ในทางคณิตศาสตร์แคลคูลัสชูเบิร์ต^{[ 1 ]}เป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ที่ เฮอร์มันน์ ชูเบิร์ตนำเสนอในศตวรรษที่ 19 เพื่อแก้ปัญหาการนับต่างๆ ของเรขาคณิตเชิงโปร เจกทีฟ และถือเป็นส่วนหนึ่งของเรขาคณิตเชิงนับ การวางรากฐานที่เข้มงวดมากขึ้นเป็นเป้าหมายของปัญหาที่ 15 ของฮิลเบิร์ตมันเกี่ยวข้องกับแนวคิดที่ทันสมัยกว่าหลายอย่าง เช่น ชั้นลักษณะเฉพาะและทั้งแง่มุมเชิงอัลกอริทึมและการประยุกต์ใช้ยังคงเป็นที่สนใจในปัจจุบัน บางครั้งคำว่าแคลคูลัสชูเบิร์ตถูกใช้เพื่อหมายถึงเรขาคณิตเชิงนับของปริภูมิย่อยเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์ ซึ่งเทียบเท่ากับการอธิบายวงแหวนโคฮอโมโลยีของกราสส์มันน์โดยประมาณ บางครั้งก็ใช้เพื่อหมายถึงเรขาคณิตเชิงนับทั่วไปของวาไรตี้เชิงพีชคณิตที่เป็นปริภูมิเอกพันธุ์ของกลุ่มลีแบบง่าย ยิ่งไปกว่านั้น โดยทั่วไปแล้วแคลคูลัสชูเบิร์ตบางครั้งก็เข้าใจว่าครอบคลุมการศึกษาคำถามที่คล้ายคลึงกันในทฤษฎีโคฮอโมโลยีทั่วไป

วัตถุที่ชูเบิร์ตแนะนำคือเซลล์ชูเบิร์ต [ ^{2 ] ซึ่ง}เป็น เซต ปิดเฉพาะที่ในกราสส์มันเนียนที่กำหนดโดยเงื่อนไขของการเกิดของปริภูมิย่อยเชิงเส้น ในปริภูมิเชิงฉายที่มี แฟล็กที่กำหนดสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูที่ความหลากหลายของชูเบิร์ต

ทฤษฎีจุดตัด^{[ 3 ]}ของเซลล์เหล่านี้ ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นโครงสร้างผลคูณในวงแหวนโคฮอโมโลยีของกราสส์มันเนียน ซึ่งประกอบด้วยคลาสโคฮอโมโลยี ที่เกี่ยวข้อง ช่วยให้สามารถกำหนดกรณีที่จุดตัดของเซลล์ส่งผลให้เกิดเซตของจุดที่จำกัดได้ โดยเฉพาะ ผลลัพธ์ที่สำคัญคือเซลล์ชูเบิร์ต (หรือมากกว่านั้นคือคลาสของการปิดซาริสกีวงจรชูเบิร์ตหรือวาไรตี้ชูเบิร์ต ) ครอบคลุมวงแหวนโคฮอโมโลยีทั้งหมด

แง่มุมเชิงการจัดเรียงส่วนใหญ่เกิดขึ้นจากการคำนวณจุดตัดของวัฏจักรชูเบิร์ต เมื่อยกมาจากกราสส์มันเนียนซึ่งเป็นปริภูมิเอกพันธุ์ไปสู่กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปที่กระทำต่อปริภูมินั้น คำถามที่คล้ายกันก็เกี่ยวข้องกับการแยกส่วนแบบบรูฮัตและการจำแนกกลุ่มย่อยพาราโบลิก (ในรูป เมทริกซ์ สามเหลี่ยมบล็อก )

