ทฤษฎีการแทนแบบโมดูลาร์เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์และเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีการแทนแบบโมดูลาร์ที่ศึกษาการแทนเชิงเส้นของกลุ่มจำกัดเหนือฟิลด์K ที่มี ลักษณะ เฉพาะp เป็นบวก ซึ่งจำเป็นต้องเป็นจำนวนเฉพาะนอกจากจะมีแอปพลิเคชันในทฤษฎีกลุ่มแล้ว การแทนแบบโมดูลาร์ยังเกิดขึ้นตามธรรมชาติในสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ เช่นเรขาคณิตเชิงพีชคณิตทฤษฎีการเข้ารหัส คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงและทฤษฎีจำนวน

ในทฤษฎีกลุ่มจำกัดผลลัพธ์เชิงลักษณะเฉพาะ ที่ ริชาร์ด บราวเออร์ พิสูจน์ โดยใช้ทฤษฎีการแทนแบบโมดูลาร์มีบทบาทสำคัญในความก้าวหน้าช่วงแรกๆ ของการจำแนกกลุ่มง่ายจำกัดโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับกลุ่มง่ายที่มีการกำหนดลักษณะเฉพาะไม่สามารถทำได้ด้วยวิธีการทางทฤษฎีกลุ่มอย่างเดียว เนื่องจากกลุ่มย่อยไซโลว์ 2 ของกลุ่ม เหล่านั้น มีขนาดเล็กเกินไปในความหมายที่เหมาะสม นอกจากนี้ ผลลัพธ์ทั่วไปเกี่ยวกับการฝังตัวขององค์ประกอบอันดับ 2 ในกลุ่มจำกัดที่เรียกว่าทฤษฎีบท Z* ซึ่ง จอร์จ กลอเบอร์แมนพิสูจน์โดยใช้ทฤษฎีที่บราวเออร์พัฒนาขึ้นนั้น มีประโยชน์อย่างยิ่งในโครงการจำแนก กลุ่ม

ถ้าลักษณะเฉพาะpของKไม่หารลงตัวกับอันดับ | G | แล้ว การแสดงผลแบบมอดูลาร์จะสามารถลดรูปได้อย่างสมบูรณ์ เช่นเดียวกับ การแสดงผล แบบธรรมดา (ลักษณะเฉพาะ 0) โดยอาศัย ทฤษฎีบทของ Maschkeในกรณีอื่น เมื่อ | G | ≡ 0 (mod p ) กระบวนการหาค่าเฉลี่ยเหนือกลุ่มที่จำเป็นในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Maschke จะล้มเหลว และการแสดงผลไม่จำเป็นต้องสามารถลดรูปได้อย่างสมบูรณ์ การอภิปรายส่วนใหญ่ด้านล่างนี้ถือว่าฟิลด์Kมีขนาดใหญ่เพียงพอ (ตัวอย่างเช่นK ที่ปิดทางพีชคณิตก็เพียงพอแล้ว) มิฉะนั้นข้อความบางส่วนจำเป็นต้องได้รับการปรับปรุงแก้ไข

งานวิจัยชิ้นแรกสุดเกี่ยวกับทฤษฎีการแทนค่าบนฟิลด์จำกัดนั้นมาจากดิ๊กสัน (1902)ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเมื่อpไม่หารลงตัวกับอันดับของกลุ่ม ทฤษฎีการแทนค่าจะคล้ายคลึงกับทฤษฎีในกรณีที่มีลักษณะเฉพาะเป็น 0 นอกจากนี้เขายังศึกษาตัวแปรคงที่แบบมอดูลาร์ของกลุ่มจำกัดบางกลุ่มด้วย ส่วนการศึกษาอย่างเป็นระบบเกี่ยวกับการแทนค่าแบบมอดูลาร์ เมื่อลักษณะเฉพาะpหารลงตัวกับอันดับของกลุ่มนั้น เริ่มต้นโดยบราวเออร์ (1935)และเขาได้ศึกษาต่อยอดในอีกหลายทศวรรษต่อมา

