ในทางคณิตศาสตร์พหุนามคอสแตนต์ซึ่งตั้งชื่อตามเบอร์แทรม คอสแตนต์เป็นฐานที่ชัดเจนของวงแหวนพหุนามเหนือวงแหวนพหุนามที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้กลุ่มสะท้อนจำกัดของระบบราก

ถ้ากลุ่มสะท้อนWสอดคล้องกับกลุ่ม Weylของกลุ่มกึ่งง่ายแบบ กะทัดรัด Kที่มีทอรัสสูงสุดTแล้ว พหุนาม Kostant จะอธิบายโครงสร้างของโคฮอโมโลยี de Rhamของแมนิโฟลด์ธง ทั่วไป K / T ซึ่ง สมมาตรกับG / B ด้วย โดยที่Gคือการทำให้เป็นเชิงซ้อนของKและBคือกลุ่มย่อย Borel ที่สอดคล้อง กันArmand Borelแสดงให้เห็นว่าวงแหวนโคฮอโมโลยี ของมัน สมมาตรกับผลหารของวงแหวนพหุนามโดยอุดมคติที่สร้างขึ้นโดยพหุนามเอกพันธุ์ไม่แปรเปลี่ยนที่มีดีกรีบวก วงแหวนนี้ได้รับการพิจารณาแล้วโดยClaude Chevalleyในการสร้างรากฐานของโคฮอโมโลยีของกลุ่ม Lie แบบกะทัดรัดและปริภูมิเอกพันธุ์ ของพวกเขา ร่วมกับAndré Weil , Jean-Louis KoszulและHenri Cartanการมีอยู่ของฐานดังกล่าวถูกใช้โดย Chevalley เพื่อพิสูจน์ว่าวงแหวนของตัวแปรไม่แปรเปลี่ยนนั้นเป็นวงแหวนพหุนามเองเบิร์นสไตน์, เกลฟานด์และเกลฟานด์ (1973)และเดมาซูร์ (1973)ได้ให้รายละเอียดเกี่ยวกับพหุนามคอสแตนต์ไว้ อย่างอิสระ โดยใช้เป็นเครื่องมือในการทำความเข้าใจแคลคูลัสชูเบิร์ตของแมนิโฟลด์แฟลก พหุนามคอสแตนต์มีความสัมพันธ์กับ พหุ นามชูเบิร์ตที่กำหนดในเชิงการจัดเรียงโดยลาสคูซ์และชูทเซนเบอร์เกอร์ (1982)สำหรับแมนิโฟลด์แฟลกแบบคลาสสิก เมื่อG = SL(n, C ) โครงสร้างของพหุนามเหล่านี้ถูกควบคุมโดยตัวดำเนินการผลต่างที่เกี่ยวข้องกับระบบราก ที่สอดคล้องกัน

สไตน์เบิร์ก (1975)ได้กำหนดฐานที่คล้ายคลึงกันเมื่อวงแหวนพหุนามถูกแทนที่ด้วยวงแหวนของเลขชี้กำลังของแลตทิซน้ำหนักหากKเป็นปริภูมิเชื่อมต่อแบบง่ายวงแหวนนี้สามารถระบุได้ว่าเป็นวงแหวนการแสดง แทน R ( T ) และ วงแหวนย่อย W -invariant ว่าเป็นR ( K ) ฐานของสไตน์เบิร์กได้รับแรงบันดาลใจอีกครั้งจากปัญหาเกี่ยวกับโทโพโลยีของปริภูมิเอกพันธุ์ ฐานนี้เกิดขึ้นในการอธิบายทฤษฎีK - equivariantของK / T

ให้ Φ เป็นระบบรากในปริภูมิผลคูณภายในจริงมิติจำกัดVที่มีกลุ่มเวล์Wให้ Φ ⁺เป็นเซตของรากบวก และ Δ เป็นเซตของรากเชิงเดี่ยวที่สอดคล้องกัน ถ้า α เป็นรากแล้วs จะแทนตัวดำเนินการสะท้อนที่สอดคล้องกัน รากถือเป็นพหุนามเชิงเส้นบนVโดยใช้ผลคูณภายใน α( v ) = (α, v ) การเลือก Δ ทำให้เกิดลำดับบรูฮัตบนกลุ่มเวล์ ซึ่งกำหนดโดยวิธีการเขียนองค์ประกอบอย่างน้อยที่สุดเป็นผลคูณของการสะท้อนรากเชิงเดี่ยว ความยาวขั้นต่ำสำหรับองค์ประกอบsจะถูกแทนด้วย ${\displaystyle \ell (s)}$เลือกสมาชิกvในVโดยที่α ( v ) > 0 สำหรับทุกรากบวก

