ในพีชคณิตวงแหวนλหรือวงแหวนแลมบ์ดาคือวงแหวนสลับที่พร้อมกับการดำเนินการ λn บางอย่าง^บนวงแหวนนั้น ซึ่งมีพฤติกรรมคล้ายกับกำลังภายนอกของปริภูมิเวกเตอร์ วงแหวนหลายวงที่พิจารณาในทฤษฎี Kมีโครงสร้างวงแหวน λ ตามธรรมชาติ วงแหวน λ ยังให้รูปแบบที่มีประสิทธิภาพสำหรับการศึกษาการกระทำของฟังก์ชันสมมาตรบนวงแหวนของพหุนามโดยสามารถกู้คืนและขยายผลลัพธ์คลาสสิกหลายอย่างได้ ( Lascoux (2003) )

วงแหวน λ ได้รับการแนะนำโดยGrothendieck ( 1957 , 1958 , หน้า 148)สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับวงแหวน λ โปรดดูAtiyah & Tall (1969) , Knutson (1973) , Hazewinkel (2009)และYau (2010 ) 

ถ้าVและWเป็น ปริภูมิเวกเตอร์ มิติ จำกัด เหนือฟิลด์kแล้ว เราสามารถสร้างผลรวมโดยตรงV ⊕ Wผลคูณเทนเซอร์V ⊗ Wและกำลังภายนอกลำดับที่nของV , Λ ⁿ ( V ) ได้ ทั้งหมดนี้ล้วนเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดเหนือk เช่นกัน การดำเนินการทั้งสามอย่างเดียวกันนี้ ได้แก่ ผลรวมโดยตรง ผลคูณเทนเซอร์ และกำลังภายนอก ยังสามารถใช้ได้กับการแทนเชิงเส้นkของกลุ่มจำกัดเมื่อทำงานกับ กลุ่ม เวกเตอร์เหนือปริภูมิเชิงทอ พอโลยี และในสถานการณ์ทั่วไปอื่นๆ ด้วย

วงแหวน λ ถูกออกแบบมาเพื่อสรุปคุณสมบัติทางพีชคณิตทั่วไปของการดำเนินการทั้งสามนี้ โดยที่เรายังอนุญาตให้มีตัวผกผันเชิงรูปธรรมเมื่อเทียบกับการดำเนินการบวกโดยตรง (ตัวผกผันเชิงรูปธรรมเหล่านี้ปรากฏในกลุ่ม Grothendieck ด้วย ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมกลุ่มการบวกพื้นฐานของวงแหวน λ ส่วนใหญ่จึงเป็นกลุ่ม Grothendieck) การบวกในวงแหวนสอดคล้องกับการบวกโดยตรง การคูณในวงแหวนสอดคล้องกับผลคูณเทนเซอร์ และการดำเนินการ λ สอดคล้องกับกำลังภายนอก ตัวอย่างเช่น ไอโซมอร์ฟิซึม

${\displaystyle \Lambda ^{2}(V\oplus W)\cong \Lambda ^{2}(V)\oplus \left(\Lambda ^{1}(V)\otimes \Lambda ^{1}(W)\right)\oplus \Lambda ^{2}(W)}$

สอดคล้องกับสูตร

${\displaystyle \lambda ^{2}(x+y)=\lambda ^{2}(x)+\lambda ^{1}(x)\lambda ^{1}(y)+\lambda ^{2}(y)}$

ใช้ได้กับวงแหวน λ ทั้งหมด และไอโซมอร์ฟิซึม

${\displaystyle \Lambda ^{1}(V\otimes W)\cong \Lambda ^{1}(V)\otimes \Lambda ^{1}(W)}$

สอดคล้องกับสูตร

${\displaystyle \lambda ^{1}(xy)=\lambda ^{1}(x)\lambda ^{1}(y)}$

ใช้ได้กับวงแหวน λ ทุกวง สูตรที่คล้ายกันแต่ซับซ้อนกว่ามากนั้นใช้ควบคุมตัวดำเนินการ λ ลำดับสูงกว่า

วงแหวน λ คือวงแหวนสลับที่Rพร้อมด้วยการดำเนินการ λ ⁿ  : R → R สำหรับ จำนวนเต็มที่ ไม่เป็นลบn ทุกตัว การดำเนินการเหล่านี้จำเป็นต้องมีคุณสมบัติต่อไปนี้ซึ่งใช้ได้กับx , y ทุกตัว ในRและn, m ≥ 0 ทุกตัว:    