การหาตัวแทนของกลุ่มวัฏจักรที่มีสององค์ประกอบเหนือฟิลด์ F เทียบเท่ากับปัญหาการหาเมทริกซ์ที่มีกำลังสองเท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์เหนือฟิลด์ทุกฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะอื่นที่ไม่ใช่ 2 จะมีฐาน เสมอ ที่ทำให้เมทริกซ์สามารถเขียนเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมที่มีเพียง 1 หรือ −1 ปรากฏบนแนวทแยงมุม เช่น

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

นอกเหนือจากF แล้ว ยังมีเมทริกซ์อื่นๆ ที่เป็นไปได้อีกมากมาย เช่น

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$

บนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีลักษณะเฉพาะเป็นบวก ทฤษฎีการแทนของกลุ่มวัฏจักรจำกัดสามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์โดยทฤษฎีของรูปแบบปกติของจอร์แดนรูปแบบจอร์แดนที่ไม่เป็นแนวทแยงเกิดขึ้นเมื่อลักษณะเฉพาะหารลงตัวกับอันดับของกลุ่ม

เมื่อกำหนดฟิลด์Kและกลุ่มจำกัดGแล้วพีชคณิตกลุ่มK [ G ] (ซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์ K ที่มี ฐาน Kประกอบด้วยองค์ประกอบของGซึ่งมีคุณสมบัติการคูณพีชคณิตโดยการขยายการคูณของGด้วยความเป็นเชิงเส้น) จะเป็นวงแหวนอาร์ทิเนียน

เมื่ออันดับของGหารลงตัวด้วยลักษณะเฉพาะของKพีชคณิตกลุ่มจะไม่เป็นเซมิซิมเพิล ดังนั้นจึงมีรากจาคอบสัน ที่ไม่เป็นศูนย์ ในกรณีนั้น จะมีโมดูลมิติจำกัดสำหรับพีชคณิตกลุ่มที่ไม่ใช่โมดูลเชิงโปรเจกทีฟในทางตรงกันข้าม ในกรณีที่ลักษณะเฉพาะเป็น 0 การแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ ทุกแบบ จะเป็นผลรวมโดยตรงของการแทนแบบปกติดังนั้นจึงเป็น โมดูลเชิงโปรเจกทีฟ

ทฤษฎีการแทนแบบโมดูลาร์ได้รับการพัฒนาโดยริชาร์ด บราวเออร์ตั้งแต่ประมาณปี 1940 เป็นต้นมา เพื่อศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีการแทนแบบลักษณะเฉพาะpทฤษฎีอักขระธรรมดา และโครงสร้างของG ในเชิงลึกยิ่งขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งในส่วนที่เกี่ยวข้องกับการฝังตัวและความสัมพันธ์ระหว่าง กลุ่มย่อย p ของมัน ผลลัพธ์ดังกล่าวสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในทฤษฎีกลุ่มกับปัญหาที่ไม่ได้กำหนดไว้โดยตรงในแง่ของการแทน

บราวเออร์ได้นำเสนอแนวคิดที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ " อักขระบราวเออร์ " เมื่อKเป็นเซตปิดเชิงพีชคณิตที่มีลักษณะเฉพาะp เป็นบวก จะมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างรากของเอกภาพในKและรากของเอกภาพเชิงซ้อนที่มีอันดับเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับpเมื่อเลือกการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงดังกล่าวแล้ว อักขระบราวเออร์ของการแสดงแทนจะกำหนดผลรวมของรากของเอกภาพเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ (รวมถึงความซ้ำซ้อน) ขององค์ประกอบนั้นในการแสดงแทนที่กำหนดให้กับแต่ละองค์ประกอบของกลุ่มที่มีอันดับเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ p

