ให้และเป็นจุดคู่ใด ๆ และให้เนื่องจากเป็นเซตกระชับ (compact) จึงบรรจุอยู่ในทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ให้รัศมีของทรงกลมนี้เป็นให้เป็นส่วนตัดของกับทรงกลมปิดที่มีรัศมี รอบดังนั้นเป็นเซตกระชับและไม่ว่างเปล่าเพราะบรรจุเนื่องจากฟังก์ชันระยะทางต่อเนื่อง จึงมีจุดและที่มีระยะทางน้อยที่สุดในบรรดาจุดคู่ทั้งหมดใน เหลือเพียงแสดงว่าและมีระยะทางน้อยที่สุดในบรรดาจุดคู่ทั้งหมดใน สมมติเพื่อขัดแย้งว่ามีจุดและที่โดยเฉพาะอย่างยิ่งและโดยอสมการสามเหลี่ยมดังนั้น จึงบรรจุอยู่ในซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่าและมีระยะทางน้อยที่สุดในบรรดาจุดคู่ทั้งหมดใน${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle r_{1}=\|ba\|}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle S=B\cap {\overline {B_{r_{1}+r_{2}}(a)}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle r_{1}+r_{2}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle S}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle \|a_{0}-b_{0}\|}$${\displaystyle A\times S}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle A\times B}$${\displaystyle a'}$${\displaystyle b'}$${\displaystyle \|a'-b'\|<\|a_{0}-b_{0}\|}$${\displaystyle \|a'-b'\|<r_{1}}$${\displaystyle \|ab'\|\leq \|a'-b'\|+\|aa'\|<r_{1}+r_{2}}$${\displaystyle b'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle A\times S}$${\displaystyle \square }$

เราจะพิสูจน์กรณีที่สองก่อน (ดูแผนภาพประกอบ)

โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เซตนี้เป็นเซตกระชับ ตามบทพิสูจน์ย่อย จะมีจุดและที่มีระยะห่างน้อยที่สุดระหว่างกัน เนื่องจากและไม่ทับซ้อนกัน เราจึงได้ทีนี้ สร้างระนาบไฮเปอร์สองระนาบที่ตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงโดยที่และข้ามผ่านเราอ้างว่าทั้ง และไม่เข้าไปในปริภูมิระหว่างและดังนั้นระนาบไฮเปอร์ที่ตั้งฉากกันจึงเป็นไปตามข้อกำหนดของทฤษฎีบท ${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{0}\in A}$${\displaystyle b_{0}\in B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a_{0}\neq b_{0}}$${\displaystyle L_{A},L_{B}}$${\displaystyle [a_{0},b_{0}]}$${\displaystyle L_{A}}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle L_{B}}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle L_{A},L_{B}}$${\displaystyle (a_{0},b_{0})}$

ใน ทาง พีชคณิต ระนาบไฮเปอร์ถูกกำหนดโดยเวกเตอร์และค่าคงที่สองค่าโดยที่ข้ออ้างของเราคือและ${\displaystyle L_{A},L_{B}}$${\displaystyle v:=b_{0}-a_{0}}$${\displaystyle c_{A}:=\langle v,a_{0}\rangle <c_{B}:=\langle v,b_{0}\rangle }$${\displaystyle L_{A}=\{x:\langle v,x\rangle =c_{A}\},L_{B}=\{x:\langle v,x\rangle =c_{B}\}}$${\displaystyle \forall a\in A,\langle v,a\rangle \leq c_{A}}$${\displaystyle \forall b\in B,\langle v,b\rangle \geq c_{B}}$

สมมติเพื่อพิสูจน์ข้อขัดแย้งว่ามีจุดบางจุดที่ทำให้ . เนื่องจากเกรเดียนต์ของฟังก์ชันกำหนดโดย ดังนั้นอนุพันธ์ทิศทางจึงมีเครื่องหมายเดียวกับซึ่งก็คือลบ ดังนั้นสำหรับค่า ที่เล็กพอจุดนั้นจะสอดคล้องกับ ซึ่งขัดแย้งกับการเลือกเนื่องจากคุณสมบัติความนูน การให้เหตุผลในทำนองเดียวกันแสดงให้เห็นว่า. ${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle \langle v,a\rangle >c_{A}}$${\displaystyle f(z)=\|z-b_{0}\|^{2}}$${\displaystyle \nabla f(z)=2(z-b_{0})}$${\displaystyle \nabla _{a-a_{0}}f(a_{0})}$${\displaystyle \langle a-a_{0},2(a_{0}-b_{0})\rangle =-2\langle a-a_{0},v\rangle }$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle a'=a_{0}+\epsilon (a-a_{0})}$${\displaystyle f(a')<f(a_{0})}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a'\in A}$${\displaystyle \forall b\in B,\langle v,b\rangle \geq c_{B}}$

มาเริ่มกันที่คดีแรกเลยครับ

พิจารณาทั้งจากภายในโดยและโดยที่แต่ละเซตปิดและกะทัดรัด และผลรวมของเซตเหล่านั้นคือเซตภายในสัมพัทธ์(ดู รายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่หน้า เซต ภายในสัมพัทธ์ ) ${\displaystyle A,B}$${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots \subseteq A}$${\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\subseteq \cdots \subseteq B}$${\displaystyle A_{k},B_{k}}$${\displaystyle \mathrm {relint} (A),\mathrm {relint} (B)}$

ในกรณีที่สอง สำหรับแต่ละคู่จะมีเวกเตอร์หน่วยและจำนวนจริง บางค่า ที่ ทำให้${\displaystyle A_{k},B_{k}}$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle c_{k}}$${\displaystyle \langle v_{k},A_{k}\rangle <c_{k}<\langle v_{k},B_{k}\rangle }$

เนื่องจากทรงกลมหน่วยเป็นทรงกลมกระชับ เราจึงสามารถเลือกอนุกรมย่อยลู่เข้าได้ ดังนั้น. ให้. เราอ้างว่าดังนั้นจึงแยก. ${\displaystyle v_{k}\to v}$${\displaystyle c_{A}:=\sup _{a\in A}\langle v,a\rangle ,c_{B}:=\inf _{b\in B}\langle v,b\rangle }$${\displaystyle c_{A}\leq c_{B}}$${\displaystyle A,B}$

สมมติว่าไม่ใช่เช่นนั้น ก็จะมีอยู่บางค่าที่ทำให้แล้วเนื่องจากสำหรับค่า ที่มากพอเราจะได้ซึ่งขัดแย้งกัน ${\displaystyle a\in A,b\in B}$${\displaystyle \langle v,a\rangle >\langle v,b\rangle }$${\displaystyle v_{k}\to v}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \langle v_{k},a\rangle >\langle v_{k},b\rangle }$

ถ้าปริภูมิเชิงเส้นของไม่ใช่ทั้งหมดของแล้วให้ขยายปริภูมิเชิงเส้นนั้นไปยังระนาบรองรับ มิฉะนั้นจะไม่ทับซ้อนกับดังนั้นให้ใช้ทฤษฎีบทข้างต้น ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathrm {relint} (A)=\mathrm {int} (A)}$${\displaystyle \mathrm {relint} (\{a_{0}\})=\{a_{0}\}}$