ในทางคณิตศาสตร์ พหุ นามชูเบิร์ต (Schubert polynomials)เป็นการขยายความของ พหุ นามชูร์ (Schur polynomials)ซึ่งแสดงถึงชั้นโคฮอโมโลยีของวัฏจักรชูเบิร์ต (Schubert cycles ) ในวาไรตี้แฟลก (flag varieties ) พหุนามเหล่านี้ได้รับการแนะนำโดยLascoux & Schützenberger (1982)และตั้งชื่อตาม เฮอร์มัน น์ ชูเบิร์ต (Hermann Schubert )

Lascoux (1995)ได้บรรยายถึงประวัติของพหุนามชูเบิร์ต

พหุนามชูเบิร์ตเป็นพหุนามในตัวแปรที่ขึ้นอยู่กับสมาชิกของกลุ่มสมมาตรอนันต์ของการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด โดย ตรึงสมาชิกไว้เกือบทั้งหมด ยกเว้นสมาชิกจำนวนจำกัด พหุนามเหล่านี้เป็นฐานสำหรับวงแหวนพหุนามในตัวแปรจำนวนอนันต์ ${\displaystyle {\mathfrak {S}__{w}}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$${\displaystyle w}$${\displaystyle S_{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ]}$

โคฮอโมโลยีของแมนิโฟลด์แฟล็กคือโดยที่คือไอเดียลที่สร้างขึ้นโดยฟังก์ชันสมมาตรเอกพันธุ์ที่มีดีกรีเป็นบวก พหุนามชูเบิร์ตคือพหุนามเอกพันธุ์ ที่มีดีกรีเพียงตัวเดียว ที่แสดงถึงวัฏจักรชูเบิร์ตของในโคฮอโมโลยีของแมนิโฟลด์แฟล็กสำหรับค่า ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอทั้งหมด${\displaystyle {\text{Fl}}(m)}$${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}]/I,}$${\displaystyle I}$${\displaystyle {\mathfrak {S}__{w}}$${\displaystyle \ell (w)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle {\text{Fl}}(m)}$${\displaystyle m.}$

• ถ้าเป็นการเรียงสับเปลี่ยนที่มีความยาวมากที่สุดในนั้น${\displaystyle w_{0}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w_{0}}=x_{1}^{n-1}x_{2}^{n-2}\cdots x_{n-1}^{1}}$

• ${\displaystyle \partial _{i}{\mathfrak {S}}_{w}={\mathfrak {S}}_{ws_{i}}}$ถ้าคือการสลับตำแหน่งและคือตัวดำเนินการผลต่างหารที่แปลงเป็น${\displaystyle w(i)>w(i+1)}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle (i,i+1)}$${\displaystyle \partial _{i}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle (P-s_{i}P)/(x_{i}-x_{i+1})}$

พหุนามชูเบิร์ตสามารถคำนวณได้แบบเวียนซ้ำจากคุณสมบัติทั้งสองนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้หมายความว่า ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}=\partial _{w^{-1}w_{0}}x_{1}^{n-1}x_{2}^{n-2}\cdots x_{n-1}^{1}}$

คุณสมบัติอื่นๆ ได้แก่

• ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{id}=1}$

• ถ้าเป็นการสลับตำแหน่งแล้ว.${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle (i,i+1)}$${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{s_{i}}=x_{1}+\cdots +x_{i}}$

• ถ้าสำหรับทุกค่าแล้วคือพหุนามชูร์โดยที่คือการแบ่งส่วนโดยเฉพาะอย่างยิ่ง พหุนามชูร์ทั้งหมด (ที่มีตัวแปรจำนวนจำกัด) เป็นพหุนามชูเบิร์ต${\displaystyle w(i)<w(i+1)}$${\displaystyle i\neq r}$${\displaystyle {\mathfrak {S}__{w}}$${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\ldots ,x_{r})}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle (w(r)-r,\ldots ,w(2)-2,w(1)-1)}$

• พหุนามชูเบิร์ตมีสัมประสิทธิ์เป็นบวก กฎสมมติฐานเกี่ยวกับสัมประสิทธิ์ของพหุนามเหล่านี้ถูกเสนอโดยริชาร์ด พี. สแตนลีย์และได้รับการพิสูจน์ในบทความสองฉบับ ฉบับหนึ่งโดยเซอร์เกย์ โฟมินและสแตนลีย์ และอีกฉบับโดยซารา บิลลีย์วิลเลียม โจคุช และสแตนลีย์