ลักษณะเฉพาะของ Brauer ในการแสดงแทนจะกำหนดปัจจัยการประกอบ แต่โดยทั่วไปแล้วจะไม่กำหนดประเภทสมมูล ลักษณะเฉพาะของ Brauer ที่ไม่สามารถลดทอนได้คือลักษณะเฉพาะที่ได้จากโมดูลแบบง่าย ลักษณะเฉพาะเหล่านี้คือการรวมกันแบบจำนวนเต็ม (แม้ว่าจะไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนบวก) ของข้อจำกัดต่อองค์ประกอบที่มีอันดับเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับpของลักษณะเฉพาะที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั่วไป ในทางกลับกัน ข้อจำกัดต่อองค์ประกอบที่มีอันดับเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับpของลักษณะเฉพาะที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั่วไปแต่ละตัวสามารถแสดงได้อย่างเฉพาะเจาะจงในรูปของการรวมกันแบบจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบของลักษณะเฉพาะของ Brauer ที่ไม่สามารถลดทอนได้

ในทฤษฎีที่ Brauer พัฒนาขึ้นในตอนแรกนั้น ความเชื่อมโยงระหว่างทฤษฎีการแทนแบบธรรมดาและทฤษฎีการแทนแบบโมดูลาร์นั้น แสดงให้เห็นได้ดีที่สุดโดยการพิจารณา พีชคณิตกลุ่มของกลุ่มGเหนือวงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อ เนื่องที่สมบูรณ์ Rที่มีฟิลด์เศษเหลือKที่มีลักษณะเฉพาะเป็นบวก pและฟิลด์เศษส่วนFที่มีลักษณะเฉพาะเป็น 0 เช่นจำนวนเต็มp -adic โครงสร้างของR [ G ] มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับทั้งโครงสร้างของพีชคณิตกลุ่มK [ G ] และโครงสร้างของพีชคณิตกลุ่มกึ่งง่าย F [ G ] และมีปฏิสัมพันธ์มากมายระหว่างทฤษฎีโมดูลาร์ของพีชคณิตทั้งสาม

แต่ละ โมดูล R [ G ] ก่อให้เกิด โมดูล F [ G ] โดยธรรมชาติ และโดยกระบวนการที่มักเรียกกันอย่างไม่เป็นทางการว่าการลดรูป (mod p )จะก่อให้เกิด โมดูล K [ G ] ในทางกลับกัน เนื่องจากRเป็นโดเมนอุดมคติหลัก แต่ละโมดูล F [ G ] มิติจำกัดจึงเกิดขึ้นจากการขยายสเกลาร์จาก โมดูล R [ G ] อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว ไม่ใช่ทุก โมดูล K [ G ] ที่เกิดขึ้นจากการลดรูป (mod p ) ของ โมดูล R [ G ] โมดูลที่ เกิดขึ้นจากการลดรูปนั้นเรียกว่าโมดูลยกขึ้น (liftable )

ในทฤษฎีการแทนแบบปกติ จำนวนโมดูลเชิงเดี่ยวk ( G ) จะเท่ากับจำนวนชั้นสมมูลของGในกรณีโมดูลาร์ จำนวน โมดูลเชิงเดี่ยว l ( G ) จะเท่ากับจำนวนชั้นสมมูลที่มีสมาชิกที่มีอันดับเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับจำนวนเฉพาะp ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งเรียกว่า ชั้น p-ปกติ

ในทฤษฎีการแทนแบบโมดูลาร์ แม้ว่าทฤษฎีบทของ Maschke จะไม่เป็นจริงเมื่อลักษณะเฉพาะหารอันดับกลุ่มลงตัว แต่พีชคณิตกลุ่มสามารถแยกออกเป็นผลรวมโดยตรงของชุดอุดมคติสองด้านสูงสุดที่เรียกว่าบล็อกได้เมื่อฟิลด์Fมีลักษณะเฉพาะเป็น 0 หรือลักษณะเฉพาะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับอันดับกลุ่ม ก็ยังคงมีการแยกพีชคณิตกลุ่มF [ G ] ออกเป็นผลรวมของบล็อก (หนึ่งบล็อกสำหรับแต่ละประเภทไอโซมอร์ฟิซึมของโมดูลเชิงเดี่ยว) แต่สถานการณ์จะค่อนข้างโปร่งใสเมื่อFมีขนาดใหญ่เพียงพอ: แต่ละบล็อกเป็นพีชคณิตเมทริกซ์เต็มเหนือFซึ่งเป็นวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์ที่อยู่เบื้องหลังโมดูลเชิงเดี่ยวที่เกี่ยวข้อง

