ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ (Riemann xi function)เป็นรูปแบบหนึ่งของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ (Riemann zeta function)และถูกกำหนดให้มีสมการเชิงฟังก์ชันที่ เรียบง่ายเป็นพิเศษ ฟังก์ชันนี้ตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่แบร์นฮาร์ด รีมันน์ (Bernhard Riemann )

ฟังก์ชัน "xi" ตัวเล็กดั้งเดิมของ Riemann ได้รับการเปลี่ยนชื่อเป็น( อักษรกรีกตัวใหญ่ "xi" ) โดยEdmund Landauฟังก์ชัน "xi" ตัวเล็กของ Landau ถูกกำหนดไว้ดังนี้ ^{[ 1 ]}${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \Xi }$${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$

สำหรับโดยที่หมายถึงฟังก์ชันซีตาของรีมันน์และคือฟังก์ชันแกมมา ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle \Gamma (s)}$

สมการเชิงฟังก์ชัน (หรือสูตรการสะท้อน ) สำหรับแลนเดาคือ ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s).}$

ฟังก์ชันดั้งเดิมของ Riemann ซึ่ง Landau เปลี่ยนชื่อเป็นตัวพิมพ์ใหญ่^{[ 1 ]}เป็นไปตาม ${\displaystyle \Xi }$

${\displaystyle \Xi (z)=\xi \left({\tfrac {1}{2}}+zi\right),}$

และเป็นไปตามสมการเชิงฟังก์ชัน

${\displaystyle \Xi (-z)=\Xi (z)}$

ฟังก์ชันทั้งสองนั้นสมบูรณ์และเป็นของจริงอย่างแท้จริงสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นของจริง

รูปแบบทั่วไปของจำนวนเต็มคู่บวกคือ

${\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)}$

โดยที่หมายถึงจำนวนเบอร์นูลลีลำดับที่ตัวอย่างเช่น: ${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \xi (2)={\frac {\pi }{6}}}$

ฟังก์ชัน นี้มีการขยายอนุกรม ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n},}$

ที่ไหน

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right],}$

โดยผลรวมจะครอบคลุมค่าศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์ของฟังก์ชันซีตา ตามลำดับ ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \vert \Im (\rho )\vert }$

การขยายตัวนี้มีบทบาทสำคัญอย่างยิ่งในเกณฑ์ของหลี่ซึ่งระบุว่าสมมติฐานของรีมันน์เทียบเท่ากับการมี สำหรับค่า บวก ทั้งหมด${\displaystyle \แลมบ์ดา _{n}>0}$${\displaystyle n}$

การขยาย ผลคูณอนันต์แบบง่ายคือ

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),}$

โดยครอบคลุมรากของ. ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \xi }$

เพื่อให้การขยายอนุกรมลู่เข้า ผลคูณควรคำนวณจาก "คู่ที่ตรงกัน" ของศูนย์ กล่าวคือ ตัวประกอบสำหรับคู่ของศูนย์ในรูปแบบและควรจัดกลุ่มเข้าด้วยกัน ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\bar {\rho }}}$