การแปลงSเป็นการกระจายเวลา-ความถี่ได้รับการพัฒนาในปี 1994 สำหรับการวิเคราะห์ข้อมูลทางธรณีฟิสิกส์ ^{[ 1 ] [ 2 ]}ด้วยวิธีนี้ การแปลง Sเป็นการขยายผลของการแปลงฟูริเยร์แบบช่วงเวลาสั้น (STFT) โดยขยายการแปลงเวฟเล็ตแบบต่อเนื่องและเอาชนะข้อเสียบางประการ ประการแรก ไซนูซอยด์การมอดูเลชันจะคงที่เมื่อเทียบกับแกนเวลา ซึ่งทำให้การขยายและการเลื่อนของหน้าต่างเกาส์เซียนที่ปรับขนาดได้ในการแปลง S อยู่ในตำแหน่งที่จำกัด ยิ่งไปกว่านั้น การแปลง Sไม่มีปัญหาเทอมไขว้และให้ความชัดเจนของสัญญาณที่ดีกว่าการแปลงกาบอร์อย่างไรก็ตาม การแปลง Sก็มีข้อเสียเช่นกัน คือ ความชัดเจนแย่กว่าฟังก์ชันการกระจายของวิกเนอร์และฟังก์ชันการกระจายคลาสของโคเฮน

อัลกอริทึมการแปลง Sที่รวดเร็วถูกคิดค้นขึ้นในปี 2010 ^{[ 3 ] [ 4 ]}ช่วยลดความซับซ้อนในการคำนวณจาก O[N ² ·log(N)] เป็น O[N·log(N)] และทำให้การแปลงเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง โดยการแปลงจะมีจำนวนจุดเท่ากับสัญญาณหรือภาพต้นฉบับ เมื่อเทียบกับความซับซ้อนในการจัดเก็บ N ²สำหรับสูตรดั้งเดิม^{[ 4 ] [ 5 ]}มีการใช้งานสำหรับชุมชนวิจัยภายใต้ ใบอนุญาต โอเพนซอร์ส^{[ 6 ] [ 7 ]}

การกำหนดสูตรทั่วไปของการแปลง S ^{[ 4 ]}ทำให้ความสัมพันธ์กับการแปลงเวลาและความถี่อื่นๆ เช่น การแปลงฟูริเยร์ การแปลงฟูริเยร์เวลาสั้น และการแปลงเวฟเล็ต ชัดเจนยิ่งขึ้น^{[ 4 ]}

มีหลายวิธีในการนำเสนอแนวคิดของ การแปลง Sในที่นี้ การแปลง Sได้มาจากการแก้ไขเฟสของการแปลงเวฟเล็ตแบบต่อเนื่อง โดยใช้ฟังก์ชันเกาส์เซียน เป็น หน้าต่าง

• การแปลงเอส

${\displaystyle S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )|f|e^{-\pi (t-\tau )^{2}f^{2}}e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau }$

• การแปลง S ผกผัน

${\displaystyle x(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }S_{x}(t,f)\,dt\right]\,e^{j2\pi f\tau }\,df}$

• รูปแบบสเปกตรัม

นิยามข้างต้นแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชัน s-transform สามารถแสดงได้ในรูปของการสังเคราะห์ (convolution) ของและเมื่อ ใช้การแปลงฟูริเยร์กับทั้งและจะได้ ${\displaystyle (x(\tau )e^{-j2\pi f\tau })}$${\displaystyle (|f|e^{-\pi t^{2}f^{2}})}$${\displaystyle (x(\tau )e^{-j2\pi f\tau })}$${\displaystyle (|f|e^{-\pi t^{2}f^{2}})}$

${\displaystyle S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }X(f+\alpha )\,e^{-\pi \alpha ^{2}/f^{2}}\,e^{j2\pi \alpha t}\,d\alpha }$.

• การแปลง S แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง

จากรูปแบบสเปกตรัมของ S-transform เราสามารถหา S-transform แบบเวลาไม่ต่อเนื่องได้ ให้โดยที่คือช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่าง และคือความถี่การสุ่มตัวอย่าง ดังนั้น S-transform แบบเวลาไม่ต่อเนื่องจึงสามารถแสดงได้ดังนี้:${\displaystyle t=n\Delta _{T}\,\,f=m\Delta _{F}\,\,\alpha =p\Delta _{F}}$${\displaystyle \Delta _{T}}$${\displaystyle \Delta _{F}}$

${\displaystyle S_{x}(n\Delta _{T}\,,m\Delta _{F})=\sum _{p=0}^{N-1}X[(p+m)\,\Delta _{F}]\,e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}\,e^{\frac {j2pn}{N}}}$