เพื่อให้ได้บล็อกต่างๆ นั้น องค์ประกอบเอกลักษณ์ของกลุ่มGจะถูกแยกออกเป็นผลรวมของตัวประกอบเอกลักษณ์ ดั้งเดิม ในZ ( R [G]) ซึ่งเป็นศูนย์กลางของพีชคณิตกลุ่มเหนือวงแหวนการประเมินค่าRของFบล็อกที่สอดคล้องกับตัวประกอบเอกลักษณ์ดั้งเดิม eคือไอเดียลสองด้านe R [ G ] สำหรับแต่ละ โมดูล R [ G ] ที่ไม่สามารถแยกส่วนได้ จะมีตัวประกอบเอกลักษณ์ดั้งเดิมเพียงตัวเดียวที่ไม่ทำลายโมดูลนั้น และโมดูลนั้นกล่าวได้ว่าอยู่ในบล็อกที่สอดคล้องกัน (ในกรณีนี้ตัวประกอบการประกอบ ทั้งหมดของโมดูลนั้น ก็อยู่ในบล็อกนั้นด้วย) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แต่ละโมดูลแบบง่ายจะอยู่ในบล็อกที่ไม่ซ้ำกัน อักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั่วไปแต่ละตัวอาจถูกกำหนดให้กับบล็อกที่ไม่ซ้ำกันตามการแยกส่วนเป็นผลรวมของอักขระ Brauer ที่ไม่สามารถลดทอนได้ บล็อกที่ประกอบด้วยโมดูลที่ไม่สำคัญเรียกว่าบล็อกหลัก

ในทฤษฎีการแทนแบบปกติ โมดูลที่ไม่สามารถแยกส่วนได้ทุกตัวจะเป็นโมดูลที่ไม่สามารถลดทอนได้ ดังนั้นทุกโมดูลจึงเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟ อย่างไรก็ตาม โมดูลเชิงเดี่ยวที่มีลักษณะเฉพาะที่หารอันดับกลุ่มลงตัวนั้นมักจะไม่ใช่โมดูลเชิงโปรเจกทีฟ อันที่จริง หากโมดูลเชิงเดี่ยวเป็นโมดูลเชิงโปรเจกทีฟ แสดงว่ามันเป็นโมดูลเชิงเดี่ยวเพียงตัวเดียวในบล็อกของมัน ซึ่งจะมีสมบัติสมมาตรกับพีชคณิตเอนโดมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์พื้นฐาน ซึ่งก็คือพีชคณิตเมทริกซ์แบบเต็ม ในกรณีนั้น บล็อกนั้นจะเรียกว่ามี 'ข้อบกพร่อง 0' โดยทั่วไปแล้ว โครงสร้างของโมดูลเชิงโปรเจกทีฟนั้นยากที่จะกำหนดได้

สำหรับพีชคณิตกลุ่มของกลุ่มจำกัด โมดูลที่ไม่สามารถแยกส่วนได้แบบโปรเจคทีฟ (ประเภทไอโซมอร์ฟิซึมของ) จะมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับโมดูลแบบง่าย (ประเภทไอโซมอร์ฟิซึมของ) กล่าวคือโซเคิลของโมดูลที่ไม่สามารถแยกส่วนได้แบบโปรเจคทีฟแต่ละตัวจะเป็นโมดูลแบบง่าย (และมีไอโซมอร์ฟิซึมกับส่วนบนสุด) และสิ่งนี้ทำให้เกิดการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง เนื่องจากโมดูลที่ไม่สามารถแยกส่วนได้แบบโปรเจคทีฟที่ไม่เป็นไอโซมอร์ฟิซึมจะมีโซเคิลที่ไม่เป็นไอโซมอร์ฟิซึมเช่นกัน ความหลากหลายของโมดูลที่ไม่สามารถแยกส่วนได้แบบโปรเจคทีฟในฐานะส่วนประกอบของพีชคณิตกลุ่ม (เมื่อมองว่าเป็นโมดูลปกติ) คือมิติของโซเคิล (สำหรับฟิลด์ขนาดใหญ่พอที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ สิ่งนี้จะแสดงให้เห็นความจริงที่ว่าแต่ละโมดูลแบบง่ายเกิดขึ้นด้วยความหลากหลายเท่ากับมิติของมันในฐานะส่วนประกอบโดยตรงของโมดูลปกติ)

