สมการเซลล์ไมเออร์เป็นความสัมพันธ์เชิงประจักษ์ระหว่างดัชนีหักเหและความยาวคลื่นสำหรับตัวกลางโปร่งใส ชนิดหนึ่ง สมการนี้ใช้ในการกำหนดการกระจายตัวของแสงในตัวกลางนั้น

ทฤษฎีนี้ได้รับการเสนอครั้งแรกในปี พ.ศ. 2415 โดยWolfgang Sellmeierและเป็นการพัฒนาต่อยอดจากงานของAugustin Cauchyเกี่ยวกับสมการของ Cauchyสำหรับการจำลองการกระจายตัว^{[ 1 ]}

ในรูปแบบดั้งเดิมและทั่วไปที่สุด สมการเซลล์ไมเออร์มีดังนี้

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=1+\sum _{i}{\frac {B_{i}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{i}}}}$,

โดยที่nคือดัชนีหักเหคือความยาวคลื่น และBi และCi สัมประสิทธิ์เซลล์ไมเออร์ที่ได้จากการทดลองสัมประสิทธิ์เหล่านี้มักจะระบุค่าสำหรับ λ ในหน่วยไมโครเมตรโปรดทราบว่า λ นี้คือความยาวคลื่นในสุญญากาศ ไม่ใช่ความยาวคลื่นในวัสดุเอง ซึ่งคือ λ/n บางครั้งอาจใช้สมการในรูปแบบที่แตกต่างกันสำหรับวัสดุบางประเภท เช่นผลึก

แต่ละพจน์ของผลรวมแสดงถึง การดูดกลืน เรโซแนนซ์ที่มีความแรงB ที่ความยาวคลื่น√ C ตัวอย่างเช่น สัมประสิทธิ์สำหรับ BK7 ด้านล่างสอดคล้องกับการดูดกลืนเรโซแนนซ์สองรายการใน รังสี อัลตราไวโอเลตและหนึ่งรายการใน ย่าน อินฟราเรด กลาง ในเชิงวิเคราะห์ กระบวนการนี้ขึ้นอยู่กับการประมาณเรโซแนนซ์ทางแสงพื้นฐานเป็น ฟังก์ชัน เดลต้าของดิแรกตามด้วยการประยุกต์ใช้ความสัมพันธ์ของ Kramers-Kronigซึ่งส่งผลให้ส่วนจริงและส่วนจินตนาการของดัชนีหักเหมีความสมเหตุสมผลทางกายภาพ^{[ 2 ]}อย่างไรก็ตาม ใกล้กับจุดสูงสุดของการดูดกลืนแต่ละจุด สมการจะให้ค่าที่ไม่สมเหตุสมผลทางกายภาพของn ² = ±∞ และในบริเวณความยาวคลื่นเหล่านี้ ต้องใช้แบบจำลองการกระจายที่แม่นยำยิ่งขึ้น เช่นแบบจำลองออสซิลเลเตอร์ของลอเรนซ์

หากระบุเงื่อนไขทั้งหมดสำหรับวัสดุแล้ว ที่ความยาวคลื่นยาวซึ่งอยู่ห่างจากจุดสูงสุดของการดูดกลืน ค่าของnมีแนวโน้มลดลง

${\displaystyle {\begin{matrix}n\approx {\sqrt {1+\sum _{i}B_{i}}}\approx {\sqrt {\varepsilon _{r}}}\end{matrix}},}$

โดยที่คือค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าสัมพัทธ์ของตัวกลาง

สำหรับการกำหนดลักษณะของแก้ว สมการที่ประกอบด้วยสามเทอมมักใช้กัน: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=1+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}+{\frac {B_{3}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{3}}},}$

ตัวอย่างเช่น ค่าสัมประสิทธิ์ของกระจกมงกุฎโบโรซิลิเคต ทั่วไป ที่รู้จักกันในชื่อBK7แสดงไว้ด้านล่างนี้:

สำหรับกระจกออปติกทั่วไป ดัชนีหักเหที่คำนวณด้วยสมการ Sellmeier สามเทอมจะเบี่ยงเบนจากดัชนีหักเหจริงน้อยกว่า 5×10 ⁻⁶ในช่วงความยาวคลื่น^{[ 5 ]}ตั้งแต่ 365  นาโนเมตรถึง 2.3  ไมโครเมตร ซึ่งอยู่ในระดับเดียวกับความสม่ำเสมอของตัวอย่างกระจก^{[ 6 ]}บางครั้งมีการเพิ่มเทอมเพิ่มเติมเพื่อให้การคำนวณแม่นยำยิ่งขึ้น

บางครั้งสมการ Sellmeier ถูกใช้ในรูปแบบสองเทอม: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=A+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}.}$

ในที่นี้ สัมประสิทธิ์Aเป็นค่าประมาณของการดูดกลืนแสงในช่วงความยาวคลื่นสั้น (เช่น รังสีอัลตราไวโอเลต) ที่ส่งผลต่อดัชนีหักเหในช่วงความยาวคลื่นที่ยาวกว่า นอกจากนี้ยังมีสมการเซลล์ไมเออร์แบบอื่นๆ ที่สามารถอธิบายการเปลี่ยนแปลงดัชนีหักเหของวัสดุเนื่องจากอุณหภูมิความดันและพารามิเตอร์อื่นๆ ได้อีกด้วย

