Serpentilesเป็นชื่อที่ Kurt N. Van Ness ตั้งขึ้นสำหรับกระเบื้องหกเหลี่ยมที่ใช้ในเกมกลยุทธ์เชิงนามธรรมแบบจับคู่ขอบ ต่างๆ เช่นPsyche-Paths , KalikoและTantrix [ ^{1 ] สำหรับกระเบื้องแต่ละแผ่น จะใช้สีหนึ่งถึงสาม สี}ในการวาดเส้นทางเชื่อมด้านทั้งหกเข้าด้วยกันในรูปแบบต่างๆ แต่ละด้านจะเชื่อมต่อกับอีกด้านหนึ่งด้วยเส้นทางและสีที่เฉพาะเจาะจง โดยทั่วไปแล้วการเล่นเกมจะดำเนินไปในลักษณะที่ผู้เล่นผลัดกันวางกระเบื้อง ในแต่ละตา จะมีการวางกระเบื้องติดกับกระเบื้องที่มีอยู่แล้วเพื่อให้เส้นทางสีต่อเนื่องกันไปตามขอบกระเบื้อง

Serpentilesเป็นชื่อของเกมต่อจิ๊กซอว์แบบเล่นคนเดียวที่พัฒนาโดย Brett J. Gilbert และจัดจำหน่ายโดยThinkFunในปี 2008 เกม Serpentiles (2008) ประกอบด้วยแผ่นกระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัส (1×1) และสี่เหลี่ยมผืนผ้า (2×1) รวมถึงการ์ดท้าทายซึ่งมีรายการแผ่นกระเบื้องที่ควรจัดเรียงเพื่อให้ได้เส้นทางต่อเนื่อง

นอกจากนี้ Van Ness ยังคิดค้นระบบสัญลักษณ์สามหลักสำหรับหมวดหมู่กระเบื้อง โดยอิงจากเส้นทางที่แสดงบนกระเบื้อง สัญลักษณ์xyzหมายถึง: ^{[ 2 ]}

• x = จำนวนเส้นทางที่เชื่อมระหว่างด้านต่างๆ โดยมีความสัมพันธ์แบบประชิด 3 และห่างกัน 2 ส่วน (ด้านตรงข้าม)
• y = จำนวนเส้นทางที่เชื่อมด้านต่างๆ โดยมีความสัมพันธ์แบบประชิด 2 และห่างกัน 1 ส่วน
• z = จำนวนเส้นทางที่เชื่อมด้านต่างๆ โดยมีความสัมพันธ์แบบ 1 และห่างกัน 0 ส่วน (ด้านที่อยู่ติดกัน)

ควรจะชัดเจนว่าค่าความประชิด 3 คือค่าสูงสุด เนื่องจากมีหกด้าน จึงมีเส้นทางสามเส้นระหว่างด้าน และผลรวมของตัวเลขในสัญลักษณ์จะเป็นสามเสมอ แวน เนสส์ยังได้ตีพิมพ์คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ด้วย: โดยที่คือจำนวนส่วนที่มีความประชิด[ ^{2 ] มี}ชุดค่าผสมที่แตกต่างกันห้าแบบของหกด้านและเส้นทางสามเส้น^{[ 3 ]}โดยไม่คำนึงถึงความเป็นไปได้ในการเปลี่ยนสีเส้นทางในตอนนี้: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{3}10^{n-1}a_{n}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle n}$

• 6S3P: รูปหลายเหลี่ยมหกเหลี่ยมที่มีสามเส้นทาง
• 
  003แสดงว่าเส้นทางเชื่อมต่อด้านที่อยู่ติดกันสามด้าน
• 
  021แสดงว่าเส้นทางเชื่อมต่อด้านที่อยู่ติดกันด้านหนึ่งและสองด้านที่ห่างกันหนึ่งส่วน
• 
  102ซึ่งระบุว่าเส้นทางเชื่อมต่อด้านที่อยู่ติดกันสองด้านและด้านตรงข้ามหนึ่งชุด
• 
  120แสดงว่าเส้นทางเชื่อมต่อสองด้านที่อยู่ห่างกันหนึ่งส่วนและด้านตรงข้ามหนึ่งชุด
• 
  300ซึ่งบ่งชี้ว่าเส้นทางเชื่อมโยงด้านตรงข้ามทั้งสามด้านเข้าด้วยกันอย่างสมบูรณ์