ด้านล่างนี้คือรหัสเทียม (Pseudo code) ของการใช้งาน

 ขั้นตอนที่ 1. คำนวณ${\displaystyle X[p\Delta _{F}]\,}$ วนซ้ำ m (เสียง) ขั้นตอนที่ 2. คำนวณสำหรับ ขั้นตอนที่ 3. ย้ายไป ขั้นตอนที่ 4. คูณขั้นตอนที่ 2 และขั้นตอนที่ 3 ขั้นตอนที่ 5. IDFT( ).${\displaystyle e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}}$${\displaystyle f=m\Delta _{F}}$${\displaystyle X[p\Delta _{F}]}$${\displaystyle X[(p+m)\Delta _{F}]}$${\displaystyle B[m,p]=X[(p+m)\Delta _{F}]\cdot e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}}$${\displaystyle B[m,p]}$ ทำซ้ำ.} 

ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวระหว่างการแปลงกาบอร์ (GT) และการแปลง S คือขนาดของหน้าต่าง สำหรับ GT ขนาดของหน้าต่างเป็นฟังก์ชันเกาส์เซียนในขณะที่ฟังก์ชันหน้าต่างสำหรับการแปลง S เป็นฟังก์ชันของ f ด้วยฟังก์ชันหน้าต่างที่เป็นสัดส่วนกับความถี่ การแปลง S จึงทำงานได้ดีในการวิเคราะห์โดเมน ความถี่ เมื่อความถี่อินพุตต่ำ เมื่อความถี่อินพุตสูง การแปลง S จะมีความชัดเจนกว่าในโดเมนเวลาดังตารางด้านล่าง ${\displaystyle (e^{-\pi (t-\tau )^{2}})}$

คุณสมบัติเช่นนี้ทำให้ S-Transform เป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการวิเคราะห์เสียง เนื่องจากมนุษย์มีความไวต่อส่วนความถี่ต่ำในสัญญาณเสียง

ปัญหาหลักของการแปลงวิกเนอร์ (Wigner Transform) คือพจน์ไขว้ (cross term) ซึ่งเกิดจากฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติ (auto-correlation function) ในฟังก์ชันการแปลงวิกเนอร์ พจน์ไขว้นี้อาจทำให้เกิดสัญญาณรบกวนและการบิดเบือนในการวิเคราะห์สัญญาณ การวิเคราะห์ด้วยการแปลงเอส (S-transform analysis) ช่วยหลีกเลี่ยงปัญหานี้ได้

เราสามารถเปรียบเทียบ การแปลง Sและการแปลงฟูริเยร์แบบช่วงเวลาสั้น (STFT) ได้^{[ 2 ] [ 8 ]}ก่อนอื่น ในการทดลองจะใช้สัญญาณความถี่สูง สัญญาณความถี่ต่ำ และสัญญาณพัลส์ความถี่สูงเพื่อเปรียบเทียบประสิทธิภาพ คุณลักษณะของการแปลง S ที่มีความละเอียดขึ้นอยู่กับความถี่ทำให้สามารถตรวจจับพัลส์ความถี่สูงได้ ในทางกลับกัน เนื่องจาก STFT ประกอบด้วยความกว้างของหน้าต่างคงที่ จึงทำให้ผลลัพธ์มีความละเอียดน้อยลง ในการทดลองครั้งที่สอง ได้เพิ่มพัลส์ความถี่สูงอีกสองพัลส์ลงในชิปแบบไขว้ ผลลัพธ์คือ การแปลง S ตรวจจับความถี่ทั้งสี่ได้ ในทางกลับกัน STFT ไม่สามารถตรวจจับพัลส์ความถี่สูงสองพัลส์ได้ เทอมไขว้ของพัลส์ความถี่สูงทำให้ STFT มีความถี่เดียวที่ความถี่ต่ำกว่า

• การกรองสัญญาณ^{[ 9 ]}
• การถ่ายภาพด้วยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (MRI) ^{[ 10 ]}
• การตรวจจับความผิดปกติของระบบไฟฟ้า
  • การแปลง Sได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสามารถระบุความผิดปกติบางประเภทได้ เช่น แรงดันตก แรงดันเกิน การหยุดชะงักชั่วขณะ และการเปลี่ยนแปลงแบบสั่น^{[ 11 ]}
  • การแปลง Sยังสามารถนำไปใช้กับความผิดปกติประเภทอื่นๆ เช่น รอยบาก ฮาร์โมนิกที่มีการหย่อนตัวและการขยายตัว เป็นต้น
  • การแปลง Sสร้างเส้นขอบที่เหมาะสมสำหรับการตรวจสอบด้วยสายตาอย่างง่าย อย่างไรก็ตาม การแปลงเวฟเล็ตต้องการเครื่องมือเฉพาะ เช่นการวิเคราะห์มัลติรีเลชันมาตรฐาน
• การวิเคราะห์สัญญาณทางธรณีฟิสิกส์
  • แผ่นดินไหวสะท้อน
  • แผ่นดินไหววิทยาทั่วโลก

