ในทฤษฎีกลุ่ม ทางคณิตศาสตร์ ข้อมูลรากของกลุ่มพีชคณิตลดรูปที่ แยกส่วนและเชื่อมต่อกัน บนฟิลด์ เป็นการวางนัยทั่วไปของระบบรากที่กำหนดกลุ่มได้จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม มิเชล เดอมาซูร์ ได้นำเสนอแนวคิดนี้ ในSGA IIIซึ่งตีพิมพ์ในปี 1970

ข้อมูลรากประกอบด้วยสี่ส่วน

${\displaystyle (X^{\ast },\Phi ,X_{\ast },\Phi ^{\vee })}$,

ที่ไหน

• ${\displaystyle X^{\ast }}$และเป็นกลุ่มอาเบเลียนอิสระที่มีอันดับ จำกัด พร้อมกับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบระหว่างกัน โดยมีค่าที่เราใช้สัญลักษณ์ ( , ) แทน (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ แต่ละกลุ่มถูกระบุด้วยกลุ่มคู่ของอีกกลุ่มหนึ่ง)${\displaystyle X_{\ast }}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle \Phi }$เป็นเซตย่อยจำกัดของและเป็นเซตย่อยจำกัดของและมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจากไปยังซึ่งแทนด้วย${\displaystyle X^{\ast }}$${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$${\displaystyle X_{\ast }}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{\vee }}$
• สำหรับแต่ละ, .${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (\อัลฟา ,\อัลฟา ^{\vee })=2}$
• สำหรับแต่ละค่า แผนที่นี้จะเหนี่ยวนำให้เกิดออโตมอร์ฟิซึมของข้อมูลราก (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ แผนที่นี้จะแมปไปยังและการกระทำที่เหนี่ยวนำบนจะแมปไปยัง)${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle x\mapsto x-(x,\alpha ^{\vee })\alpha }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle X_{\ast }}$${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$

องค์ประกอบของเรียกว่ารากของข้อมูลราก และองค์ประกอบของเรียกว่าราก ร่วม${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$

หากไม่มีค่าใด ๆ เลยข้อมูลรากจะเรียกว่าข้อมูลรากที่ลดรูปแล้ว ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle 2\alpha }$${\displaystyle \alpha \in \Phi }$

ถ้าเป็นกลุ่มพีชคณิตแบบลดรูปเหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีทอรัสสูงสุดแบบแยกส่วนข้อมูลราก ของกลุ่มนั้นจะเป็นควอดรูเพิล ${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle (X^{*},\พี ,X_{*},\พี ^{\vee })}$,

ที่ไหน

• ${\displaystyle X^{*}}$คือโครงข่ายอักขระของทอรัสสูงสุด
• ${\displaystyle X_{*}}$คือแลตทิซคู่ (กำหนดโดยกลุ่มย่อยแบบ 1 พารามิเตอร์)
• ${\displaystyle \Phi }$คือกลุ่มของราก
• ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$คือเซตของโครูทที่สอดคล้องกัน

กลุ่มพีชคณิตลดรูปที่เชื่อมต่อกันเหนือ จะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน (จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม) โดยข้อมูลรากของมัน ซึ่งเป็นข้อมูลลดรูปเสมอ ในทางกลับกัน สำหรับข้อมูลรากใดๆ ก็จะมีกลุ่มพีชคณิตลดรูป ข้อมูลรากมีข้อมูลมากกว่าแผนภาพไดน์กิน เล็กน้อย เพราะมันยังกำหนดศูนย์กลางของกลุ่มด้วย ${\displaystyle K}$

สำหรับข้อมูลรากใดๆเราสามารถกำหนดข้อมูลรากคู่ได้โดยการสลับอักขระกับกลุ่มย่อยที่มีพารามิเตอร์ 1 ตัว และสลับรากกับโครูท ${\displaystyle (X^{*},\พี ,X_{*},\พี ^{\vee })}$${\displaystyle (X_{*},\พี ^{\vee },X^{*},\พี )}$

ถ้าเป็นกลุ่มพีชคณิตลดรูปที่เชื่อมต่อกันเหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตแล้วกลุ่มคู่ของแลงแลนด์ส ของกลุ่มนี้ คือกลุ่มลดรูปที่เชื่อมต่อกันเชิงซ้อนซึ่งข้อมูลรากเป็นกลุ่มคู่ของข้อมูลรากของ ${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {}^{L}G}$${\displaystyle G}$