การหมุนแบบตั้งฉากที่ทำให้รูปหกเหลี่ยมยังคงอยู่ในทิศทางเดิม (โดยมีด้านแบนอยู่ทางซ้ายและขวา) คือ 60° รูปหกเหลี่ยมปกติมีตำแหน่งการหมุนแบบตั้งฉากที่เป็นไปได้หกตำแหน่ง (360°/60°) จากการตรวจสอบพบว่า300มีสมมาตรแบบหมุน : การหมุน 60° ใดๆ จะทำให้ด้านเดิมเชื่อมต่อกัน ดังนั้น300จึงมีตำแหน่งการหมุนที่ไม่ซ้ำกันหนึ่งตำแหน่ง ในทำนองเดียวกัน003มีตำแหน่งการหมุนที่ไม่ซ้ำกันสองตำแหน่ง; การหมุน 60° หนึ่งครั้งจะทำให้ด้านที่แตกต่างกันเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง แต่การหมุน 60° ครั้งที่สองในทิศทางเดียวกันจะทำให้ด้านเดิมเชื่อมต่อกันอีกครั้ง ในทำนองเดียวกัน102และ120ต่างก็มีตำแหน่งการหมุนที่ไม่ซ้ำกันสามตำแหน่ง และ021มีตำแหน่งการหมุนที่ไม่ซ้ำกันหกตำแหน่ง

การหมุนเชิงตั้งฉากของ003

การปฐมนิเทศ 12-34-56

การวางแนว 23-45-61 หลังจากการหมุนตั้งฉากหนึ่งครั้ง

เพื่อให้สามารถอธิบายตำแหน่งการหมุนแต่ละตำแหน่งได้อย่างเฉพาะเจาะจง ลองนึกภาพว่ามีการใช้กรอบอ้างอิงที่แต่ละด้านมีหมายเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 เรียงลำดับทวนเข็มนาฬิกา เส้นทางที่เชื่อมต่อด้านต่างๆ สามารถอธิบายได้ว่าเป็นคู่ที่เชื่อมโยงกัน

ตัวอย่างเช่น สำหรับ003ด้านบน เมื่อหมุนทวนเข็มนาฬิกาจากขอบล่างขวา สัญลักษณ์เส้นทาง/คู่จะเป็น 12-34-56 การหมุนรูปทรงแบบตั้งฉากเพียงครั้งเดียวจะเพิ่มหนึ่ง (ถ้าหมุนทวนเข็มนาฬิกา) หรือลบหนึ่ง (ถ้าหมุนตามเข็มนาฬิกา) ให้กับแต่ละตัวเลข โดยใช้โมดูลัส 6 ด้วยวิธีนี้ เส้นทางที่เชื่อมโยงกันด้วยการหมุนแบบตั้งฉาก (60°) ทวนเข็มนาฬิกาจะเปลี่ยนเป็น 23-45-67 หรือเขียนใหม่โดยใช้โมดูลัส 6 จะได้ 23-45-61 ซึ่งแสดงให้เห็นว่าด้านต่างๆ เชื่อมโยงกันด้วยการหมุนแบบตั้งฉากเพียงครั้งเดียว ลำดับเฉพาะภายในคู่และลำดับที่เขียนคู่ไม่มีผลต่อการจัดเรียง ตัวอย่างเช่น 23-45-61 เทียบเท่ากับ 23-45-16 และ 16-23-45 ดังนั้น ด้วยการหมุนเชิงตั้งฉากครั้งที่สอง ซึ่งส่งผลให้ได้ 34-56-12 จึงสามารถแสดงให้เห็นได้อย่างง่ายดายว่าการหมุนเชิงตั้งฉากครั้งที่สองนั้นเทียบเท่ากับ 12-34-56 ซึ่งเป็นทิศทางเดิม

กรอบอ้างอิงอาจกำหนดหมายเลขเรียงลำดับตามเข็มนาฬิกาได้เช่นกัน ในกรณีนั้น การหมุนตามเข็มนาฬิกาจะเพิ่มค่าขึ้น 1 ในขณะที่การหมุนทวนเข็มนาฬิกาจะลดค่าลง 1 ทิศทางของกรอบอ้างอิง (ตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา) มีผลต่อการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นในการหมุนแผ่นกระเบื้องเท่านั้น ในทำนองเดียวกัน การเลือกจุดกำเนิด (ด้านใดถูกกำหนดให้เป็นด้านแรก) สำหรับกรอบอ้างอิงนั้นเป็นไปโดยพลการ แต่กรอบอ้างอิงจะคงที่ในระหว่างการหมุน