แคลคูลัสชูเบิร์ตสามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้วงแหวนโชว์^{[ 3 ]}ของกราสส์มันเนียนโดยที่วัฏจักรการสร้างจะถูกแทนด้วยข้อมูลที่กำหนดทางเรขาคณิต^{[ 4 ]}กำหนดให้กราสส์มันเนียนของระนาบ - ในปริภูมิเวกเตอร์มิติ คง ที่ เป็นและวงแหวนโชว์ของมันเป็น(โปรดทราบว่าบางครั้งกราสส์มันเนียนจะถูกกำหนดเป็นหากปริภูมิเวกเตอร์ไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจน หรือราวกับว่าปริภูมิแวดล้อมและปริภูมิย่อยมิติ - ของมันถูกแทนที่ด้วยการฉายภาพ) การเลือกธงที่สมบูรณ์ (ตามอำเภอใจ)${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$${\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}$${\displaystyle \mathbb {G} (k-1,n-1)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\mathcal {V}}=(V_{1}\subset \cdots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V),\quad \dim {V__{i}=i,\quad i=1,\dots ,n,}$

สำหรับแต่ละทูเปิลของจำนวนเต็มที่ ลดลงอย่างอ่อน โดยที่ ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{k})}$

${\displaystyle nk\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{k}\geq 0,}$

กล่าวคือ สำหรับแต่ละส่วนแบ่งน้ำหนัก

${\displaystyle |\mathbf {a} |=\sum _{i=1}^{k}a_{i},}$

ซึ่งแผนภาพ Youngพอดีกับแผนภาพสี่เหลี่ยมผืนผ้าสำหรับการแบ่งส่วนเราจะเชื่อมโยงวาไรตี้ชูเบิร์ต^{[ 1 ] [ 2 ]} (หรือวัฏจักรชูเบิร์ต ) ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้ ${\displaystyle k\times (n-k)}$${\displaystyle (n-k)^{k}}$${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})=\{w\in \mathbf {Gr} (k,V):\dim(V_{n-k+i-a_{i}}\cap w)\geq i{\text{ for }}i=1,\dots ,k\}.}$

นี่คือการปิดในโทโพโลยี Zariskiของเซลล์ Schubert ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}}):=\{w\in \mathbf {Gr} (k,V):\dim(V_{j}\cap w)=i{\text{ for all }}n-k-a_{i}+i\leq j\leq n-k-a_{i+1}+i,\quad 1\leq j\leq n\}\subset \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}}),}$

ซึ่งใช้เมื่อพิจารณาความคล้ายคลึงกันของเซลล์แทนที่จะใช้ Chow ring โดย Chow ring เป็นปริภูมิเชิงเส้นที่ไม่ทับซ้อนกัน มีมิติ n ซึ่งผลรวมของมันคือ n = n ${\displaystyle |\mathbf {a} |}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$

ลักษณะเฉพาะที่เทียบเท่ากันของเซลล์ชูเบิร์ตอาจแสดงได้ในแง่ของแฟล็กสมบูรณ์คู่${\displaystyle X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})}$

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {V}}}=({\tilde {V}}_{1}\subset {\tilde {V}}_{2}\cdots \subset {\tilde {V}}_{n}=V),}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\tilde {V}}_{i}:=V_{n}\backslash V_{n-i},\quad i=1,\dots ,n\quad (V_{0}:=\emptyset ).}$

จากนั้นจะประกอบด้วยปริภูมิย่อยมิติ เหล่านั้น ซึ่งมีฐาน ประกอบด้วยองค์ประกอบ ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} (k,V)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle ({\tilde {W}}_{1},\dots ,{\tilde {W}}_{k})}$

${\displaystyle {\tilde {W}}_{i}\in {\tilde {V}}_{k+a_{i}-i+1},\quad i=1,\dots ,k}$

ของปริภูมิย่อย${\displaystyle \{{\tilde {V}}_{k+a_{i}-i+1}\}_{i=1,\dots ,k}.}$

เนื่องจากคลาสโฮโมโลยีซึ่งเรียกว่าคลาสชูเบิร์ตไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกแฟล็กที่สมบูรณ์จึงสามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle [\Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})]\in A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} }:=[\Sigma _{\mathbf {a} }]\in A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V)).}$