• พหุนามชูเบิร์ตสามารถมองได้ว่าเป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดเหนือวัตถุเชิงคอมบินาทอริกบางอย่างที่เรียกว่าpipe dreamsหรือrc-graphsซึ่งมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับหน้าโคแกนลดรูป (ที่แนะนำในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของมิคาอิล โคแกน) ซึ่งเป็นหน้าพิเศษของโพลีโทปเกลฟานด์-เซตลิน

• พหุนามชูเบิร์ตยังสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมถ่วงน้ำหนักของวัตถุที่เรียกว่า " ความฝันแบบไร้สิ่งกีดขวาง" (bumpless pipe dreams )

ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{51423}(x)=x_{1}x_{3}^{2}x_{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}x_{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}^{2}x_{4}x_{2}.}$

เนื่องจากพหุนามชูเบิร์ตเป็นฐาน-basis จึงมีสัมประสิทธิ์ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งทำให้ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle c_{\beta \gamma }^{\alpha }}$

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{\beta }{\mathfrak {S}}_{\gamma }=\sum _{\alpha }c_{\beta \gamma }^{\alpha }{\mathfrak {S}}_{\alpha }.}$

สิ่งเหล่านี้สามารถมองได้ว่าเป็นการขยายความทั่วไปของสัมประสิทธิ์ลิตเติลวูด-ริชาร์ดสันที่อธิบายโดยกฎลิตเติลวูด-ริชาร์ดสันด้วยเหตุผลทางพีชคณิตเรขาคณิต ( ทฤษฎีบทความตัดขวางของไคลแมนในปี 1974 ) สัมประสิทธิ์เหล่านี้เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และเป็นปัญหาสำคัญในทฤษฎีการแทนและการจัดเรียงเชิงคอมบินาทอริกที่จะกำหนดกฎเชิงคอมบินาทอริกสำหรับจำนวนเหล่านี้

พหุนามชูเบิร์ ต คู่คือ พหุนามในเซตตัวแปรอนันต์สองเซต ซึ่งกำหนดพารามิเตอร์โดยองค์ประกอบwของกลุ่มสมมาตร อนันต์ ซึ่งจะกลายเป็นพหุนามชูเบิร์ตปกติเมื่อตัวแปรทั้งหมดเป็น${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle 0}$

พหุนามชูเบิร์ตคู่มีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติดังต่อไปนี้ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )=\prod \limits _{i+j\leq n}(x_{i}-y_{j})}$เมื่อใดจึงเป็นการเรียงสับเปลี่ยนที่มีความยาวมากที่สุด${\displaystyle w}$${\displaystyle 1,\ldots ,n}$

• ${\displaystyle \partial _{i}{\mathfrak {S}}_{w}={\mathfrak {S}}_{ws_{i}}}$ถ้า${\displaystyle w(i)>w(i+1).}$

พหุนามชูเบิร์ตคู่สามารถนิยามได้ดังนี้

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x,y)=\sum _{w=v^{-1}u{\text{ and }}\ell (w)=\ell (u)+\ell (v)}{\mathfrak {S}}_{u}(x){\mathfrak {S}}_{v}(-y).}$

Fomin, Gelfand และ Postnikov (1997)ได้นำเสนอพหุนามชูเบิร์ตควอนตัม ซึ่งมีความสัมพันธ์กับโคฮอโมโลยีควอนตัม (ขนาดเล็ก)ของแมนิโฟลด์แฟลกในลักษณะเดียวกับที่พหุนามชูเบิร์ตทั่วไปมีต่อโคฮอโมโลยีทั่วไป

ฟุลตัน (1999)ได้นำเสนอพหุนามชูเบิร์ตสากล ซึ่งเป็นการขยายความของพหุนามชูเบิร์ตแบบคลาสสิกและแบบควอนตัม นอกจากนี้ เขายังได้อธิบายถึงพหุนามชูเบิร์ตคู่สากล ซึ่งเป็นการขยายความของพหุนามชูเบิร์ตคู่ด้วย

• ฟังก์ชันสมมาตรของสแตนลีย์
• พหุนามโคสแตนต์
• สูตรของมงค์ให้ผลคูณของพหุนามชูเบิร์ตเชิงเส้นและพหุนามชูเบิร์ต
• พีชคณิตนิล-ค็อกเซเตอร์