การอธิบายแผ่นกระเบื้องโดยใช้ด้านที่เชื่อมต่อกันนั้นยังรวมถึงสัญกรณ์แวนเนสแบบสามหลักโดยปริยายด้วย สำหรับลำดับสามคู่ใดๆAB - CD - EFสัญกรณ์แวนเนสสามารถกู้คืนได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้: ${\displaystyle 10^{[min(\left\vert BA\right\vert ,6-\left\vert BA\right\vert )-1]{\bmod {3}}}+10^{[min(\left\vert DC\right\vert ,6-\left\vert DC\right\vert )-1]{\bmod {3}}}+10^{[min(\left\vert FE\right\vert ,6-\ซ้าย\เวิร์ต FE\ขวา\เวิร์ต )-1]{\bmod {3}}}}$

แม้ว่ารูปหลายเหลี่ยมหกเหลี่ยมปกติจะสามารถใช้คลุมพื้นผิวระนาบได้โดยไม่มีช่องว่าง แต่รูปหลายเหลี่ยมสี่เหลี่ยมปกติก็สามารถใช้ได้เช่นกัน สี่เหลี่ยมที่มีเส้นทางสองเส้นเชื่อมด้านต่างๆ สามารถอธิบายได้ในลักษณะเดียวกัน โดยใช้สัญลักษณ์สองหลักyzมีเพียงสองรูปแบบที่เป็นไปได้เท่านั้น^{[ 3 ]}

• 4S2P: รูปหลายเหลี่ยมสี่ด้านที่มีสองเส้นทาง
• 
  02ซึ่งแสดงว่าเส้นทางเชื่อมต่อระหว่างสองด้านที่อยู่ติดกัน
• 
  20ซึ่งบ่งชี้ว่าเส้นทางเชื่อมโยงสองด้านตรงข้ามกัน

เช่นเดียวกับกรณีหกเหลี่ยม20 (ซึ่งเส้นทางทั้งหมดเชื่อมต่อด้านตรงข้าม) มีสมมาตรแบบหมุน เห็นได้ชัดว่า02ไม่มีสมมาตรแบบหมุน เนื่องจากการหมุนกระเบื้อง 90° ตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกาจะเชื่อมต่อด้านที่แตกต่างกัน เปรียบเทียบกับกระเบื้องเดียวกันที่หมุนไป 90°: กระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ไม่มีสมมาตรแบบหมุนเรียกว่ากระเบื้อง Truchetดังที่อธิบายไว้ในบันทึกความทรงจำปี 1704 โดยSébastien Truchetชื่อ "Mémoire sur les combinaisons" และได้รับความนิยมในปี 1987 โดยCyril Stanley Smith ^{[ 4 ] [ 5 ]}

ในทำนองเดียวกัน รูปหลายเหลี่ยมแปดด้านปกติ (รูปแปดเหลี่ยม) สามารถมีเส้นทางสี่เส้นที่จับคู่ด้านทั้งแปด ซึ่งอธิบายโดยใช้สัญกรณ์ของ Van Ness ในลักษณะเดียวกันกับสัญกรณ์สี่หลักwxyzมีชุดค่าผสมที่แตกต่างกัน 18 ชุด: ^{[ 3 ]}

• 8S4P: รูปหลายเหลี่ยมแปดด้านที่มีสี่เส้นทาง
• 
  0004
• 
  0022
• 
  0040
• 
  0103
• 
  0121 (ก)
• 
  0121 (ข)
• 
  0202
• 
  0220
• 
  0301
• 
  0400
• 
  1012
• 
  1111 (ก)
• 
  1111 (ข)
• 
  1210
• 
  2002
• 
  2020
• 
  2200
• 
  4000

เช่นเดียวกับตัวอย่างรูปหกเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมก่อนหน้านี้ กรณีที่เชื่อมโยงด้านตรงข้ามทั้งหมด ( 4000 ) มีสมมาตรแบบหมุนได้ โปรดทราบว่าสำหรับรูปแปดเหลี่ยม สัญลักษณ์จะไม่สามารถอธิบายการกำหนดค่าเส้นทางได้อย่างเฉพาะเจาะจงอีกต่อไป มีสัญลักษณ์ที่ซ้ำกันสองแบบในแกลเลอรี: 0121และ1111คู่1111เป็นภาพสะท้อน สัญลักษณ์ตำแหน่งการหมุนสามารถนำมาใช้เพื่อแยกแยะไทล์เหล่านี้ได้ โดยใช้กรอบอ้างอิงที่กำหนดหมายเลขทวนเข็มนาฬิกาโดยเริ่มจากขอบด้านล่าง0121 (a) ด้านบนสามารถเขียนได้เป็น " 0121 12-36-47-68" ซึ่งแตกต่างจาก0121 (b): " 0121 12-38-46-57" ในทำนองเดียวกัน1111 (a) คือ " 1111 12-36-48-57" ซึ่งแตกต่างจาก1111 (b): " 1111 13-25-48-67" เมื่อใช้เลขคณิตแบบโมดูลาร์ (โมดูล 8) 1111 (a) และ (b) สามารถหมุนทวนเข็มนาฬิกาได้หนึ่งองศา (45°) ไปยังตำแหน่ง "15-24-36-78" และ "15-68-47-23" ตามลำดับ ซึ่งแสดงให้เห็นถึงสมมาตรสะท้อนคู่ของพวกมัน