สามารถแสดงได้ว่าชั้นเหล่านี้เป็นอิสระเชิงเส้นและสร้างวงแหวนชอว์ (Chow ring) เป็นปริภูมิเชิงเส้น (linear span ) ทฤษฎีการตัดกันที่เกี่ยวข้องเรียกว่าแคลคูลัสชูเบิร์ต (Schubert calculus ) สำหรับลำดับที่ กำหนด ชั้นชูเบิร์ตมักจะถูกแทนด้วยชั้นชูเบิร์ตที่กำหนดโดยจำนวนเต็มตัวเดียว(เช่น การแบ่งส่วนแนวนอน) เรียกว่าชั้นพิเศษโดยใช้สูตรของ Giambelliด้านล่าง ชั้นชูเบิร์ตทั้งหมดสามารถสร้างขึ้นจากชั้นพิเศษเหล่านี้ได้ ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}$${\displaystyle a_{j}>0}$${\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}}$${\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j})}}$${\displaystyle \sigma _{a_{1}}}$

ในแหล่งข้อมูลบางแหล่ง^{[ 1 ] [ 2 ]}เซลล์ชูเบิร์ตและวาไรตี้ชูเบิร์ตจะถูกระบุแตกต่างกันเป็นและตามลำดับ โดยที่คือพาร์ติชันเสริมของ ที่มีส่วนประกอบ ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }}$${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}$${\displaystyle S_{\lambda }}$${\displaystyle {\bar {S}}_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbf {a} }$

${\displaystyle \lambda _{i}:=n-k-a_{k-i+1}}$,

ซึ่งแผนภาพ Young นั้นเป็นส่วนประกอบของแผนภาพ Young ที่อยู่ภายในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (กลับด้าน ทั้งในแนวนอนและแนวตั้ง) ${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle k\times (n-k)}$

อีกหนึ่งรูปแบบการกำหนดป้ายกำกับสำหรับและคือและ ตามลำดับ โดยที่ คือดัชนีหลายตัวที่กำหนดโดย ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }}$${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}$${\displaystyle C_{L}}$${\displaystyle {\bar {C}}_{L}}$${\displaystyle L=(L_{1},\dots ,L_{k})\subset (1,\dots ,n)}$

${\displaystyle L_{i}:=n-k-a_{i}+i=\lambda _{k-i+1}+i.}$

จำนวนเต็มเหล่านี้คือ ตำแหน่ง แกนหลักของการแสดงแทนองค์ประกอบของเมทริกซ์ในรูปแบบขั้นบันได ลด รูป ${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{k})}$${\displaystyle X_{\mathbf {a} }}$

เพื่ออธิบายคำจำกัดความ ลองพิจารณาระนาบ ทั่วไป ระนาบ นี้จะมีจุดตัดเป็นศูนย์กับระนาบ อื่นก็ต่อเมื่อ เท่านั้น ในขณะที่ ${\displaystyle k}$${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle V_{j}}$${\displaystyle j\leq n-k}$

${\displaystyle \dim(V_{j}\cap w)=i}$สำหรับ${\displaystyle j=n-k+i\geq n-k.}$

ตัวอย่างเช่น ในระนาบคือปริภูมิคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์อิสระห้าสมการ สมการเหล่านี้โดยทั่วไปจะครอบคลุมเมื่อจำกัดอยู่ในปริภูมิย่อยที่มีในกรณีนี้ปริภูมิคำตอบ (จุดตัดของ กับ ) จะประกอบด้วยเวกเตอร์ศูนย์เท่านั้น อย่างไรก็ตาม ถ้าและจะต้องมีจุดตัดที่ไม่เป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น มิติที่คาดหวังของจุดตัดของและคือจุดตัดของและมีมิติที่คาดหวังและอื่นๆ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (4,9)}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle w}$${\displaystyle V_{j}}$${\displaystyle j=\dim V_{j}\leq 5=9-4}$${\displaystyle V_{j}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \dim(V_{j})+\dim(w)>n=9}$${\displaystyle V_{j}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle V_{6}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle V_{7}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle 2}$