แต่ละโมดูลที่ไม่สามารถแยกส่วนได้แบบโปรเจคทีฟ (และด้วยเหตุนี้แต่ละโมดูลแบบโปรเจคทีฟ) ในลักษณะเฉพาะp ที่เป็นบวก สามารถยกขึ้นเป็นโมดูลในลักษณะเฉพาะ 0 ได้ โดยใช้ริงRดังที่กล่าวมาข้างต้น พร้อมด้วยฟิลด์ตกค้างKองค์ประกอบเอกลักษณ์ของGสามารถแยกส่วนได้เป็นผลรวมของตัวผกผัน ดั้งเดิมที่ตั้งฉากกัน (ไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์กลาง) ของK [ G ] แต่ละโมดูลที่ไม่สามารถแยกส่วนได้แบบโปรเจคทีฟ K [ G ] จะสม isomorphic กับ e.K [ G ] สำหรับตัวผกผันดั้งเดิมeที่เกิดขึ้นในการแยกส่วนนี้ ตัวผกผันeยกขึ้นเป็นตัวผกผันดั้งเดิม เช่นEของR [ G ] และโมดูลด้านซ้ายE.R [ G ] มีการลดรูป (mod p ) ที่สม isomorphic กับe.K [ G ]

เมื่อโมดูลเชิงโปรเจกทีฟถูกยกขึ้น อักขระที่เกี่ยวข้องจะหายไปบนองค์ประกอบทั้งหมดที่มีอันดับหารด้วยp ลงตัว และ (ด้วยการเลือกรากของเอกภาพที่สอดคล้องกัน) จะตรงกับอักขระบราวเออร์ของโมดูลลักษณะเฉพาะp ดั้งเดิม บน องค์ประกอบ p-ปกติ ผลคูณภายใน (วงแหวนอักขระปกติ) ของอักขระบราวเออร์ของโมดูลเชิงโปรเจกทีฟที่ไม่สามารถแยกส่วนได้กับอักขระบราวเออร์อื่นใดสามารถกำหนดได้ดังนี้: ค่านี้เป็น 0 ถ้าอักขระบราวเออร์ตัวที่สองเป็นของ socle ของโมดูลเชิงโปรเจกทีฟที่ไม่สามารถแยกส่วนได้ที่ไม่สมมาตร และเป็น 1 ถ้าอักขระบราวเออร์ตัวที่สองเป็นของ socle ของมันเอง ความหลากหลายของอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั่วไปในอักขระของการยกขึ้นของโมดูลเชิงโปรเจกทีฟที่ไม่สามารถแยกส่วนได้นั้นเท่ากับจำนวนครั้งที่อักขระบราวเออร์ของ socle ของโมดูลเชิงโปรเจกทีฟที่ไม่สามารถแยกส่วนได้ เมื่อการจำกัดอักขระทั่วไปไว้ที่ องค์ประกอบ p-ปกติถูกแสดงเป็นผลรวมของอักขระบราวเออร์ที่ไม่สามารถลดทอนได้

