ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขการแปลง Shanksเป็น วิธี การเร่งความเร็วอนุกรมแบบไม่เชิงเส้น เพื่อเพิ่มอัตราการล convergenceของลำดับวิธีนี้ตั้งชื่อตามDaniel Shanksผู้ค้นพบการแปลงลำดับนี้อีกครั้งในปี 1955 โดย R. Schmidt เป็นผู้คิดค้นและเผยแพร่เป็นครั้งแรกในปี 1941 ^{[ 1 ]}

สำหรับลำดับอนุกรม ${\displaystyle \left\{a_{m}\right\}_{m\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle A=\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}\,}$

จะต้องพิจารณาต่อไป ก่อนอื่นเรากำหนดนิยามของผลรวมย่อยดังนี้: ${\displaystyle A_{n}}$

${\displaystyle A_{n}=\sum _{m=0}^{n}a_{m}\,}$

และสร้างลำดับใหม่หากอนุกรมลู่เข้าก็จะเข้าใกล้ลิมิตเช่นกัน การแปลง Shanks ของลำดับคือลำดับใหม่ที่กำหนดโดย^{[ 2 ] [ 3 ]}${\displaystyle \left\{A_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n\to \infty .}$${\displaystyle S(A_{n})}$${\displaystyle A_{n}}$

${\displaystyle S(A_{n})={\frac {A_{n+1}\,A_{n-1}\,-\,A_{n}^{2}}{A_{n+1}-2A_{n}+A_{n-1}}}=A_{n+1}-{\frac {(A_{n+1}-A_{n})^{2}}{(A_{n+1}-A_{n})-(A_{n}-A_{n-1})}}}$

โดยลำดับนี้มักจะลู่เข้าได้เร็วกว่าลำดับ อาจเพิ่มความเร็วได้อีกโดยการใช้การแปลง Shanks ซ้ำๆ โดยการคำนวณฯลฯ ${\displaystyle S(A_{n})}$${\displaystyle A_{n}.}$${\displaystyle S^{2}(A_{n})=S(S(A_{n})),}$${\displaystyle S^{3}(A_{n})=S(S(S(A_{n}))),}$

โปรดทราบว่าการแปลงแบบไม่เชิงเส้นที่ใช้ในการแปลง Shanks นั้นโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับที่ใช้ในกระบวนการเดลต้ากำลังสองของ Aitkenดังนั้นเช่นเดียวกับวิธีของ Aitken นิพจน์ทางขวาสุดในนิยามของ (เช่น) จึงมีเสถียรภาพเชิงตัวเลขมากกว่านิพจน์ทางซ้าย (เช่น) ทั้งวิธีของ Aitken และการแปลง Shanks ทำงานกับลำดับ แต่ลำดับที่การแปลง Shanks ทำงานนั้นมักถูกมองว่าเป็นลำดับของผลรวมย่อย แม้ว่าลำดับใดๆ ก็สามารถมองได้ว่าเป็นลำดับของผลรวมย่อยเช่นกัน ${\displaystyle S(A_{n})}$${\displaystyle S(A_{n})=A_{n+1}-{\frac {(A_{n+1}-A_{n})^{2}}{(A_{n+1}-A_{n})-(A_{n}-A_{n-1})}}}$${\displaystyle S(A_{n})={\frac {A_{n+1}\,A_{n-1}\,-\,A_{n}^{2}}{A_{n+1}-2A_{n}+A_{n-1}}}}$

ตัวอย่างเช่น พิจารณาอนุกรมลู่เข้าช้า^{[ 3 ]}

${\displaystyle 4\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {1}{2k+1}}=4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots \right)}$

ซึ่งมีผลรวมที่แน่นอน คือ π  ≈ 3.14159265 ผลรวมย่อยมีความแม่นยำเพียงหลักเดียว ในขณะที่ความแม่นยำหกหลักต้องใช้การบวกประมาณ 400,000 พจน์ ${\displaystyle A_{6}}$

ในตารางด้านล่างนี้ แสดงผลรวมย่อยการแปลง Shanks บนผลรวมย่อยเหล่านั้น รวมถึงการแปลง Shanks ซ้ำๆสำหรับค่าสูงสุดถึง 12 รูปทางด้านขวาแสดงข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สำหรับผลรวมย่อยและผลลัพธ์การแปลง Shanks ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความแม่นยำและอัตราการล convergence ที่ดีขึ้นอย่างชัดเจน ${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle S(A_{n})}$${\displaystyle S^{2}(A_{n})}$${\displaystyle S^{3}(A_{n})}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle n}$	${\displaystyle A_{n}}$	${\displaystyle S(A_{n})}$	${\displaystyle S^{2}(A_{n})}$	${\displaystyle S^{3}(A_{n})}$
0	4.00000000	—	—	—
1	2.66666667	3.16666667	—	—
2	3.46666667	3.13333333	3.14210526	—
3	2.89523810	3.14523810	3.14145022	3.14159936
4	3.33968254	3.13968254	3.14164332	3.14159086
5	2.97604618	3.14271284	3.14157129	3.14159323
6	3.28373848	3.14088134	3.14160284	3.14159244
7	3.01707182	3.14207182	3.14158732	3.14159274
8	3.25236593	3.14125482	3.14159566	3.14159261
9	3.04183962	3.14183962	3.14159086	3.14159267
10	3.23231581	3.14140672	3.14159377	3.14159264
11	3.05840277	3.14173610	3.14159192	3.14159266
12	3.21840277	3.14147969	3.14159314	3.14159265