นิยามของวาไรตี้ชูเบิร์ตระบุว่าค่าแรกของที่มีโดยทั่วไปจะเล็กกว่าค่าที่คาดหวังโดยพารามิเตอร์ระนาบ ที่กำหนดโดยข้อจำกัดเหล่านี้จะกำหนดวา ไรตี้ย่อยพิเศษของ^{[ 4 ]}${\displaystyle j}$${\displaystyle \dim(V_{j}\cap w)\geq i}$${\displaystyle n-k+i}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}$

มีการจัดลำดับบางส่วนบนทูเพิลทั้งหมด โดยที่ถ้าสำหรับทุกๆ สิ่งนี้ทำให้เกิดการรวมวาไรตี้ชูเบิร์ต ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {a} \geq \mathbf {b} }$${\displaystyle a_{i}\geq b_{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }\subset \Sigma _{\mathbf {b} }\iff \mathbf {a} \geq \mathbf {b} ,}$

การแสดงให้เห็นว่าการเพิ่มขึ้นของดัชนีสอดคล้องกับการแบ่งย่อยเฉพาะทางที่มากขึ้นของสายพันธุ์ย่อย

วาไรตี้ชูเบิร์ตมีมิติร่วมเท่ากับน้ำหนัก ${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}$

${\displaystyle |\mathbf {a} |=\sum a_{i}}$

ของพาร์ติชันหรืออีกทางหนึ่ง ตามแบบแผนการเขียนสัญลักษณ์ที่ระบุไว้ข้างต้น มิติของมันคือ น้ำหนัก ${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle S_{\lambda }}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}$

${\displaystyle |\lambda |=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}=k(n-k)-|\mathbf {a} |.}$

ของการแบ่งส่วนเสริมในแผนภาพยังรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามมิติ ${\displaystyle \lambda \subset (n-k)^{k}}$${\displaystyle k\times (n-k)}$

สิ่งนี้มีเสถียรภาพภายใต้การรวมของกราสส์มันเนียน นั่นคือ การรวม

${\displaystyle i_{(k,n)}:\mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})\hookrightarrow \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n+1}),\quad \mathbf {C} ^{n}={\text{span}}\{e_{1},\dots ,e_{n}\}}$

กำหนดไว้สำหรับโดย ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})}$

${\displaystyle i_{(k,n)}:w\subset \mathbf {C} ^{n}\mapsto w\subset \mathbf {C} ^{n}\oplus \mathbf {C} e_{n+1}=\mathbf {C} ^{n+1}}$

มีทรัพย์สิน

${\displaystyle i_{(k,n)}^{*}(\sigma _{\mathbf {a} })=\sigma _{\mathbf {a} },}$

และการรวม

${\displaystyle {\tilde {i}}_{(k,n)}:\mathbf {Gr} (k,n)\hookrightarrow \mathbf {Gr} (k+1,n+1)}$

กำหนดโดยการเพิ่มองค์ประกอบพื้นฐานพิเศษ ให้กับ ระนาบแต่ละ ระนาบ ทำให้เกิด ระนาบ ${\displaystyle e_{n+1}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (k+1)}$

${\displaystyle {\tilde {i}}_{(k,n)}:w\mapsto w\oplus \mathbf {C} e_{n+1}\subset \mathbf {C} ^{n}\oplus \mathbf {C} e_{n+1}=\mathbf {C} ^{n+1}}$

เช่นกัน

${\displaystyle {\tilde {i}}_{(k,n)}^{*}(\sigma _{\mathbf {a} })=\sigma _{\mathbf {a} }.}$