กระเบื้องรูปแปดเหลี่ยมเหล่านี้สามารถนำมาผสมผสานกับกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อธิบายไว้ในที่นี้ (หมุน 45° เพื่อเติมเต็มช่องว่างระหว่างกระเบื้อง) เพื่อปูพื้นผิวทั้งหมดที่มีทางเดินตามขอบทั้งหมด^{[ 6 ]}

การอภิปรายก่อนหน้านี้ได้กล่าวถึงกรณีของรูปหลายเหลี่ยมปกติ 4, 6 และ 8 ด้าน ที่มีจุดเข้าเพียงจุดเดียวต่อด้าน โดยแต่ละด้านเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง เนื่องจากเส้นทางเชื่อมต่อด้านที่แตกต่างกันสองด้าน การใช้จุดเข้าเพียงจุดเดียวต่อด้านจึงต้องใช้รูปหลายเหลี่ยมปกติ2nด้าน ที่มีจำนวนด้านเป็นเลขคู่ เพื่อให้แน่ใจว่าจุดเข้าทั้งหมดเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง หากมีแผ่นกระเบื้องที่มีจำนวนด้านเป็นเลขคี่ จำนวนจุดเข้าที่เป็นเลขคู่ก็จะช่วยให้มั่นใจได้ว่าจุดเข้าทั้งหมดเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางเช่นกัน

• 3S3P: รูปหลายเหลี่ยมสามด้านที่มีสามเส้นทาง
• 
  003 (ก) 12-34-56
• 
  003 (ข) 16-23-45
• 
  021 (ก) 12-35-46
• 
  021 (ข) 13-26-45
• 
  102 12-36-45
• 
  120 15-24-36
• 
  300 14-25-36

ตัวอย่างเช่น รูปหลายเหลี่ยม 3 ด้านปกติ ( สามเหลี่ยมด้านเท่า ) อาจมีจุดเข้า 2 จุดต่อด้าน มีชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ 7 ชุดโดยใช้เส้นทาง 3 เส้นต่อแผ่น ดังแสดงในภาพด้านบน^{[ 3 ]}แม้ว่าสัญลักษณ์ของ Van Ness จะสามารถนำไปใช้ได้โดยการปรับเปลี่ยนให้มีการนับความติดกันแทนด้าน แต่ละแผ่นจะไม่ถูกอธิบายอย่างเฉพาะเจาะจงด้วยสัญลักษณ์ของ Van Ness แม้ว่าความสัมพันธ์ระหว่าง กรณี 003 (a) และ (b) จะเห็นได้จากการวาดรูปสามเหลี่ยม ดังตัวอย่างที่แสดงไว้ที่นี่ สามารถวาดรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันสำหรับ กรณี 021 (a) เพื่อแสดงความสัมพันธ์กับ021 (b)

อาจจะง่ายกว่าที่จะอธิบายแผ่นกระเบื้องโดยใช้การจับคู่เส้นทางแทน ในชุดแผ่นกระเบื้องสามด้านที่มีจุดเข้าสองจุดต่อด้านและมีสามเส้นทาง การนับเลขจะเริ่มต้นจากจุดซ้ายสุดบนขอบด้านล่างและดำเนินไปตามลำดับทวนเข็มนาฬิกา