เดิมที Sellmeier ได้สมการของเขาโดยการจำลองปฏิสัมพันธ์ของแสงและสสารโดยสมมติว่าอนุภาคในสสารสั่นแบบฮาร์มอนิกตอบสนองต่อคลื่นแสง^{[ a ] ​​[ 8 ]} ด้านล่างนี้ จะมีการพิสูจน์ที่แตกต่างกันโดยอิงจากความสัมพันธ์ Kramers–Kronig

ในเชิงวิเคราะห์ สมการเซลล์ไมเออร์จำลองดัชนีหักเหว่าเป็นผลมาจากชุดของเรโซแนนซ์ทางแสงภายในเนื้อวัสดุ การได้มาซึ่งสมการนี้จากความสัมพันธ์ของคราเมอร์ส-โครนิกต้องอาศัยข้อสมมติบางประการเกี่ยวกับวัสดุ ซึ่งการเบี่ยงเบนใดๆ จากข้อสมมติเหล่านี้จะส่งผลต่อความแม่นยำของแบบจำลอง:

• มีปรากฏการณ์เรโซแนนซ์อยู่หลายจุด และสามารถคำนวณดัชนีหักเหสุดท้ายได้จากผลรวมของค่าที่ได้จากปรากฏการณ์เรโซแนนซ์ทั้งหมด
• ปรากฏการณ์เรโซแนนซ์ทางแสงทั้งหมดเกิดขึ้นที่ความยาวคลื่นซึ่งอยู่ห่างไกลจากความยาวคลื่นที่สนใจ ซึ่งเป็นความยาวคลื่นที่นำแบบจำลองไปใช้
• ที่ความถี่เรโซแนนซ์เหล่านี้ ส่วนจินตภาพของความไว ( ) สามารถจำลอง ได้เป็นฟังก์ชันเดลต้า${\displaystyle {\chi _{i}}}$

จากข้อสุดท้าย ดัชนีหักเหเชิงซ้อน (และค่าสภาพรับไฟฟ้า ) จะกลายเป็น:

${\displaystyle \chi _{i}(\omega )=\sum _{i}A_{i}\delta (\omega -\omega _{i})}$

ส่วนจริงของดัชนีหักเหได้มาจากการนำความสัมพันธ์ของ Kramers-Kronig มาใช้กับส่วนจินตนาการ:

${\displaystyle n^{2}=1+\chi _{r}(\omega )=1+{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega \chi _{i}(\omega )}{\omega ^{2}-\Omega ^{2}}}d\omega }$

แทนค่าสมการแรกข้างต้นลงในส่วนจินตภาพ:

${\displaystyle n^{2}=1+{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\sum _{i}A_{i}\delta (\omega -\omega _{i}){\frac {\omega }{\omega ^{2}-\Omega ^{2}}}d\omega }$

ลำดับของการบวกและการอินทิเกรตสามารถสลับกันได้ เมื่อประเมินแล้วจะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้ โดยที่คือฟังก์ชัน Heaviside :${\displaystyle H}$

${\displaystyle n^{2}=1+{\frac {2}{\pi }}\sum _{i}A_{i}\int _{0}^{\infty }\delta (\omega -\omega _{i}){\frac {\omega }{\omega ^{2}-\Omega ^{2}}}d\omega =1+{\frac {2}{\pi }}\sum _{i}A_{i}{\frac {\omega _{i}H(\omega _{i})}{\omega _{i}^{2}-\Omega ^{2}}}}$

เนื่องจากถือว่าโดเมนอยู่ห่างไกลจากเรโซแนนซ์ใดๆ (สมมติฐานที่ 2 ข้างต้น) จึงมีค่าเท่ากับ 1 และได้สมการเซลล์ไมเออร์ในรูปแบบที่คุ้นเคย:${\displaystyle H(\omega _{i})}$

${\displaystyle n^{2}=1+{\frac {2}{\pi }}\sum _{i}A_{i}{\frac {\omega _{i}}{\omega _{i}^{2}-\Omega ^{2}}}}$

โดยการจัดเรียงเทอมใหม่ ค่าคงที่และสามารถแทนที่ลงในสมการข้างต้นเพื่อให้ได้สมการ Sellmeier ^{[ 2 ]}${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle C_{i}}$

• สมการของโคชี
• แบบจำลองออสซิลเลเตอร์ลอเรนซ์

• RefractiveIndex.INFOฐานข้อมูลดัชนีหักเหแสงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เซลล์ไมเออร์สำหรับวัสดุหลายร้อยชนิด
• เครื่องคำนวณบนเว็บเบราว์เซอร์ที่แสดงค่าดัชนีหักเหจากค่าสัมประสิทธิ์เซลล์ไมเออร์
• Annalen der Physik - เข้าถึงได้ฟรี ฉบับดิจิทัลโดยหอสมุดแห่งชาติฝรั่งเศส
• ค่าสัมประสิทธิ์เซลล์ไมเออร์สำหรับแก้ว 356 ชิ้นจาก Ohara, Hoya และ Schott