• λ ⁰ ( x )  =  1
• λ ¹ ( x )  =  x
• λ ⁿ (1)  =  0 ถ้าn  ≥  2
• แล^มบ์ ( x  + y ) = Σ แลม^บ์ ( x )แลบ^เจ ( y )  
• แลม^บ์ดา ( xy ) = P (แลมบ์ดา¹ ( x ), ..., แลมบ์^ดา ( x ), แลมบ์ดา¹ ( y ), ..., แลมบ์^ดา ( y ))
• แล^มบ์ (แลมแล^ม ( x )) = P (แลม¹ ( x ), ..., แล^มน ( x ))

โดยที่P และP เป็นพหุนามสากลบางชนิดที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งอธิบายพฤติกรรมของกำลังภายนอกบนผลคูณเทนเซอร์และภายใต้การประกอบ พหุนามเหล่านี้สามารถกำหนดได้ดังต่อไปนี้

ให้e , ..., e เป็นพหุนามสมมาตรพื้นฐานในตัวแปรX , ..., X แล้วP เป็นพหุนามเฉพาะตัวใน ตัวแปร nmที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม โดยที่P ( e , ..., e ) เป็นสัมประสิทธิ์ของt ⁿในนิพจน์

${\displaystyle \prod _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{m}\leq mn}(1+tX_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}})}$ 

(พหุนามดังกล่าวมีอยู่จริง เนื่องจากนิพจน์นั้นสมมาตรในX และพหุนามสมมาตรพื้นฐานสร้างพหุนามสมมาตรทั้งหมด)

ให้e , ..., e เป็นพหุนามสมมาตรพื้นฐานในตัวแปรX , ..., X และf , ..., f เป็นพหุนามสมมาตรพื้นฐานในตัวแปรY , ..., Y แล้วP คือพหุนามเฉพาะตัวในตัวแปร 2 nที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม โดยที่P ( e , ..., e , f , ..., f )เป็นสัมประสิทธิ์ของt ⁿในนิพจน์

${\displaystyle \prod _{i,j=1}^{n}(1+tX_{i}Y_{j})}$

วงแหวนแลมบ์ดา (λ-ring) คือวงแหวนสลับที่ได้${\displaystyle R}$พร้อมแผนที่ ( เก็ตซ์เลอร์ (1995) )

${\displaystyle \Lambda \times R\to R,\qquad (f,x)\mapsto f\circ x=f[x],}$

เรียกว่าเพลทิสซึมซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์ต่อไปนี้สำหรับทุก ๆ${\displaystyle x,y\in R}$:

1. แผนที่${\displaystyle \Lambda \to R,\,f\mapsto f[x]}$เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน
2. ${\displaystyle e_{1}[x]=x}$.
3. ${\displaystyle e_{n}[x+y]=\sum \nolimits _{i+j=n}e_{i}[x]\cdot e_{j}[y]}$สำหรับ${\displaystyle n\geq 0}$.
4. ${\displaystyle e_{n}[1]=0}$สำหรับ${\displaystyle n\geq 2}$.
5. ${\displaystyle f\circ (g\circ x)=(f\circ g)\circ x}$สำหรับ${\displaystyle f,g\in \Lambda }$.

ที่นี่${\displaystyle \Lambda }$คือวงแหวนของฟังก์ชันสมมาตร ${\displaystyle e_{n}\in \Lambda }$คือฟังก์ชันสมมาตรพื้นฐานและเพลทิสซึมบน${\displaystyle \Lambda }$ถูกกำหนดโดย ${\displaystyle p_{n}\circ f=f(x_{1}^{n},x_{2}^{n},\dots )}$สำหรับ${\displaystyle f\in \Lambda }$ และฟังก์ชันสมมาตรผลรวมกำลัง${\displaystyle p_{n}=\sum \nolimits _{i\geq 1}x_{i}^{n}}$นิยามดั้งเดิมของวงแหวน λ ได้มาจากการตั้งค่า ${\displaystyle \lambda ^{n}=e_{n}[-]:R\to R}$แผนที่${\displaystyle \psi ^{n}=p_{n}[-]:R\to R}$เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริง เรียกว่าการดำเนินการของอดัมส์ สัจพจน์สามข้อแรกกำหนดริงพรี-λ