การหมุนครบหนึ่งรอบจะหมุนแผ่นกระเบื้องไป 120° (=360°/3 ด้าน) การคำนวณการหมุนทำได้โดยการบวกสอง แล้วหารด้วยหก พิจารณาแผ่นกระเบื้อง (12-34-56) การหมุนแผ่นกระเบื้องหนึ่งรอบหรือมากกว่านั้น จะไม่ทำให้จุดที่เชื่อมต่อกันเปลี่ยนแปลงไป เพื่อแสดงให้เห็นสิ่งนี้ การหมุนทวนเข็มนาฬิกาหนึ่งรอบจะได้การจัดเรียงเป็น (34-56-78) หรือหลังจากคำนวณแบบโมดูลัสแล้วจะได้ (34-56-12) ซึ่งสามารถจัดเรียงใหม่เป็น (12-34-56) แสดงให้เห็นว่าการหมุนหนึ่งรอบไม่ส่งผลกระทบต่อเส้นทางที่เชื่อมต่อกัน ดังนั้นจึงมีตำแหน่งการหมุนที่แตกต่างกันเพียงตำแหน่งเดียวสำหรับแผ่นกระเบื้องนี้ ในทางกลับกัน พิจารณาแผ่นกระเบื้อง (13-26-45) การหมุนทวนเข็มนาฬิกาสองรอบแรกของแผ่นกระเบื้องนี้จะได้การจัดเรียงเป็น (16-24-35) และ (15-23-46) ตามลำดับ ดังนั้นแผ่นกระเบื้องนี้จึงมีตำแหน่งการหมุนที่แตกต่างกันสามตำแหน่ง

ในทำนองเดียวกัน รูปหลายเหลี่ยม 4 ด้านปกติ (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) ที่มีจุดเข้า 2 จุดต่อด้าน จะมีชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ 35 ชุด โดยใช้เส้นทาง 4 เส้นทางต่อแผ่น^{[ 3 ]} การหมุนสมบูรณ์คือ 90° และสามารถกำหนดสมมาตรการหมุนได้โดยการบวก 2 โมดูล 8 ในลักษณะที่คล้ายกับกรณีสามเหลี่ยมด้านเท่าข้างต้น ชุดของรูปหลายเหลี่ยมสี่ด้านที่มีจุดเข้า 2 จุด ต่อด้านและเส้นทาง 4 เส้นทางต่อแผ่นนี้ใช้ในเกมกระดานเชิงพาณิชย์Tsuro

• 4S4P: รูปหลายเหลี่ยมสี่ด้านที่มีสี่เส้นทาง
• 
  0004 (ก) 12-34-56-78
• 
  0004 (ข) 18-23-45-67
• 
  0022 (ก) 12-34-57-68
• 
  0022 (ข) 18-23-46-57
• 
  0040 (ก) 17-24-35-68
• 
  0040 (ข) 17-28-35-46
• 
  0103 (ก) 12-34-58-67
• 
  0103 (ข) 12-38-45-67
• 
  0121 (ก) 12-35-47-68
• 
  0121 (ข) 17-23-46-58
• 
  0121 (x) 12-38-46-57
• 
  0121 (y) 17-28-36-45
• 
  0202 (ก) 12-38-47-56
• 
  0202 (ข) 18-27-36-45
• 
  0220 (ก) 16-28-35-47
• 
  0220 (ข) 17-24-36-58
• 
  0301 (ก) 12-36-47-58
• 
  0301 (ข) 16-23-47-58
• 
  0400 (ก) 14-27-36-58
• 
  0400 (ข) 16-25-38-47
• 
  1012 (ก) 12-35-48-67
• 
  1012 (ข) 12-37-45-68
• 
  1111 (ก) 16-28-37-45
• 
  1111 (ข) 13-25-48-67
• 
  1111 (x) 12-36-48-57
• 
  1111 (y) 12-37-46-58
• 
  1210 (ก) 13-26-47-58
• 
  1210 (ข) 15-28-36-47
• 
  2545 (ก) 12-37-48-56
• 
  2545 (ข) 18-26-37-45
• 
  2020 (ก) 13-26-48-57
• 
  2020 (ข) 15-28-37-46
• 
  2200 (ก) 16-25-37-48
• 
  2200 (ข) 15-27-36-48
• 
  4000 15-26-37-48

ความสัมพันธ์ที่จารึกไว้

0400 (ก) จารึก0400 (ข)

1111 (x) จารึก1111 (a)

ในบางกรณี การจับคู่ (a) และ (b) [หรือ (a) และ (x)] สามารถกู้คืนได้โดยการวาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสในลักษณะเดียวกัน ในกรณีอื่นๆ เซต [(a) & (b)] หรือ [(x) & (y)] เป็นคู่ภาพสะท้อนกัน

สำหรับกรณีทั่วไปที่กระเบื้องเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติn ด้าน โดยมีจุดเข้า mจุดต่อด้าน ดังนั้นผลคูณจึงเป็นเลขคู่ จำนวนชุดค่าผสมที่แตกต่างกันสามารถคำนวณได้ดังนี้^{[ 3 ]}${\displaystyle m\cdot n}$${\displaystyle A(n,m)}$