ถ้า α เป็นรากเดี่ยวที่มีตัวดำเนินการสะท้อนs

${\displaystyle s_{i}x=x-2{(x,\alpha _{i}) \over (\alpha _{i},\alpha _{i})}\alpha _{i},}$

จากนั้นตัวดำเนินการผลต่างหาร ที่สอดคล้องกัน จะถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \delta _{i}f={ff\circ s_{i} \over \alpha _{i}}.}$

ถ้า${\displaystyle \ell (s)=m}$และsมีการแสดงออกที่ลดลง

${\displaystyle s=s_{i_{1}}\cdots s_{i_{m}},}$

แล้ว

${\displaystyle \delta _{s}=\delta _{i_{1}}\cdots \delta _{i_{m}}}$

เป็นอิสระจากการแสดงออกที่ลดลง นอกจากนี้

${\displaystyle \delta _{s}\delta _{t}=\delta _{st}}$

ถ้า${\displaystyle \ell (st)=\ell (s)+\ell (t)}$และ 0 ในกรณีอื่นๆ

ถ้าw เป็นองค์ประกอบที่ยาวที่สุดของWซึ่งเป็นองค์ประกอบที่มีความยาวมากที่สุด หรือเทียบเท่ากับองค์ประกอบที่ส่ง Φ ⁺ไปยัง −Φ ⁺แล้ว

${\displaystyle \delta _{w_{0}}f={\sum _{s\in W}\det s\,f\circ s \over \prod _{\alpha >0}\alpha }.}$

โดยทั่วไปแล้ว

${\displaystyle \delta _{s}f={\det s\,f\circ s+\sum _{t<s}a_{s,t}\,f\circ t \over \prod _{\alpha >0,\,s^{-1}\alpha <0}\alpha }}$

สำหรับค่าคงที่บางค่า เช่นa .

ชุด

${\displaystyle d=|W|^{-1}\prod _{\alpha >0}\alpha .}$

และ

${\displaystyle P_{s}=\delta _{s^{-1}w_{0}}d.}$

ดังนั้นP จึงเป็นพหุนามเอกพันธุ์ดีกรี${\displaystyle \ell (s)}$.

พหุนามเหล่านี้คือพหุนามโคสแตนต์

ทฤษฎีบท พหุ นามKostant เป็นฐานอิสระของวงแหวนพหุนามเหนือพหุนาม W-invariant

ในความเป็นจริงเมทริกซ์

${\displaystyle N_{st}=\delta _{s}(P_{t})}$

เป็นรูปสามเหลี่ยมเอกภาคสำหรับลำดับทั้งหมด ใดๆ ที่s ≥ tหมายความว่า${\displaystyle \ell (s)\geq \ell (t)}$.

เพราะฉะนั้น

${\displaystyle \det N=1.}$

ดังนั้นถ้า

${\displaystyle f=\sum _{s}a_{s}P_{s}}$

โดยที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้Wแล้ว

${\displaystyle \delta _{t}(f)=\sum _{s}\delta _{t}(P_{s})a_{s}.}$

ดังนั้น

${\displaystyle a_{s}=\sum _{t}M_{s,t}\delta _{t}(f),}$

ที่ไหน

${\displaystyle M=N^{-1}}$

เมทริกซ์รูปสามเหลี่ยมเอกภาคอีกเมท ริกซ์หนึ่งที่มีสมาชิกเป็นพหุนาม สามารถตรวจสอบได้โดยตรงว่าa ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้W

ในความเป็นจริง δ สอดคล้องกับคุณสมบัติการอนุพันธ์

${\displaystyle \delta _{i}(fg)=\delta _{i}(f)g+(f\circ s_{i})\delta _{i}(g).}$

เพราะฉะนั้น

${\displaystyle \delta _{i}\delta _{s}(f)=\sum _{t}\delta _{i}(\delta _{s}(P_{t}))a_{t})=\sum _{t}(\delta _{s}(P_{t})\circ s_{i})\delta _{i}(a_{t})+\sum _{t}\delta _{i}\delta _{s}(P_{t})a_{t}.}$

เนื่องจาก

${\displaystyle \delta _{i}\delta _{s}=\delta _{s_{i}s}}$

หรือ 0 ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า

${\displaystyle \sum _{t}\delta _{s}(P_{t})\,\delta _{i}(a_{t})\circ s_{i}=0}$

ดังนั้นโดยอาศัยคุณสมบัติผกผันของN

${\displaystyle \delta _{i}(a_{t})=0}$

สำหรับทุกi คือtไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้W

ดังที่กล่าวมาข้างต้น ให้ Φ เป็นระบบรากในปริภูมิผลคูณภายในจริงVและ Φ ⁺เป็นเซตย่อยของรากบวก จากข้อมูลเหล่านี้ เราจะได้เซตย่อย Δ = { α , α , ..., α } ของรากเชิงเดี่ยว ซึ่งก็คือโครูท

