ในทางคณิตศาสตร์กฎของ Ruffiniเป็นวิธี การคำนวณการหารแบบยุคลิดของพหุนามด้วยทวินามในรูปแบบx − rซึ่งได้รับการอธิบายโดยPaolo Ruffiniในปี 1809 ^{[ 1 ]}กฎนี้เป็นกรณีพิเศษของการหารสังเคราะห์ซึ่งตัวหารเป็นตัวประกอบเชิง เส้นเอกนาม

กฎนี้กำหนดวิธีการหารพหุนาม:

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

โดยทวินาม:

${\displaystyle Q(x)=xr}$

เพื่อให้ได้พหุนามผลหาร:

${\displaystyle R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}.}$

อัลกอริทึมนี้แท้จริงแล้วคือการหารยาวของP ( x ) ด้วยQ ( x )

เพื่อหารP ( x ) ด้วยQ ( x ):

1. นำสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของP ( x ) รวมทั้งศูนย์สำหรับพจน์ที่ขาดหายไป มาเขียนเรียงลำดับตามดีกรีที่ลดลง จากนั้นเขียนrที่ขอบด้านล่างซ้าย เหนือเส้น:

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &&&&&\\\end{array}}}$

2. ย้ายสัมประสิทธิ์ซ้ายสุด ( a ) ไปไว้ด้านล่างสุดใต้เส้น

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}}$

3. คูณตัวเลขขวาสุดใต้เส้นด้วยrแล้วเขียนทับเส้นและเลื่อนไปทางขวาหนึ่งตำแหน่ง

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}}$

4. นำค่าทั้งสองที่เพิ่งใส่ลงในคอลัมน์เดียวกันมาบวกกัน

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\end{array}}}$

5. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 3 และ 4 จนกว่าจะไม่มีตัวเลขเหลืออยู่

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&\dots &b_{1}\cdot r&b_{0}\cdot r\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&\dots &b_{1}\cdot r+a_{1}&a_{0}+b_{0}\cdot r\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\dots &=b_{0}&=s\\\end{array}}}$

ค่าbคือสัมประสิทธิ์ของพหุนามผลลัพธ์ ( R ( x )) ซึ่งมีดีกรีน้อยกว่าดีกรีของP ( x ) อยู่หนึ่ง ค่าสุดท้ายที่ได้sคือเศษเหลือทฤษฎีบทเศษเหลือของพหุนามกล่าวว่าเศษเหลือนั้นเท่ากับP ( r ) ซึ่งเป็นค่าของพหุนามที่r

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการหารพหุนามตามที่อธิบายไว้ข้างต้น

อนุญาต:

${\displaystyle P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4\,\!}$

${\displaystyle Q(x)=x+1.\,\!}$

P ( x ) จะถูกหารด้วยQ ( x ) โดยใช้กฎของ Ruffini ปัญหาหลักคือQ ( x ) ไม่ใช่พหุนามในรูปแบบx − rแต่เป็นx + r Q ( x ) จะต้องถูกเขียนใหม่เป็น

${\displaystyle Q(x)=x+1=x-(-1).\,\!}$

ต่อไปนี้คือขั้นตอนวิธีที่ใช้:

1. เขียนค่าสัมประสิทธิ์และr ลงไป สังเกตว่า เนื่องจากP ( x ) ไม่มีค่าสัมประสิทธิ์สำหรับxจึงเขียนเป็น 0:

    | 2 3 0 | -4 || -1 || ----|--------------------|------- || || 

2. ส่งค่าสัมประสิทธิ์ตัวแรกลงไป:

    | 2 3 0 | -4 || -1 || ----|--------------------|------- | 2 | || 

3. คูณค่าสุดท้ายที่ได้ด้วยr :

    | 2 3 0 | -4 || -1 | -2 | ----|--------------------|------- | 2 | || 

4. บวกค่าต่างๆ เข้าด้วยกัน:

    | 2 3 0 | -4 || -1 | -2 | ----|--------------------|------- | 2 1 | || 

5. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 3 และ 4 จนกว่าจะเสร็จสมบูรณ์:

    | 2 3 0 | -4 || -1 | -2 -1 | 1 ----|---------------------------- | 2 1 -1 | -3 |{สัมประสิทธิ์ผลลัพธ์}|{เศษเหลือ} 

ดังนั้น ถ้าจำนวนเดิม = ตัวหาร × ผลหาร + เศษเหลือ แล้ว

${\displaystyle P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!}$, ที่ไหน

${\displaystyle R(x)=2x^{2}+x-1\,\!}$และ${\displaystyle s=-3;\quad \Rightarrow 2x^{3}+3x^{2}-4=(2x^{2}+x-1)(x+1)-3\!}$

กฎของรัฟฟินีสามารถใช้ได้เมื่อต้องการหาผลหารของพหุนามPกับทวินามในรูปแบบ(หากต้องการเพียงเศษเหลือทฤษฎีบทเศษเหลือของพหุนามจะให้วิธีการที่ง่ายกว่า)${\displaystyle x-r.}$

ตัวอย่างทั่วไปที่จำเป็นต้องใช้ผลหาร คือการแยกตัวประกอบของพหุนามที่เรารู้รากr :${\displaystyle p(x)}$

เศษเหลือจากการหารแบบยุคลิดของด้วยrคือ0และถ้าผลหารคือการหารแบบยุคลิดจะเขียนได้ดังนี้${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle q(x),}$

${\displaystyle p(x)=q(x)\,(x-r).}$

ซึ่งจะทำให้ได้การแยกตัวประกอบ (อาจไม่สมบูรณ์) ที่สามารถคำนวณได้โดยใช้กฎของรัฟฟินี จากนั้นสามารถแยกตัวประกอบเพิ่มเติมได้โดยการแยกตัวประกอบ${\displaystyle p(x),}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle q(x).}$

ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต กล่าวว่า พหุนามทุกตัว ที่มีดีกรีเป็นบวกจะมี ราก เชิงซ้อน อย่างน้อยหนึ่ง รากกระบวนการข้างต้นแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตบ่งชี้ว่า พหุนามทุกตัวx ) = anxn + ^{an⁻¹xn⁻¹} + ... + a₁x ⁺ a₀ ตัวประกอบ^{ดังนี้}

${\displaystyle p(x)=a_{n}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),}$

จำนวนเชิงซ้อนอยู่ที่ไหน${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$

วิธีการนี้คิดค้นโดยเปาโล รัฟฟินีซึ่งเข้าร่วมการแข่งขันที่จัดโดยสมาคมวิทยาศาสตร์แห่งอิตาลี (แห่งสี่สิบ) โจทย์คือการคิดค้นวิธีการหาค่ารากของพหุนามใดๆ มีผู้ส่งผลงานเข้าประกวดห้าคน ในปี ค.ศ. 1804 ผลงานของรัฟฟินีได้รับรางวัลชนะเลิศ และวิธีการของเขาได้รับการตีพิมพ์ ต่อมาเขาได้ตีพิมพ์ผลงานที่ปรับปรุงแล้วอีกครั้งในปี ค.ศ. 1807 และ ค.ศ. 1813

• วิธีของลิลล์คือการหารโดยใช้กราฟ
• วิธีของฮอร์เนอร์

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "กฎของรัฟฟินี" . แมธเวิลด์ .
• สื่อที่เกี่ยวข้องกับกฎของรัฟฟินีที่วิกิมีเดียคอมมอนส์