• วงแหวนZของจำนวนเต็มโดยมีสัมประสิทธิ์ทวินาม${\displaystyle \lambda ^{n}(x)={x \choose n}}$เนื่องจากการดำเนินการ (ซึ่งกำหนดไว้สำหรับx ติดลบด้วย ) เป็นวงแหวน λ อันที่จริง นี่เป็นโครงสร้าง λ เพียงอย่างเดียวบนZตัวอย่างนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับกรณีของปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดที่กล่าวถึงในส่วนแรงจูงใจข้างต้น โดยระบุปริภูมิเวกเตอร์แต่ละปริภูมิด้วยมิติของมัน และจำไว้ว่า${\displaystyle \dim(\Lambda ^{n}(k^{x}))={x \choose n}}$.
• โดยทั่วไปแล้ววงแหวนทวินาม ใดๆ จะกลายเป็นวงแหวน λ หากเรากำหนดให้การดำเนินการ λ เป็นสัมประสิทธิ์ทวินาม λ ⁿ ( x ) = ( ^x ) ในวงแหวน λ เหล่านี้การดำเนินการของ Adams ทั้งหมด คือการดำเนินการเอกลักษณ์
• ทฤษฎีK ( X ) ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีXคือวงแหวน λ โดยมีการดำเนินการแลมบ์ดาที่เกิดจากการยกกำลังภายนอกของบันเดิลเวกเตอร์
• เมื่อกำหนดกลุ่มGและฟิลด์ฐานkแล้ววงแหวนการแทนR ( G ) จะเป็นวงแหวน λ โดยการดำเนินการ λ จะถูกเหนี่ยวนำโดยกำลังภายนอกของการ แทนเชิงเส้น kของกลุ่มG
• วงแหวนΛ ของฟังก์ชันสมมาตรเป็นวงแหวน λ การดำเนินการ λ บนสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มถูกกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ทวินามดังที่กล่าวมาข้างต้น และถ้าe , e , ... แทนฟังก์ชันสมมาตรพื้นฐานเราจะกำหนด λ ⁿ ( e ) = e การใช้สัจพจน์สำหรับการดำเนินการ λ และข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันe เป็นอิสระทางพีชคณิตและสร้างวงแหวน Λ คำจำกัดความนี้สามารถขยายได้ในลักษณะเฉพาะเพื่อเปลี่ยน Λ ให้เป็นวงแหวน λ ในความเป็นจริง นี่คือวงแหวน λ อิสระบนตัวสร้างหนึ่งตัว โดยตัวสร้างคือe ( Yau ( 2010 , หน้า 14) ) 
• กลุ่มGrothendieck ของหมวดหมู่เชิงเส้น kที่สมบูรณ์ Cauchy ใดๆ(โดยที่kมีลักษณะเฉพาะเป็น 0) เป็นวงแหวน λ ซึ่งเป็นการขยายตัวอย่างข้างต้นหลายๆ ตัวอย่าง อันที่จริง ตัวอย่างนี้เป็นสากลในความหมายที่แม่นยำ^{[ 2 ]}

วงแหวน λ ทุกวงมีลักษณะเฉพาะคือ 0 และประกอบด้วยวงแหวน λ Zเป็นวงแหวนย่อย λ

แนวคิดหลายอย่างของพีชคณิตเชิงสลับที่สามารถขยายไปสู่วงแหวน λ ได้ ตัวอย่างเช่น โฮโมมอร์ฟิซึม λ ระหว่างวงแหวน λ RและS คือโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนf  : R → Sโดยที่f (λ ⁿ ( x )) = λ ⁿ ( f ( x )) สำหรับทุกxในRและทุกn ≥ 0 ส่วนไอเดียล λ ในวงแหวน λ RคือไอเดียลIในRโดยที่ λ ⁿ ( x ) ϵ IสำหรับทุกxในRและทุกn ≥ 1

ถ้าxเป็นสมาชิกของวงแหวน λ และmเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ โดยที่ λm ⁽ x ) ≠ 0 และ λn ⁽ x ) = 0 สำหรับทุกn > mเราจะเขียน dim( x ) = mและเรียกสมาชิกx ว่าสมาชิกที่มีมิติจำกัด ไม่จำเป็นต้องเป็นสมาชิกที่มีมิติจำกัดเสมอไป เรามี dim( x + y ) ≤ dim( x ) + dim( y ) และผลคูณของสมาชิกที่มีมิติเดียว ก็จะ มีมิติเดียวเช่นกัน

ฟังก์ชันสมมาตรกระทำบนวงแหวน λ ดังนี้: เมื่อกำหนดพหุนามสมมาตรpในตัวแปรจำนวนใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และองค์ประกอบxของวงแหวน λ Rจะมีโฮโมมอร์ฟิซึม λ ที่ไม่ซ้ำกันf  : Λ → Rโดยที่f ( e )=xและเรากำหนดpx  := f(p)

• คลาสเชิร์น
• ฟังก์ชันสมมาตร
• ทฤษฎี K
• ปฏิบัติการอดัมส์
• การขยายตัวแบบเลขชี้กำลังของปริมาตรเลือด