ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในสาขาพีชคณิตที่เรียกว่าทฤษฎีการแทนวงแหวนการแทน (หรือวงแหวนกรีนตามชื่อของเจ.เอ. กรีน ) ของกลุ่มคือวงแหวนที่สร้างขึ้นจากตัวแทนเชิงเส้น มิติจำกัดทั้งหมด ( ชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของ) ของกลุ่ม องค์ประกอบของวงแหวนการแทนบางครั้งเรียกว่าตัวแทนเสมือน^{[ 1 ]}สำหรับกลุ่มที่กำหนด วงแหวนจะขึ้นอยู่กับฟิลด์ ฐาน ของตัวแทน กรณีของสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนได้รับการพัฒนามากที่สุด แต่กรณีของฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีลักษณะเฉพาะpซึ่งกลุ่มย่อยSylow pเป็นแบบวัฏจักรก็สามารถเข้าถึงได้ในทางทฤษฎีเช่นกัน

กำหนดให้กลุ่มGและฟิลด์FสมาชิกของวงแหวนแทนR ( G ) ของกลุ่ม G คือผลต่างเชิงรูปธรรมของชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของ ตัวแทน F มิติจำกัด ของGสำหรับโครงสร้างวงแหวน การบวกจะทำโดยการบวกโดยตรงของตัวแทน และการคูณจะทำโดยผลคูณเทนเซอร์ของตัวแทน เหล่านั้น เหนือFเมื่อละเว้นF จากสัญลักษณ์ เช่นใน R ( G ) แล้วFจะถูกถือว่าเป็นฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนโดยปริยาย

วงแหวนการแทนของGคือวงแหวน Grothendieckของหมวดหมู่ของการแทนแบบมิติจำกัดของG

• สำหรับการแสดงแทนเชิงซ้อนของกลุ่มวัฏจักรอันดับ n วงแหวนการแสดงแทนR ( C ) จะสมสัณฐานกับ Z [ X ]/( X ⁿ  −  1) โดยที่Xสอดคล้องกับการแสดงแทนเชิงซ้อนที่ส่งตัวสร้างของกลุ่มไปยัง ราก ที่n ดั้งเดิมของเอกภาพ
• โดยทั่วไปแล้ว วงแหวนการแทนเชิงซ้อนของกลุ่มอาเบเลียนจำกัด อาจระบุได้ว่าเป็นวงแหวนกลุ่มของกลุ่มอักขระ
• สำหรับ การแสดง แทนเชิงตรรกะของกลุ่มวัฏจักรอันดับ 3 วงแหวนการแสดงแทนR (C ) จะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับZ [ X ]/( X ²  − X − 2) โดยที่Xสอดคล้องกับ การแสดงแทนเชิงตรรกะ ที่ไม่สามารถลดทอนได้ของมิติ 2   
• สำหรับการแสดงแทนแบบโมดูลาร์ของกลุ่มวัฏจักรอันดับ 3 เหนือฟิลด์Fที่มีลักษณะเฉพาะ 3 วงแหวนการแสดงแทนR ( C ) จะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับZ [ X , Y ]/( X ²  − Y − 1, XY − 2 Y , Y ² − 3 Y )       
• วงแหวนการแสดงแทนแบบต่อเนื่องR (S ¹ ) สำหรับกลุ่มวงกลมเป็นไอโซมอร์ฟิกกับZ [ X , X ⁻¹ ] วงแหวนของ การแสดง แทนจริงเป็นวงแหวนย่อยของR ( G ) ขององค์ประกอบที่ตรึงไว้โดยการผกผันบนR ( G ) ที่กำหนดโดยX ↦ X ⁻¹
• วงแหวนR ( S ) สำหรับกลุ่มสมมาตรดีกรีสามเป็นไอโซมอร์ฟิกกับZ [ X , Y ]/( XY  − Y , X ² − 1, Y ² − X − Y − 1) โดยที่Xคือ การแทนสลับมิติ 1 มิติและYคือ การแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ มิติ2 มิติของS          

การแสดงผลเชิงซ้อนมิติจำกัดใดๆ ρ ของกลุ่มGกำหนดฟังก์ชัน χ: G →${\displaystyle \mathbb {C} }$โดยใช้สูตร χ( g ) = tr(ρ( g )) ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าฟังก์ชันชั้น (class function ) ซึ่งหมายความว่ามันมีค่าคงที่ในแต่ละชั้นสมมูล (conjugacy class ) ของG ให้ C ( G ) แทนวงแหวนของฟังก์ชันชั้นที่มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อนแผนที่ที่ส่งชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของการแสดงแทนไปยังอักขระของมันจะให้โฮโมมอร์ฟิซึมR ( G ) → C ( G ) และเมื่อGเป็นเซตจำกัด ฟังก์ชันนี้จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งดังนั้นR ( G ) สามารถระบุได้ว่าเป็นวงแหวนย่อยของC ( G )

ในกรณีของกลุ่มจำกัด โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนR ( G ) → C ( G ) นี้สามารถขยายไปเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของพีชคณิตได้ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {Z} }}$R ( G ) → C ( G ) เนื่องจากคลาสไอโซมอร์ฟิซึมของการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ของกลุ่มจำกัดก่อให้เกิดฐานของ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {Z} }}$R ( G ) ในขณะที่ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของชั้นการสมมูลกันก่อให้เกิดฐานของC ( G ) ซึ่งแสดงให้เห็นว่ากลุ่มจำกัดมีชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้มากเท่ากับจำนวนชั้นการสมมูลกัน^{[ 2 ]}

สำหรับกลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันแบบกะทัดรัด R ( G ) จะสม isomorphic กับวงแหวนย่อยของR ( T ) (โดยที่T เป็นทอรัสสูงสุด) ซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันคลาสที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การกระทำของกลุ่ม Weyl (Atiyah และ Hirzebruch, 1961) สำหรับ กลุ่ม Lieแบบกะทัดรัดทั่วไปโปรดดู Segal (1968)

เมื่อกำหนดตัวแทนของGและจำนวนธรรมชาติnแล้ว เราสามารถสร้างกำลังภายนอกลำดับที่nของตัวแทนนั้นได้ ซึ่งก็คือตัวแทนของG อีกครั้งหนึ่ง สิ่งนี้ทำให้เกิดการดำเนินการ λ ⁿ : R ( G ) → R ( G ) ด้วยการดำเนินการเหล่านี้R ( G ) จึงกลายเป็นวงแหวนλ 

การดำเนินการของ AdamsบนวงแหวนการแสดงแทนR ( G ) คือแผนที่ Ψ ^kที่มีลักษณะเฉพาะโดยผลกระทบต่ออักขระ χ:

${\displaystyle \Psi ^{k}\chi (g)=\chi (g^{k})\ .}$

การดำเนินการ Ψ ^kเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริงจากR ( G ) ไปยังตัวมันเอง และบนการแสดงแทนρที่มีมิติd

${\displaystyle \Psi ^{k}(\rho )=N_{k}(\Lambda ^{1}\rho ,\Lambda ^{2}\rho ,\ldots ,\Lambda ^{d}\rho )\ }$

โดยที่ Λ ⁱ ρคือกำลังภายนอกของρและN คือ ผลรวมกำลังที่ kซึ่งแสดงเป็นฟังก์ชันของฟังก์ชันสมมาตรพื้นฐานd ของ ตัวแปรd ตัว