สามารถคำนวณ ปัจจัยการประกอบของโมดูลที่ไม่สามารถแยกส่วนได้แบบโปรเจคทีฟได้ดังนี้: เมื่อกำหนดอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้แบบธรรมดาและอักขระบราวเออร์ที่ไม่สามารถลดทอนได้ของกลุ่มจำกัดเฉพาะกลุ่มหนึ่งอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้แบบธรรมดาอาจถูกแยกส่วนเป็นผลรวมจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบของอักขระบราวเออร์ที่ไม่สามารถลดทอนได้ จำนวนเต็มที่เกี่ยวข้องสามารถวางไว้ในเมทริกซ์ โดยกำหนดแถวให้กับอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้แบบธรรมดา และคอลัมน์ให้กับอักขระบราวเออร์ที่ไม่สามารถลดทอนได้ เมทริกซ์นี้เรียกว่าเมทริกซ์การแยกส่วนและมักใช้สัญลักษณ์Dโดยทั่วไปจะวางอักขระธรรมดาและอักขระบราวเออร์ที่ไม่สำคัญไว้ในแถวแรกและคอลัมน์แรกตามลำดับ ผลคูณของเมทริกซ์สลับตำแหน่งของDกับDเองจะได้เมทริกซ์คาร์ตันซึ่งมักใช้สัญลักษณ์Cนี่คือเมทริกซ์สมมาตรซึ่งรายการใน แถวที่ j ของมัน คือความซ้ำซ้อนของโมดูลแบบง่ายตามลำดับในฐานะปัจจัยการประกอบของโมดูลที่ไม่สามารถแยกส่วนได้แบบโปรเจคทีฟที่jเมทริกซ์คาร์ตันไม่ใช่เมทริกซ์เอกฐาน อันที่จริง ดีเทอร์มิแนนต์ของมันคือเลขยกกำลังของค่าลักษณะเฉพาะของK

เนื่องจากโมดูลที่ไม่สามารถแยกส่วนได้ในเชิงโปรเจคทีฟในบล็อกที่กำหนดจะมีตัวประกอบการประกอบทั้งหมดอยู่ในบล็อกเดียวกันนั้น ดังนั้นแต่ละบล็อกจึงมีเมทริกซ์คาร์ตันเป็นของตัวเอง

สำหรับแต่ละบล็อกBของพีชคณิตกลุ่มK [ G ] บราวเออร์ได้เชื่อมโยงกลุ่มย่อย pบางกลุ่มเข้าด้วยกันซึ่งเรียกว่ากลุ่มข้อบกพร่อง (โดยที่pคือลักษณะเฉพาะของK ) ในทางรูปธรรม กลุ่มข้อบกพร่องคือกลุ่มย่อย p ที่ใหญ่ที่สุด DของGซึ่งมีตัวสอดคล้องบราวเออร์ของBสำหรับกลุ่มย่อยนั้น${\displaystyle DC_{G}(D)}$, ที่ไหน${\displaystyle C_{G}(D)}$เป็น ตัว จัดศูนย์กลางของDในG

กลุ่มข้อบกพร่องของบล็อกนั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงระดับการสมมูล และมีอิทธิพลอย่างมากต่อโครงสร้างของบล็อก ตัวอย่างเช่น หากกลุ่มข้อบกพร่องเป็นกลุ่มที่ไม่สำคัญ บล็อกนั้นจะประกอบด้วยโมดูลแบบง่ายเพียงโมดูลเดียว อักขระธรรมดาเพียงตัวเดียว อักขระธรรมดาและอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้ของ Brauer จะสอดคล้องกันในองค์ประกอบที่มีอันดับเป็นจำนวนเฉพาะของลักษณะเฉพาะp ที่เกี่ยวข้อง และโมดูลแบบง่ายนั้นเป็นแบบโปรเจคทีฟ ในทางตรงกันข้าม เมื่อKมีลักษณะเฉพาะpกลุ่ม ย่อย Sylow pของกลุ่มจำกัดGจะเป็นกลุ่มข้อบกพร่องสำหรับบล็อกหลักของK [ G ]

ลำดับของกลุ่มข้อบกพร่องของบล็อกมีลักษณะทางคณิตศาสตร์หลายประการที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีการแทนค่า มันเป็นตัวประกอบไม่แปรเปลี่ยนที่ใหญ่ที่สุดของเมทริกซ์คาร์ตันของบล็อก และเกิดขึ้นซ้ำกันหนึ่งครั้ง นอกจากนี้ กำลังของpที่หารดัชนีของกลุ่มข้อบกพร่องของบล็อกจะเป็นตัวหารร่วมมากที่สุดของกำลังของpที่หารมิติของโมดูลแบบง่ายในบล็อกนั้น และสิ่งนี้จะตรงกับตัวหารร่วมมากที่สุดของกำลังของpที่หารดีกรีของอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั่วไปในบล็อกนั้น