การแปลง Shanks มีความแม่นยำสองหลักอยู่แล้ว ในขณะที่ผลรวมย่อยดั้งเดิมให้ความแม่นยำเท่ากันที่ ที่น่าทึ่งคือมีความแม่นยำหกหลัก ซึ่งได้มาจากการแปลง Shanks ซ้ำๆ ที่ใช้กับเจ็ดพจน์แรกดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้จะได้ความแม่นยำหกหลักก็ต่อเมื่อบวกพจน์ประมาณ 400,000 พจน์เท่านั้น ${\displaystyle S(A_{1})}$${\displaystyle A_{24}.}$${\displaystyle S^{3}(A_{3})}$${\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{6}.}$${\displaystyle A_{n}}$

การแปลง Shanks ได้รับแรงบันดาลใจจากการสังเกตว่า — สำหรับค่าที่มากขึ้น— ผลรวมย่อยมักจะมีลักษณะโดยประมาณเป็น^{[ 2 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle A_{n}}$

${\displaystyle A_{n}=A+\alpha q^{n},\,}$

โดยที่ลำดับจะลู่เข้าสู่ผลลัพธ์ของอนุกรมชั่วคราวสำหรับ ดังนั้นสำหรับและผลรวมย่อยที่เกี่ยวข้องคือ: ${\displaystyle |q|<1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n\to \infty .}$${\displaystyle n-1,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$

${\displaystyle A_{n-1}=A+\alpha q^{n-1}\quad ,\qquad A_{n}=A+\alpha q^{n}\qquad {\text{และ}}\qquad A_{n+1}=A+\alpha q^{n+1}.}$

สมการทั้งสามนี้มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าสามตัว: และแก้หาค่าจะได้^{[ 2 ]}${\displaystyle A,}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle q.}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\frac {A_{n+1}\,A_{n-1}\,-\,A_{n}^{2}}{A_{n+1}-2A_{n}+A_{n-1}}}.}$

ในกรณีพิเศษที่ตัวส่วนเท่ากับศูนย์: แล้วสำหรับทุก ๆ${\displaystyle A_{n}=A}$${\displaystyle n.}$

การแปลง Shanks อันดับkทั่วไป จะแสดงเป็นอัตราส่วนของ ดีเทอร์มิแนนต์ : ^{[ 4 ]}

${\displaystyle S_{k}(A_{n})={\frac {\begin{vmatrix}A_{nk}&\cdots &A_{n-1}&A_{n}\\\Delta A_{nk}&\cdots &\Delta A_{n-1}&\Delta A_{n}\\\Delta A_{n-k+1}&\cdots &\Delta A_{n}&\Delta A_{n+1}\\\vdots &&\vdots &\vdots \\\Delta A_{n-1}&\cdots &\Delta A_{n+k-2}&\Delta A_{n+k-1}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&\cdots &1&1\\\Delta A_{nk}&\cdots &\Delta A_{n-1}&\Delta A_{n}\\\Delta A_{n-k+1}&\cdots &\Delta A_{n}&\Delta A_{n+1}\\\vdots &&\vdots &\vdots \\\Delta A_{n-1}&\cdots &\Delta A_{n+k-2}&\Delta A_{n+k-1}\\\end{vmatrix}}},}$

โดยเป็นวิธีการแก้ปัญหาของแบบจำลองสำหรับพฤติกรรมการลู่เข้าของผลรวมย่อยที่มีการเปลี่ยนแปลงชั่วคราวที่แตกต่างกัน: ${\displaystyle \Delta A_{p}=A_{p+1}-A_{p}.}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle A_{n}=A+\sum _{p=1}^{k}\alpha _{p}q_{p}^{n}.}$

แบบจำลองพฤติกรรมการลู่เข้าประกอบด้วยตัวแปรที่ไม่ทราบค่า โดยการประเมินสมการข้างต้นที่องค์ประกอบและแก้หาค่าการแสดงออกข้างต้นสำหรับ การแปลง Shanks อันดับที่ kจะได้ การแปลง Shanks ทั่วไปอันดับแรกเท่ากับการแปลง Shanks แบบธรรมดา:${\displaystyle 2k+1}$${\displaystyle A_{n-k},A_{n-k+1},\ldots ,A_{n+k}}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle S_{1}(A_{n})=S(A_{n}).}$

การแปลง Shanks ทั่วไปมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับตัวประมาณ PadéและตารางPadé ^{[ 4 ]}

หมายเหตุ: การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ต้องใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์หลายอย่าง อย่างไรก็ตามปีเตอร์ วินน์ค้นพบขั้นตอนการประเมินแบบเรียกซ้ำที่เรียกว่าอัลกอริธึมเอปซิลอน ซึ่งหลีกเลี่ยงการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์^{[ 5 ] [ 6 ]}

• กระบวนการเดลต้ากำลังสองของไอท์เคน
• การเร่งความเร็วของแอนเดอร์สัน
• อัตราการบรรจบกัน
• การคาดการณ์ของริชาร์ดสัน
• การแปลงลำดับ