${\displaystyle A(n,m)={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{n=pq}\varphi (p)\cdot \alpha (p,mq)}$

${\displaystyle \varphi (p)}$คือฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์โดยที่${\displaystyle \varphi (p)=r\prod _{p\mid r}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$

${\displaystyle \alpha (p,mq)}$เป็นฟังก์ชันเงื่อนไขที่กำหนดดังนี้:

${\displaystyle \alpha (p,mq)={\begin{cases}\sum _{0\leq 2j\leq mq}p^{j}{\dbinom {mq}{2j}}(2j-1)&{\text{ถ้า }}p{\text{ เป็นจำนวนคู่}}\\p^{\frac {mq}{2}}(mq-1)&{\text{ถ้า }}p{\text{ เป็นจำนวนคี่}}\end{cases}}}$

ตัวอย่างเช่นรูปสิบ เหลี่ยม 10 ด้าน ที่มีเส้นทางเดียวต่อด้าน (รวม 5 เส้นทาง) จะมี 105 รูปแบบ^{[ 3 ]}

จำนวนไทล์ที่ไม่ซ้ำกันที่มีnด้าน แต่ละด้านมีmจุดเข้า^{[ 3 ]}

mจุดเข้าต่อด้าน nจำนวนด้าน	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0 (วงกลม)	1		1		2		5		18
1 (โมโนกอน)	1		1		3		15		105
2 (ดิกอน)	1	1	3	11	65	513	5363	68219	เอ็น/ซี
3 (สามเหลี่ยม)	1		7		3483		เอ็น/ซี		เอ็น/ซี
4 (สี่เหลี่ยม)	1	2	35	2688	508277	เอ็น/ซี	เอ็น/ซี	เอ็น/ซี	เอ็น/ซี
5 (รูปห้าเหลี่ยม)	1		193		เอ็น/ซี		เอ็น/ซี		เอ็น/ซี
6 (หกเหลี่ยม)	1	5	1799	เอ็น/ซี	เอ็น/ซี	เอ็น/ซี	เอ็น/ซี	เอ็น/ซี	เอ็น/ซี
7 (เจ็ดเหลี่ยม)	1		19311		เอ็น/ซี		เอ็น/ซี		เอ็น/ซี
8 (แปดเหลี่ยม)	1	18	254143	เอ็น/ซี	เอ็น/ซี	เอ็น/ซี	เอ็น/ซี	เอ็น/ซี	เอ็น/ซี
9 (นอนเหลี่ยม)	1		เอ็น/ซี		เอ็น/ซี		เอ็น/ซี		เอ็น/ซี
10 (สิบเหลี่ยม)	1	105	เอ็น/ซี	เอ็น/ซี	เอ็น/ซี	เอ็น/ซี	เอ็น/ซี	เอ็น/ซี	เอ็น/ซี

(ค่าหลายค่าจากแหล่งข้อมูลต้นฉบับถูกระบุเป็น N/C ซึ่งหมายถึงไม่ได้คำนวณ) ^{[ 3 ]}

เกม Psyche-Paths ต้องใช้ผู้เล่นหนึ่งถึงหกคน ผู้เล่นผลัดกันวางแผ่นกระเบื้อง แผ่นกระเบื้องแต่ละแผ่นที่วางถัดจากแผ่นกระเบื้องที่วางไปแล้วจะต้องต่อสีของเส้นทางบนขอบที่อยู่ติดกันที่มีอยู่ มีแผ่นกระเบื้องว่างหกแผ่นเป็น "ไพ่พิเศษ" และถือว่าต่อเส้นทางที่อยู่ติดกันได้ จะมีการจั่วแผ่นกระเบื้องหนึ่งแผ่นในตอนเริ่มต้นเกมและวางไว้ตรงกลางสนามเล่นเพื่อ "วางเมล็ด" เกม^{[ 7 ]}

ในเกม Psyche-Paths ระดับ "เริ่มต้น" ผู้เล่นจะจั่วไทล์หนึ่งแผ่นจากกองไทล์ที่คว่ำหน้าลงเมื่อถึงตาของตนเอง จะได้รับ 1 คะแนนสำหรับแต่ละเส้นทางที่เชื่อมต่อกัน หากผู้เล่นไม่สามารถวางไทล์ได้หรือเล่นผิดกติกา ไทล์นั้นจะถูกเก็บไว้ และผู้เล่นจะถูกหักคะแนนเท่ากับจำนวนเส้นทางที่วิ่งผ่านไทล์ที่ถูกเก็บไว้เมื่อจบเกม^{[ 7 ]}