ดังนั้น หากและเป็นเซลล์และซับวาไรตีในกราสส์มันเนียนพวกมันก็อาจถูกมองว่าเป็นเซลล์และซับวาไรตีภายในกราสส์มัน เนียน สำหรับคู่ใดๆที่มีและ ได้ เช่น กัน ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{k}(n)}$${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{k}(n)}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(n)}$${\displaystyle X_{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})}$${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})}$${\displaystyle \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})}$${\displaystyle ({\tilde {k}},{\tilde {n}})}$${\displaystyle {\tilde {k}}\geq k}$${\displaystyle {\tilde {n}}-{\tilde {k}}\geq n-k}$

ผลิตภัณฑ์จุดตัดได้รับการกำหนดขึ้นครั้งแรกโดยใช้สูตร ของ PieriและGiambelli

ในกรณีพิเศษนั้นมีสูตรที่ชัดเจนของผลคูณของกับชั้นชูเบิร์ตใดๆที่กำหนดโดย ${\displaystyle \mathbf {b} =(b,0,\ldots ,0)}$${\displaystyle \sigma _{b}}$${\displaystyle \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}}$

${\displaystyle \sigma _{b}\cdot \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}=\sum _{\begin{matrix}|c|=|a|+b\\a_{i}\leq c_{i}\leq a_{i-1}\end{matrix}}\sigma _{\mathbf {c} },}$

โดยที่และคือค่าน้ำหนักของพาร์ติชัน นี่เรียกว่าสูตร Pieriและสามารถใช้ในการกำหนดผลคูณของการตัดกันของคลาส Schubert สองชั้นใดๆ เมื่อรวมกับสูตร Giambelliตัวอย่างเช่น ${\displaystyle |\mathbf {a} |=a_{1}+\cdots +a_{k}}$${\displaystyle |\mathbf {c} |=c_{1}+\cdots +c_{k}}$

${\displaystyle \sigma _{1}\cdot \sigma _{4,2,1}=\sigma _{5,2,1}+\sigma _{4,3,1}+\sigma _{4,2,1,1}.}$

และ

${\displaystyle \sigma _{2}\cdot \sigma _{4,3}=\sigma _{4,3,2}+\sigma _{4,4,1}+\sigma _{5,3,1}+\sigma _{5,4}+\sigma _{6,3}}$

ชั้นชูเบิร์ตสำหรับพาร์ติชันที่มีความยาวใดๆสามารถแสดงได้ในรูปของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีชั้นพิเศษเหล่านั้นเป็นสมาชิก ${\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} }}$${\displaystyle \ell (\mathbf {a} )\leq k}$${\displaystyle (k\times k)}$

${\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{k})}={\begin{vmatrix}\sigma _{a_{1}}&\sigma _{a_{1}+1}&\sigma _{a_{1}+2}&\cdots &\sigma _{a_{1}+k-1}\\\sigma _{a_{2}-1}&\sigma _{a_{2}}&\sigma _{a_{2}+1}&\cdots &\sigma _{a_{2}+k-2}\\\sigma _{a_{3}-2}&\sigma _{a_{3}-1}&\sigma _{a_{3}}&\cdots &\sigma _{a_{3}+k-3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{a_{k}-k+1}&\sigma _{a_{k}-k+2}&\sigma _{a_{k}-k+3}&\cdots &\sigma _{a_{k}}\end{vmatrix}}}$

นี่คือสูตรที่เรียกว่าสูตรของ Giambelliมีรูปแบบเดียวกับเอกลักษณ์ Jacobi-Trudi ตัวแรก ซึ่งแสดง ฟังก์ชัน Schur ใดๆ ในรูปของดีเทอร์มิแนน ต์ โดยใช้ ฟังก์ชันสมมาตรสมบูรณ์${\displaystyle s_{\mathbf {a} }}$${\displaystyle \{h_{j}:=s_{(j)}\}}$

ตัวอย่างเช่น,

${\displaystyle \sigma _{2,2}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}\\\sigma _{1}&\sigma _{2}\end{vmatrix}}=\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}\cdot \sigma _{3}}$