ความสัมพันธ์อื่นๆ ระหว่างกลุ่มข้อบกพร่องของบล็อกและทฤษฎีอักขระ ได้แก่ ผลลัพธ์ของบราวเออร์ที่ว่า หากไม่มีตัวผกผันของ ส่วน pของสมาชิกกลุ่มgอยู่ในกลุ่มข้อบกพร่องของบล็อกที่กำหนดแล้ว อักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้แต่ละตัวในบล็อกนั้นจะหายไปที่gนี่เป็นหนึ่งในผลลัพธ์มากมายของทฤษฎีบทหลักข้อที่สองของบราวเออร์

กลุ่มข้อบกพร่องของบล็อกยังมีลักษณะเฉพาะหลายประการในแนวทางเชิงโมดูลของทฤษฎีบล็อก ซึ่งสร้างขึ้นจากงานของJA Greenที่เชื่อมโยง กลุ่มย่อย pที่เรียกว่าจุดยอดกับโมดูลที่ไม่สามารถแยกส่วนได้ ซึ่งกำหนดในแง่ของความเป็นเชิงโปรเจกทีฟสัมพัทธ์ของโมดูล ตัวอย่างเช่น จุดยอดของแต่ละโมดูลที่ไม่สามารถแยกส่วนได้ในบล็อกจะบรรจุอยู่ (จนถึงความเป็นคู่สม) ในกลุ่มข้อบกพร่องของบล็อก และไม่มีกลุ่มย่อยที่แท้จริงของกลุ่มข้อบกพร่องใดที่มีคุณสมบัตินั้น

ทฤษฎีบทหลักข้อแรกของบราวเออร์กล่าวว่า จำนวนบล็อกของกลุ่มจำกัดที่มี กลุ่มย่อย p ที่กำหนดให้ เป็นกลุ่มบกพร่องนั้น เท่ากับจำนวนที่สอดคล้องกันสำหรับตัวทำให้เป็นปกติในกลุ่มของกลุ่มย่อยp นั้น

โครงสร้างบล็อกที่วิเคราะห์ได้ง่ายที่สุดเมื่อมีกลุ่มข้อบกพร่องที่ไม่ธรรมดาคือเมื่อกลุ่มข้อบกพร่องนั้นเป็นวัฏจักร ในกรณีนี้จะมีเพียงประเภทไอโซมอร์ฟิซึมของโมดูลที่ไม่สามารถแยกส่วนได้จำนวนจำกัดในบล็อก และโครงสร้างของบล็อกนั้นเป็นที่เข้าใจกันดีแล้วในปัจจุบัน ด้วยผลงานของ Brauer, EC Dade , JA Green และJG Thompsonเป็นต้น ในกรณีอื่นๆ ทั้งหมด จะมีประเภทไอโซมอร์ฟิซึมของโมดูลที่ไม่สามารถแยกส่วนได้จำนวนอนันต์ในบล็อก

บล็อกที่มีกลุ่มข้อบกพร่องที่ไม่เป็นวัฏจักรสามารถแบ่งออกได้เป็นสองประเภท คือ บล็อกแบบควบคุมได้และบล็อกแบบควบคุมไม่ได้ บล็อกแบบควบคุมได้ (ซึ่งเกิดขึ้นเฉพาะกับจำนวนเฉพาะ 2 เท่านั้น) มีกลุ่มข้อบกพร่องเป็นกลุ่มไดเฮดรัลกลุ่มเซมิไดเฮดรัล หรือ กลุ่มควอเทอร์เนียน (แบบทั่วไป) และโครงสร้างของบล็อกเหล่านี้ได้รับการกำหนดไว้อย่างกว้างขวางในชุดบทความโดยKarin Erdmannโมดูลที่ไม่สามารถแยกส่วนได้ในบล็อกแบบควบคุมไม่ได้นั้นยากมากที่จะจำแนกประเภท แม้แต่ในทางทฤษฎีก็ตาม