ในทฤษฎีเซตเซมิเซตคือคลาสแท้ที่เป็นคลาสย่อยของเซตในรากฐานทั่วไปของทฤษฎีเซตแบบเซอร์เมโล-แฟรงเคิลเซมิเซตเป็นไปไม่ได้เนื่องจากโครงร่างสัจพจน์ของการกำหนดคุณสมบัติ

ทฤษฎีเซมิเซตได้รับการเสนอและพัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเช็กPetr VopěnkaและPetr Hájek (1972) โดยอิงจากการปรับเปลี่ยนทฤษฎีเซตของ von Neumann–Bernays–Gödelในทฤษฎีเซต NBG มาตรฐาน การมีอยู่ของเซมิเซตถูกตัดออกไปโดยสัจพจน์ ของการแยก

แนวคิดเรื่องเซมิเซตเปิดทางไปสู่การกำหนดทฤษฎีเซตทางเลือกโดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีเซตทางเลือก ของโวเปนกา (1979) ได้วางสัจพจน์ของแนวคิดเซมิเซต พร้อมด้วยหลักการเพิ่มเติมอีกหลายประการ

เซมิเซตสามารถใช้เพื่อแทนเซตที่มีขอบเขตไม่แน่นอนได้ โนวัค (1984) ศึกษาการประมาณค่าเซมิเซตด้วยเซตฟัซซีซึ่งมักจะเหมาะสมกว่าสำหรับการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติในการจำลองความไม่แน่นอน

ทฤษฎีเซตทางเลือก (Alternative Set Theory หรือ AST) ของโวเปนกา สร้างขึ้นจากแนวคิดบางส่วนของทฤษฎีเซมิเซต แต่ยังนำเสนอการเปลี่ยนแปลงที่รุนแรงกว่านั้นด้วย เช่น เซตทั้งหมดเป็นเซตจำกัด "ในเชิงรูปแบบ" ซึ่งหมายความว่าเซตใน AST เป็นไปตามกฎการอุปมานทางคณิตศาสตร์สำหรับสูตร เซต (กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ ส่วนของ AST ที่ประกอบด้วยสัจพจน์ที่เกี่ยวข้องกับเซตเท่านั้น เทียบเท่ากับ ทฤษฎีเซตของ เซอร์เมโล-แฟรงเคิล (หรือ ZF) ซึ่งสัจพจน์ของอนันต์ถูกแทนที่ด้วยการปฏิเสธ) อย่างไรก็ตาม เซตบางเซตเหล่านี้มีคลาสย่อยที่ไม่ใช่เซต ซึ่งทำให้แตกต่างจาก เซตจำกัดของ แคนเตอร์ (ZF) และเรียกว่าเซตอนันต์ใน AST

สัจพจน์ต่อไปนี้ใช้ได้กับเซต

• ความสัมพันธ์ แบบขยาย (Extensionality) - เซตที่มีสมาชิกเหมือนกันจะเป็นเซตเดียวกัน
• เซตว่าง: ∅ มีอยู่จริง
• ผู้สืบทอด:สำหรับเซตใดๆและมีอยู่จริง${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\cup \{y\}}$
• การอุปมาน:ทุกสูตรที่แสดงในภาษาของเซตเท่านั้น (พารามิเตอร์ทั้งหมดเป็นเซต และตัวบ่งปริมาณทั้งหมดถูกจำกัดอยู่ในเซต) และเป็นจริงสำหรับ ∅ และเป็นจริงสำหรับถ้าเป็นจริงสำหรับ ก็จะเป็นจริงสำหรับเซตทั้งหมด${\displaystyle \phi }$${\displaystyle x\cup \{y\}}$${\displaystyle x}$
• ความสม่ำเสมอ:ทุกเซตจะมีสมาชิกที่ไม่มีส่วนร่วมกับเซตนั้น

สัจพจน์ต่อไปนี้ใช้ได้กับทุกคลาส

• การมีอยู่ของกลุ่ม:ถ้าเป็นสูตรใดๆ แล้ว กลุ่มของเซตทั้งหมด x ที่ทำให้มีอยู่จริง (เซตถูกระบุว่าเป็นกลุ่มของสมาชิกใน) โปรดทราบว่าคู่ของเซตแบบ Kuratowski เป็นเซต ดังนั้นเราจึงสามารถกำหนดความสัมพันธ์ (กลุ่ม) และฟังก์ชันบนเอกภพของเซตได้ตามปกติ${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
• สมบัติการขยายความสำหรับคลาส:คลาสที่มีองค์ประกอบเหมือนกันจะเท่ากัน
• สัจพจน์ของเซมิเซตแท้:มีเซมิเซตแท้อยู่จริง
• สัจพจน์การต่อขยาย:ฟังก์ชันนับได้แต่ละฟังก์ชัน F สามารถต่อขยายไปเป็นฟังก์ชันเซตได้
• สัจพจน์ของการเข้ารหัสแบบขยาย:ทุกกลุ่มของคลาสที่สามารถเข้ารหัสได้ ก็สามารถเข้ารหัสแบบขยายได้เช่นกัน โวเพนกาพิจารณาการแสดงแทนของซูเปอร์คลาสของคลาสโดยใช้ความสัมพันธ์บนเซต ความสัมพันธ์ของคลาส R บนคลาส A กล่าวได้ว่าเป็นการเข้ารหัสซูเปอร์คลาสของภาพผกผันขององค์ประกอบของ A ภายใต้ R ความสัมพันธ์ของคลาส R บนคลาส A กล่าวได้ว่าเป็นการเข้ารหัสแบบขยายของซูเปอร์คลาสนี้ ถ้าองค์ประกอบที่แตกต่างกันของ A มีภาพผกผันที่แตกต่างกัน
• สัจพจน์ของจำนวนสมาชิก:ถ้าสองกลุ่มมีจำนวนสมาชิกนับไม่ได้ แสดงว่าทั้งสองกลุ่มมีขนาดเท่ากัน