ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทของบูดานเป็นทฤษฎีบทสำหรับกำหนดขอบเขตของจำนวนรากจริงของพหุนามในช่วงหนึ่ง และคำนวณความเป็นคู่หรือคี่ของจำนวนนั้น ทฤษฎีบทนี้ได้รับการตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1807 โดยฟรองซัวส์ บูดาน เดอ บัวส์ลอรองต์

ทฤษฎีบทที่คล้ายกันนี้ได้รับการตีพิมพ์โดยอิสระโดยโจเซฟ ฟูริเยร์ในปี ค.ศ. 1820 ทฤษฎีบทแต่ละข้อนี้เป็นผลลัพธ์ที่ได้จากอีกทฤษฎีบทหนึ่ง ข้อความของฟูริเยร์ปรากฏบ่อยกว่าในเอกสารของศตวรรษที่ 19 และถูกเรียกขานในชื่อต่างๆ เช่น ทฤษฎีบท ของฟูริเยร์ , บูดาน-ฟูริเยร์ , ฟูริเยร์-บูดานและแม้กระทั่งทฤษฎีบทของบูดาน

สูตรดั้งเดิมของบูดานถูกนำมาใช้ในอัลกอริธึมสมัยใหม่ที่รวดเร็วสำหรับการแยกรากจริงของพหุนาม

อนุญาต${\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2},\ldots c_{k}}$ให้ เป็นลำดับจำกัดของจำนวนจริงการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายในลำดับ คือคู่ของดัชนีi < jที่ทำให้${\displaystyle c_{i}c_{j}<0,}$และj = i + 1หรือ${\displaystyle c_{k}=0}$สำหรับทุกkที่i < k < j

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ จะเกิดการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายในลำดับ ณ จุดที่เครื่องหมายเปลี่ยน โดยไม่นับรวมศูนย์

ในการศึกษาหาค่ารากจริงของพหุนามนั้น สามารถใช้จำนวนการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายของลำดับต่างๆ ได้ สำหรับทฤษฎีบทของบูดาน จะใช้ลำดับของสัมประสิทธิ์ สำหรับทฤษฎีบทของฟูริเยร์ จะใช้ลำดับของค่าอนุพันธ์ที่ต่อเนื่องกัน ณ จุดหนึ่ง และสำหรับทฤษฎีบทของสเติร์มจะใช้ลำดับของค่าในลำดับสเติร์มณ จุดหนึ่ง

ผลลัพธ์ทั้งหมดที่กล่าวถึงในบทความนี้อ้างอิงจากกฎแห่งเครื่องหมายของเดส์การ์ต

ถ้าp ( x )เป็นพหุนามเอกตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์จริง ให้เรากำหนด# ( p )เป็นจำนวนรากจริงบวก โดยนับรวมความซ้ำซ้อน^{[ 1 ]}และกำหนดv ( p )เป็นจำนวนการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายในลำดับของสัมประสิทธิ์ กฎของเครื่องหมายของ เดส์การ์ตกล่าวว่า

v ( p ) – # ( p )เป็นจำนวนเต็ม คู่ที่ไม่เป็น ลบ

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าv ( p ) ≤ 1แล้วจะได้# ( p ) = v ( p )

กำหนดให้พหุนามเอกตัวแปรp ( x )ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ให้เราใช้สัญลักษณ์# ( p )แทนจำนวนรากจริงที่นับรวมความซ้ำซ้อน^{[ 1 ]}ของpในช่วงครึ่งเปิด( ℓ , r ] (โดยที่ℓ < rเป็นจำนวนจริง) ให้เราใช้สัญลักษณ์v ( p ) แทน จำนวนการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายในลำดับของสัมประสิทธิ์ของพหุนามp ( x ) = p ( x + h )โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราจะได้v ( p ) = v ( p )ตามสัญลักษณ์ในส่วนก่อนหน้า

ทฤษฎีบทของบูดานมีดังนี้:

${\displaystyle v_{\ell }(p)-v_{r}(p)-\#_{(\ell ,r]}}$เป็นจำนวนเต็มคู่ที่ไม่เป็นลบ

เช่น${\displaystyle \#_{(\ell ,r]}}$มีค่าไม่เป็นลบ ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle v_{\ell }(p)\geq v_{r}(p).}$