และ

${\displaystyle \sigma _{2,1,1}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}\\\sigma _{0}&\sigma _{1}&\sigma _{2}\\0&\sigma _{0}&\sigma _{1}\end{vmatrix}}.}$

ผลคูณเชิงจุดตัดระหว่างคลาสชูเบิร์ตสองคลาสใดๆ กำหนดโดย ${\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} },\sigma _{\mathbf {b} }}$

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} }\sigma _{\mathbf {b} }=\sum _{\mathbf {c} }c_{\mathbf {a} \mathbf {b} }^{\mathbf {c} }\sigma _{\mathbf {c} },}$

สัมประสิทธิ์Littlewood-Richardsonอยู่ที่ไหน^{[ 5 ]}สูตรPieriเป็นกรณีพิเศษของสิ่งนี้ เมื่อมีความยาว ${\displaystyle \{c_{\mathbf {a} \mathbf {b} }^{\mathbf {c} }\}}$${\displaystyle \mathbf {b} =(b,0,\dots ,0)}$${\displaystyle \ell (\mathbf {b} )=1}$

มีคำอธิบายง่ายๆ เกี่ยวกับวงแหวนโคฮอโมโลยี หรือวงแหวนโชว์ ของกราสส์มันเนียน โดยใช้ชั้นเชิร์นของบันเดิล เวกเตอร์ธรรมชาติสอง ชุด เหนือเรามีลำดับที่แน่นอนของบันเดิลเวกเตอร์เหนือ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle 0\to T\to {\underline {V}}\to Q\to 0}$

โดยที่บันเดิลเชิงสัจพจน์ที่มีไฟเบอร์เหนือองค์ประกอบใดๆคือปริภูมิย่อยนั้นเอง คือบันเดิลเวกเตอร์แบบไม่สำคัญอันดับโดยมีไฟเบอร์เป็น และคือบันเดิลเวกเตอร์ผลหารอันดับโดยมีไฟเบอร์เป็น คลาสเชิร์นของบันเดิลและ คือ ${\displaystyle T}$${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,V)}$${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle \,{\underline {V}}:=\mathbf {Gr} (k,V)\times V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle n-k}$${\displaystyle V/w}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle c_{i}(T)=(-1)^{i}\sigma _{(1)^{i}},}$

พาร์ทิชันที่มีแผนภาพยัง (Young diagram) ประกอบด้วยคอลัมน์เดียวที่มีความยาว เท่าใด${\displaystyle (1)^{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle c_{i}(Q)=\sigma _{i}.}$

ลำดับตรรกะที่ซ้ำซ้อนนี้จึงนำเสนอขนมชิงช้าสวรรค์ (Chow ring) ดังนี้

${\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))={\frac {\mathbb {Z} [c_{1}(T),\ldots ,c_{k}(T),c_{1}(Q),\ldots ,c_{n-k}(Q)]}{(c(T)c(Q)-1)}}.}$

หนึ่งในตัวอย่างคลาสสิกที่วิเคราะห์คือ Grassmannian เนื่องจากมันกำหนดพารามิเตอร์ของเส้นใน. การใช้ Chow ring แคลคูลัสของ Schubert สามารถใช้ในการคำนวณจำนวนเส้นบนพื้นผิวลูกบาศก์ได้^{[ 4 ]}${\displaystyle \mathbf {Gr} (2,4)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (2,4))}$

ร้าน Chow Ring มีการนำเสนอสินค้า

${\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (2,4))={\frac {\mathbb {Z} [\sigma _{1},\sigma _{1,1},\sigma _{2}]}{((1-\sigma _{1}+\sigma _{1,1})(1+\sigma _{1}+\sigma _{2})-1)}}}$

และในฐานะกลุ่มอาเบเลียนแบบมีระดับ^{[ 6 ]}จะได้รับโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{0}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot 1\\A^{2}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{1}\\A^{4}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2}\oplus \mathbb {Z} \cdot \sigma _{1,1}\\A^{6}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,1}\\A^{8}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,2}\\\end{aligned}}}$

