโยงตัวแก้ไขผ่านการแปลงลาปลา สกับปริพันธ์เหนือ กลุ่มการแปลงพารามิเตอร์เดียว ที่สร้างโดย A ^{[ 1 ]} ดังนั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าAเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเฉียง U ( t ) = exp( tA )จะเป็นกลุ่มตัวดำเนินการเอกภาพพารามิเตอร์เดียว เมื่อใดก็ตามที่ตัวแก้ไขของAที่zสามารถแสดงเป็นการแปลงลาปลาส ได้${\displaystyle |z|>\|A\|}$

${\displaystyle R(z;A)=\int _{0}^{\infty }e^{-zt}U(t)~dt,}$

โดยที่อินทิกรั ลจะคำนวณตามรังสี^{[ 2 ]}${\displaystyle \arg t=-\arg \lambda }$

การใช้งานตัวดำเนินการแก้ปัญหาในรูปแบบอนุกรมในA (เทียบกับอนุกรม Liouville–Neumann ) ครั้งสำคัญครั้งแรกเกิดขึ้นโดยIvar Fredholmในบทความสำคัญเมื่อปี 1903 ในวารสารActa Mathematicaซึ่งช่วยวางรากฐานทฤษฎีตัวดำเนินการสมัยใหม่

ชื่อ"Resolvent"นั้นตั้งโดยเดวิด ฮิลเบิร์ต

สำหรับz, w ทั้งหมด ใน ρ ( A )ซึ่งเป็นเซตตัวแก้ไขของตัวดำเนินการ Aเรามีว่าเอกลักษณ์ตัวแก้ไขแรก (เรียกอีกอย่างว่าเอกลักษณ์ของฮิลเบิร์ต) เป็นจริง: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle R(z;A)-R(w;A)=(zw)R(z;A)R(w;A)\,.}$

(โปรดทราบว่าDunford และ Schwartzที่อ้างถึง กำหนดตัวแก้ไขเป็น( zI −A ) ⁻¹แทน ดังนั้นสูตรข้างต้นจึงมีเครื่องหมายแตกต่างจากของพวกเขา)

เอกลักษณ์ตัวแก้ไขที่สองเป็นการวางนัยทั่วไปของเอกลักษณ์ตัวแก้ไขแรกข้างต้น ซึ่งมีประโยชน์สำหรับการเปรียบเทียบตัวแก้ไขของตัวดำเนินการที่แตกต่างกันสองตัว เมื่อกำหนดตัวดำเนินการ Aและ Bซึ่งทั้งสองกำหนดไว้บนปริภูมิเชิงเส้นเดียวกัน และz ในρ ( A ) ∩  ρ ( B )เอกลักษณ์ต่อไปนี้จะเป็นจริง^{[ 4 ]}

${\displaystyle R(z;A)-R(z;B)=R(z;A)(BA)R(z;B)\,.}$

การพิสูจน์โดยใช้บรรทัดเดียวมีดังนี้:

${\displaystyle (A-zI)^{-1}-(B-zI)^{-1}=(A-zI)^{-1}((B-zI)-(A-zI))(B-zI)^{-1}=(A-zI)^{-1}(BA)(B-zI)^{-1}\,.}$

เมื่อศึกษาตัวดำเนินการปิดที่ไม่จำกัดขอบเขตA : H → Hบนปริภูมิฮิลเบิร์ตHถ้ามีอยู่เช่นนั้นที่เป็นตัวดำเนินการกระชับเรากล่าวว่า Aมีตัวแก้ไขกระชับ สเปกตรัมของ A ดังกล่าว เป็นเซตย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของ นอกจากนี้ ถ้าAเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองแล้วและจะมีฐานเชิงตั้งฉากของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ Aที่มีค่าลักษณะเฉพาะตามลำดับ นอกจากนี้ไม่มีจุดสะสมจำกัด^{[ 5 ]}${\displaystyle z\in \rho (A)}$${\displaystyle R(z;A)}$${\displaystyle \sigma (A)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \sigma (A)\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle \{v_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}$

• ชุดแก้ไข
• ทฤษฎีบทของสโตนเกี่ยวกับกลุ่มเอกภาพพารามิเตอร์เดียว
• แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก
• ทฤษฎีสเปกตรัม
• ผู้ใช้งานขนาดกะทัดรัด
• การแปลงลาปลาส
• ทฤษฎีเฟรดโฮล์ม
• ชุดลิอูวิลล์-นอยมันน์
• การแยกองค์ประกอบของสเปกตรัม (การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน)
• หลักการจำกัดการดูดซึม