${\displaystyle \alpha _{i}^{\vee }=2(\alpha _{i},\alpha _{i})^{-1}\alpha _{i},}$

และน้ำหนักพื้นฐาน λ , λ , ..., λ เป็นฐานคู่ของโครูท

สำหรับแต่ละองค์ประกอบsในWให้ Δs เซตย่อยของ Δ ที่ประกอบด้วยรากเชิงเดี่ยวที่สอดคล้องกับs ⁻¹ α < 0 และกำหนด

${\displaystyle \lambda _{s}=s^{-1}\sum _{\alpha _{i}\in \Delta _{s}}\lambda _{i},}$

โดยผลรวมจะ ถูกคำนวณในโครงข่ายน้ำหนักP

เซตของการรวมเชิงเส้นของเลขชี้กำลังe ^μที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มสำหรับ μ ในPจะกลายเป็นวงแหวนเหนือZที่สมสัณฐานกับพีชคณิตกลุ่มของPหรือเทียบเท่ากับวงแหวนการแสดงแทน R ( T ) ของTโดยที่Tเป็นทอรัสสูงสุดในK ซึ่งเป็น กลุ่ม Lieกึ่งง่ายที่เชื่อมต่ออย่างง่าย กระชับ และเชื่อมต่อกันโดยมีระบบราก Φ ถ้าWคือกลุ่ม Weyl ของ Φ แล้ว วงแหวนการแสดงแทนR ( K )ของKสามารถระบุได้ว่าเป็นR ( T ) ^W

ทฤษฎีบทของสไตน์เบิร์กเลขชี้กำลัง λ ( s ในW ) เป็นฐานอิสระสำหรับวงแหวนของเลขชี้กำลังเหนือวงแหวนย่อยของเลขชี้กำลังที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้W

ให้ ρ แทนผลรวมครึ่งหนึ่งของรากบวก และAแทนตัวดำเนินการแอนติสมมาตร

${\displaystyle A(\psi )=\sum _{s\in W}(-1)^{\ell (s)}s\cdot \psi .}$

รากบวก β ที่มีs β เป็นบวก สามารถมองได้ว่าเป็นเซตของรากบวกสำหรับระบบรากบนปริภูมิย่อยของVโดยรากเหล่านั้นคือรากที่ตั้งฉากกับ s.λ กลุ่ม Weyl ที่สอดคล้องกันจะเท่ากับตัวรักษาเสถียรภาพของλ ในWซึ่งสร้างขึ้นจากการสะท้อนแบบง่ายs สำหรับที่s α เป็นรากบวก

ให้MและNเป็นเมทริกซ์

${\displaystyle M_{ts}=t(\lambda _{s}),\,\,N_{st}=(-1)^{\ell (t)}\cdot t(\psi _{s}),}$

โดยที่ ψ กำหนดโดยน้ำหนักs ⁻¹ ρ - λ จากนั้นเมทริกซ์

${\displaystyle B_{s,s'}=\Omega ^{-1}(NM)_{s,s'}={A(\psi _{s}\lambda _{s'}) \over \Omega }}$

เป็นรูปสามเหลี่ยมเมื่อเทียบกับลำดับรวมใดๆ บนWโดยที่s ≥ tหมายความว่า${\displaystyle \ell (s)\geq \ell (t)}$สไตน์เบิร์กพิสูจน์ว่าค่าในเมทริกซ์Bเป็น ผลรวมเลขชี้กำลังที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลง Wยิ่งไปกว่านั้น ค่าในแนวทแยงมุมทั้งหมดเท่ากับ 1 ดังนั้นเมทริกซ์ B จึงมีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 ด้วยเหตุนี้ เมทริกซ์ผกผันCจึงมีรูปแบบเดียวกัน กำหนดให้

${\displaystyle \varphi _{s}=\sum C_{s,t}\psi _{t}.}$

ถ้า χ เป็นผลรวม เลขชี้กำลังใดๆ ก็จะได้ว่า

${\displaystyle \chi =\sum _{s\in W}a_{s}\lambda _{s}}$

โดยที่s ผลรวม เลขชี้กำลังที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามW

${\displaystyle a_{s}={A(\varphi _{s}\chi ) \over \Omega }.}$

อันที่จริง นี่คือคำตอบเดียวของระบบสมการนี้

${\displaystyle t\chi =\sum _{s\in W}t(\lambda _{s})\,\,a_{s}=\sum _{s}M_{t,s}a_{s}.}$