โปรดจำไว้ว่า เส้นตรงในให้ปริภูมิย่อยมิติของดังนั้นจึงเป็นสมาชิกของนอกจากนี้ สมการของเส้นตรงสามารถกำหนดได้เป็นภาคตัดของเนื่องจากพื้นผิวลูกบาศก์กำหนดได้เป็นพหุนามลูกบาศก์เอกพันธุ์ทั่วไป ดังนั้นจึงกำหนดได้เป็นภาคตัดทั่วไปเส้นตรงเป็นวาไรตี้ย่อยของก็ต่อเมื่อภาคตัดเป็นศูนย์บนดังนั้นชั้นออยเลอร์ของสามารถอินทิเกรตเหนือเพื่อหาจำนวนจุดที่ภาคตัดทั่วไปเป็นศูนย์บนเพื่อให้ได้ชั้นออยเลอร์ต้องคำนวณชั้นเชิร์นทั้งหมดของ ซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)\cong \mathbf {Gr} (2,4)}$${\displaystyle \Gamma (\mathbb {G} (1,3),T^{*})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {G} (1,3),{\text{Sym}}^{3}(T^{*}))}$${\displaystyle L\subset \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [L]\in \mathbb {G} (1,3)}$${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})}$${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)}$${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)}$${\displaystyle T^{*}}$

${\displaystyle c(T^{*})=1+\sigma _{1}+\sigma _{1,1}}$

สูตรการแยกส่วนจึงมีรูปแบบเป็นสมการอย่างเป็นทางการดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}c(T^{*})&=(1+\alpha )(1+\beta )\\&=1+\alpha +\beta +\alpha \cdot \beta \end{aligned}},}$

โดยที่และสำหรับมัดเส้นแบบเป็นทางการ สมการการแยกจะให้ความสัมพันธ์ ${\displaystyle c({\mathcal {L}})=1+\alpha }$${\displaystyle c({\mathcal {M}})=1+\beta }$${\displaystyle {\mathcal {L}},{\mathcal {M}}}$

${\displaystyle \sigma _{1}=\alpha +\beta }$และ.${\displaystyle \sigma _{1,1}=\alpha \cdot \beta }$

เนื่องจากสามารถมองได้ว่าเป็นผลรวมโดยตรงของกลุ่มเส้นที่เป็นทางการ ${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})}$

${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})={\mathcal {L}}^{\otimes 3}\oplus ({\mathcal {L}}^{\otimes 2}\otimes {\mathcal {M}})\oplus ({\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {M}}^{\otimes 2})\oplus {\mathcal {M}}^{\otimes 3}}$

ซึ่งคลาส Chern ทั้งหมดคือ

${\displaystyle c({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))=(1+3\alpha )(1+2\alpha +\beta )(1+\alpha +2\beta )(1+3\beta ),}$

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{4}({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))&=3\alpha (2\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )3\beta \\&=9\alpha \beta (2(\alpha +\beta )^{2}+\alpha \beta )\\&=9\sigma _{1,1}(2\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=27\sigma _{2,2}\,,\end{aligned}}}$

โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า

${\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2,1}\sigma _{1}=\sigma _{2,2}}$และ${\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1,1}=\sigma _{2,2}.}$

เนื่องจากเป็นคลาสสูงสุด ดังนั้นปริพันธ์จึงเป็น ${\displaystyle \sigma _{2,2}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {G} (1,3)}27\sigma _{2,2}=27.}$

ดังนั้น จึงมีเส้นอยู่บนพื้นผิวทรงลูกบาศก์ ${\displaystyle 27}$

• เรขาคณิตเชิงนับ
• ชามริง
• ทฤษฎีจุดตัด
• กราสส์มันเนียน
• สูตรของจิอัมเบลลี
• สูตรของปิเอรี
• คลาสเชิร์น
• ควินติกสามเท่า
• สมมติฐานสมมาตรแบบกระจก