• การแปลงลาปลาส
• การแปลงเวฟเล็ต
• การแปลงฟูริเยร์แบบช่วงเวลาสั้น

• Rocco Ditommaso, Felice Carlo Ponzo, Gianluca Auletta (2015). การตรวจจับความเสียหายบนโครงสร้างเฟรม: การประเมินความโค้งโมดอลโดยใช้การแปลงสต็อกเวลล์ภายใต้การกระตุ้นจากแผ่นดินไหว วิศวกรรมแผ่นดินไหวและการสั่นสะเทือนทางวิศวกรรม มิถุนายน 2015 เล่มที่ 14 ฉบับที่ 2 หน้า 265–274
• Rocco Ditommaso, Marco Mucciarelli, Felice C. Ponzo (2010). ตัวกรองแบบ S-Transform ที่ประยุกต์ใช้ในการวิเคราะห์พฤติกรรมพลวัตแบบไม่เชิงเส้นของดินและอาคาร การประชุมวิศวกรรมแผ่นดินไหวแห่งยุโรปครั้งที่ 14 รายงานการประชุม โอห์ริด สาธารณรัฐมาซิโดเนีย 30 สิงหาคม – 3 กันยายน 2010 (ดาวน์โหลดได้จากhttp://roccoditommaso.xoom.it )
• M. Mucciarelli, M. Bianca, R. Ditommaso, MR Gallipoli, A. Masi, C Milkereit, S. Parolai, M. Picozzi, M. Vona (2011) ความเสียหายในสนามระยะไกลบนอาคาร RC: กรณีศึกษาของ NAVELLI ระหว่างลำดับแผ่นดินไหวลาควิลา (อิตาลี) ปี 2009. กระดานข่าววิศวกรรมแผ่นดินไหวดอย : 10.1007/s10518-010-9201- y
• JJ Ding, "เอกสารประกอบการเรียนวิชาการวิเคราะห์ความถี่เวลาและการแปลงเวฟเล็ต" ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยแห่งชาติไต้หวัน (NTU) ไทเป ไต้หวัน 2007
• Jaya Bharata Reddy, Dusmanta Kumar Mohanta และ BM Karan, "การระบุความผิดปกติของระบบไฟฟ้าโดยใช้เทคนิคเวฟเล็ตและเอสทรานส์ฟอร์ม" สถาบันเทคโนโลยี Birla, Mesra, Ranchi-835215, 2004
• B. Boashash, "หมายเหตุเกี่ยวกับการใช้การแจกแจงวิกเนอร์สำหรับการวิเคราะห์สัญญาณความถี่เวลา", IEEE Trans. on Acoust. Speech. and Signal Processing, vol. 26, no. 9, 1987
• R.N. Bracewell, การแปลงฟูริเยร์และการประยุกต์ใช้, บริษัท McGraw Hill Book Company, นิวยอร์ก, 1978
• อีโอ บริกแฮม, การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว , สำนักพิมพ์เพรนติส-ฮอลล์, เอนเกิลวูด คลิฟส์, นิวเจอร์ซีย์, 1974
• Cohen, L. (1989). "การกระจายความถี่ตามเวลา—บทวิจารณ์". Proc. IEEE . 77 (7): 941– 981. CiteSeerX  10.1.1.1026.2853 . doi : 10.1109/5.30749 .
• I. Daubechies, "การแปลงเวฟเล็ต การระบุตำแหน่งเวลา-ความถี่ และการวิเคราะห์สัญญาณ", IEEE Trans. on Information Theory , เล่มที่ 36, ฉบับที่ 5, กันยายน 1990
• Farge, M. (1992). "การแปลงเวฟเล็ตและการประยุกต์ใช้กับการไหลปั่นป่วน" . Annual Review of Fluid Mechanics . 24 : 395– 457. doi : 10.1146/annurev.fluid.24.1.395 .
• D. Gabor, "ทฤษฎีการสื่อสาร", J. Inst. Elect. Eng., vol. 93, no. 3, pp. 429–457, 1946
• Goupillaud, P.; Grossmann, A.; Morlet, J. (1984). "การแปลงแบบไซเคิล-อ็อกเทฟและการแปลงที่เกี่ยวข้องในการวิเคราะห์แผ่นดินไหว" Geoexploration . 23 : 85– 102. doi : 10.1016/0016-7142(84)90025-5 .
• F. Hlawatsch และ GF Boudreuax-Bartels, 1992 "การแสดงสัญญาณเวลา-ความถี่เชิงเส้นและเชิงกำลังสอง", IEEE Signal Processing Magazine, หน้า 21–67
• Rioul, O.; Vetterli, M. (1991). "เวฟเล็ตและการประมวลผลสัญญาณ" (PDF) . IEEE Signal Processing Magazine . 8 (4): 14– 38. Bibcode : 1991ISPM....8...14R . doi : 10.1109/79.91217 . S2CID  13266737 .
• RK Young, ทฤษฎีเวฟเล็ตและการประยุกต์ใช้, สำนักพิมพ์ Kluwer Academic Publishers, ดอร์เดรชท์, 1993