ในเกม Psyche-Paths แบบ "มาตรฐาน" ผู้เล่นสองถึงสี่คนจะจั่วไพ่คนละหกใบในตอนเริ่มต้นเกม ในแต่ละตา ผู้เล่นสามารถวางไพ่ทั้งหมดหรือบางส่วนของตนได้ โดยจะเติมไพ่ในมือให้ครบหกใบเมื่อจบตาจากกองไพ่ที่คว่ำหน้าอยู่ เมื่อวางไพ่ จะได้รับคะแนนก็ต่อเมื่อปลายของเส้นทางที่มีอยู่สองเส้นขึ้นไปเชื่อมต่อกัน ผู้เล่นจะได้รับคะแนนเท่ากับจำนวนไพ่ที่มีเส้นทางสีที่เชื่อมต่อกัน จะได้รับสามคะแนนหากเส้นทางตัดกันเอง และคะแนนจะเพิ่มเป็นสองเท่าหากเส้นทางปิดลง จะไม่มีการหักคะแนนสำหรับไพ่ที่เหลือ^{[ 7 ]}เกม Psyche-Paths แบบ "คลาสสิก" คล้ายกับแบบ "มาตรฐาน" แต่เพิ่มกฎว่าการเคลื่อนไหวแต่ละครั้งจะต้องส่งผลให้เกิดเส้นทางเดียวผ่านไพ่ทั้งหมดในการเคลื่อนไหวนั้น^{[ 7 ]}

"Solitaire" Psyche-Paths ไม่มีกฎเฉพาะเจาะจง แต่เป็นเพียงคำแนะนำ เช่น การสร้างแถวสลับกันที่มีความยาวแปดและเก้าชิ้นโดยใช้การเคลื่อนไหวที่ถูกต้อง^{[ 7 ]}

กระเบื้องสี่เหลี่ยมใช้ในเกมเชื่อมต่อเช่นเกม Black Path Game (ที่มีเส้นทางสีเดียว) และTrax (ที่มีเส้นทางสองสี) กระเบื้องแปดเหลี่ยมที่มีเส้นทางสีเดียวใช้กับช่องว่างระหว่างกันและกระดานเกมที่มีลิงก์ ที่พิมพ์ไว้ล่วงหน้าสำหรับเกมOctiles ^{[ 8 ] [ 9 ]}

เกมSerpentiles (2008) พัฒนาโดย Brett J. Gilbert ^{[ 10 ]}และเผยแพร่โดยThinkFunในปี 2008 ^{[ 11 ]}เกมSerpentiles (2008) ประกอบด้วยแผ่นพลาสติก 19 แผ่น: แผ่นสี่เหลี่ยมจัตุรัส (1×1) 4 แผ่น และแผ่นสี่เหลี่ยมผืนผ้า (2×1) 12 แผ่น โดยแต่ละแผ่นมีเส้นทางสีเขียวหรือสีน้ำเงินพิมพ์อยู่ และแผ่นโหนดสี่เหลี่ยมจัตุรัส (1×1) 3 แผ่น ที่มีปลายเส้นทางสีน้ำเงินและสีเขียวตรงกัน เกมปี 2008 ยังมีการ์ดท้าทาย 40 ใบ ซึ่งมีรายการแผ่น (รวมถึงโหนดสองแผ่น) ที่ต้องจัดเรียงเพื่อให้ได้เส้นทางต่อเนื่องหนึ่งเส้นของแต่ละสี^{[ 12 ]}

เกมเชื่อมต่อขอบกระเบื้องหกเหลี่ยมดั้งเดิม Psyche-Paths ออกแบบโดยCharles TitusและCraige Schenstedและตีพิมพ์ในช่วงทศวรรษ 1960 ^{[ 13 ]}โดยมีชุดกระเบื้องที่ไม่ซ้ำกัน 85 ชุด และ "ไพ่พิเศษ" ว่างเปล่า 6 ใบ บนกระเบื้องกระดาษแข็ง^{[ 7 ]}ในการวิจารณ์ นักวิจัยตั้งข้อสังเกตว่าเกมนี้ "รองรับช่วงอายุ ความสนใจ และรูปแบบการเล่นที่หลากหลาย ... [เกี่ยวข้องกับ] ทักษะหลายอย่างที่น่าสนใจเป็นพิเศษสำหรับครูและผู้ปกครอง" ^{[ 14 ]} Steve Titus ลูกชายของ Charles ได้นำเกมนี้กลับมาวางจำหน่ายอีกครั้งในช่วงทศวรรษ 1980 ในชื่อ Kaliko โดยใช้กระเบื้องอะคริลิกพิมพ์สกรีนภายใต้ธุรกิจของครอบครัว Future Games Kaliko ได้รับอนุญาตให้ Kadon ในปี 1986 และเปลี่ยนมาใช้กระเบื้องไม้หลังจากปี 2001 ^{[ 15 ]}

Tantrix เปิดตัวในปี 1988 โดยนักประดิษฐ์ Mike McManaway โดยใช้เส้นทางผสมที่เป็นไปได้สี่ในห้าแบบ (โดยใช้สัญลักษณ์ของ Van Ness: 003 , 021 , 102และ120ไม่รวม300 ) เพื่อสร้างไทล์ที่ไม่ซ้ำกัน 56 แบบ โดยแต่ละแบบมีสามสีที่แตกต่างกันซึ่งเลือกจากจานสีสี่สี นวัตกรรมหลักของ Tantrix คือการเข้ารหัสตัวเลขที่ด้านหลังของไทล์ ทำให้สามารถใช้ไทล์ย่อยจาก 56 แบบสำหรับปริศนาเดี่ยวได้^{[ 16 ]}

ตารางด้านล่างแสดงชุดกระเบื้องทั้งหมด 85 ชิ้น โดยสมมติว่าแต่ละกระเบื้องมีสีเส้นทางที่แตกต่างกันได้มากถึงสามสี จัดเรียงตามสัญลักษณ์และจำนวนสี

003หรือที่รู้จักกันในชื่อทริปเปิลเบนด์
สี เดียว	สองสี									สามสี
021หรือที่รู้จักกันในชื่อSingle CrossหรือCross Bend
สี เดียว	สองสี									สามสี
102หรือที่ รู้จักกันในชื่อ ดับเบิลเบนด์
สี เดียว	สองสี									สามสี
120หรือที่รู้จักกันในชื่อดับเบิลครอส
สี เดียว	สองสี									สามสี
300หรือทริปเปิลครอส
สี เดียว	สองสี									สามสี

Tantrix ใช้เฉพาะชุดย่อยของไทล์ที่มีสีเส้นทางสามสีที่แตกต่างกันเท่านั้น และไม่รวม ซีรี่ส์ 300 Triple Cross เนื่องจาก Tantrix มีสีเส้นทางที่เป็นไปได้สี่สี จึงมีชุดสีที่แตกต่างกันสี่แบบสำหรับไทล์ที่มีสีเส้นทางสามสีที่แตกต่างกัน ซึ่งทำให้ได้ไทล์ Tantrix ที่ไม่ซ้ำกัน 56 แบบในชุดที่สมบูรณ์:

• 003 : กระเบื้อง 2 แผ่นที่มีสีเส้นทาง 3 สี × การผสมสีเส้นทาง 4 แบบ = กระเบื้อง Tantrix 8 แผ่นในชุด003
• 021 : กระเบื้อง 6 ชิ้นที่มีสีทางเดิน 3 สี × การผสมสีทางเดิน 4 แบบ = กระเบื้อง Tantrix จำนวน 24 ชิ้นในชุด021
• 102 : กระเบื้อง 3 ชิ้นที่มีสีทางเดิน 3 สี × การผสมสีทางเดิน 4 แบบ = กระเบื้อง Tantrix จำนวน 12 ชิ้นในชุดที่102
• 120 : กระเบื้อง 3 แผ่นที่มีสีทางเดิน 3 สี × การผสมสีทางเดิน 4 แบบ = กระเบื้อง Tantrix จำนวน 12 แผ่นในชุดที่120

กระเบื้องแทนทริกซ์

คลาส/ชุด	เส้นทาง							เส้นทาง							เส้นทาง							เส้นทาง
003	#14			#03				#21			#23				#25			#28				#43			#45
021	#01		#11		#08			#17		#19		#31			#29		#37		#41			#53		#55		#46
	#10		#12		#07			#18		#20		#33			#27		#38		#36			#54		#56		#52
102	#02		#13		#05			#22		#16		#15			#26		#30		#24			#49		#47		#48
120	#06		#09		#04			#35		#34		#32			#42		#40		#39			#44		#50		#51

วิกิมีเดียคอมมอน ส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับงู

• เชอร์ฟัวส์, จาป (2015) "เพจปริศนาของแจ๊บ: Tantrix" . jaapsch.net . สืบค้นเมื่อ8 ตุลาคม 2560 .