นี่เป็นการขยายความของกฎเครื่องหมายของเดส์การ์ตส์ เพราะถ้าเลือกrให้มีค่ามากพอ มันจะมีค่ามากกว่ารากจริงทั้งหมดของpและสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของ${\displaystyle p_{r}(x)}$มีผลเป็นบวก นั่นคือ${\displaystyle v_{r}(p)=0.}$ดังนั้น${\displaystyle v_{0}(p)=v_{0}(p)-v_{r}(p),}$และ${\displaystyle \#_{+}=\#_{(0,r)},}$ซึ่งทำให้กฎเครื่องหมายของเดส์การ์ตเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของบูดาน

ส่วนกฎแห่งสัญลักษณ์ของเดส์การ์ตนั้น ถ้า${\displaystyle v_{\ell }(p)-v_{r}(p)\leq 1,}$หนึ่งมี${\displaystyle \#_{(\ell ,r]}=v_{\ell }(p)-v_{r}(p).}$หมายความว่า ถ้า${\displaystyle v_{\ell }(p)-v_{r}(p)\leq 1}$มีสองวิธี วิธีแรกคือ "การทดสอบรากศูนย์" และวิธีที่สองคือ "การทดสอบรากเดียว"

ทฤษฎีบทของฟูริเยร์เกี่ยวกับรากจริงของพหุนามหรือที่เรียกว่าทฤษฎีบทฟูริเยร์-บูดานหรือทฤษฎีบทบูดาน-ฟูริเยร์ (บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทของบูดาน เฉยๆ ) นั้นเหมือนกับทฤษฎีบทของบูดานทุกประการ ยกเว้นว่า สำหรับh = lและrลำดับของสัมประสิทธิ์ของp ( x + h )จะถูกแทนที่ด้วยลำดับของอนุพันธ์ของpที่h

แต่ละทฤษฎีบทเป็นผลลัพธ์ที่ได้จากทฤษฎีบทอื่น ซึ่งเป็นผลมาจากการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์

${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{\deg p}{\frac {p^{(i)}(h)}{i!}}(x-h)^{i}}$

ของพหุนามpที่hซึ่งหมายความว่าสัมประสิทธิ์ของx ⁱในp ( x + h )คือผลหารของ${\displaystyle p^{(i)}(h)}$โดยi !ซึ่งเป็นจำนวนบวก ดังนั้นลำดับที่พิจารณาในทฤษฎีบทของฟูริเยร์และในทฤษฎีบทของบูดานจึงมีจำนวนการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายเท่ากัน

ความสัมพันธ์ที่แน่นแฟ้นระหว่างทฤษฎีบททั้งสองนี้ อาจอธิบายถึงข้อโต้แย้งเรื่องลำดับความสำคัญที่เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 19 และการใช้ชื่อหลายชื่อสำหรับทฤษฎีบทเดียวกัน ในการใช้งานสมัยใหม่ สำหรับการคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์ โดยทั่วไปแล้วจะนิยมใช้ทฤษฎีบทของบูดานมากกว่า เนื่องจากลำดับในทฤษฎีบทของฟูริเยร์มีสัมประสิทธิ์ที่ใหญ่กว่าในทฤษฎีบทของบูดานมาก อันเนื่องมาจากตัวประกอบแฟกทอเรี ยล

เนื่องจากทฤษฎีบทแต่ละข้อเป็นผลลัพธ์ที่ได้จากทฤษฎีบทอื่น จึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทของฟูริเยร์ได้

การพิสูจน์:

อนุญาต${\displaystyle n}$เป็นระดับของ${\displaystyle f}$ดังนั้น${\displaystyle f,f',...,f^{(n-1)}}$เป็นพหุนามที่ไม่คงที่${\displaystyle f^{(n)}}$เป็นค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ และ${\displaystyle f^{(n+1)},...}$ทั้งหมดมีค่าเป็นศูนย์เหมือนกันทุกประการ

โดยเป็นฟังก์ชันของ${\displaystyle t,}$การเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย${\displaystyle v_{t}(f)}$สามารถเปลี่ยนแปลงได้เฉพาะที่รากอย่างน้อยหนึ่งรากของ${\displaystyle f,f',...,f^{(n-1)}.}$

ถ้า${\displaystyle v_{t}(f)}$แตกต่างกันไปที่${\displaystyle t=r}$จากนั้นสำหรับบางคน${\displaystyle k}$,${\displaystyle f^{(k)}(x)}$มีรากอยู่ที่${\displaystyle t}$และแต่ละ${\displaystyle f,f',...,f^{(k-1)}}$ไม่มีรากที่${\displaystyle t}$.

ถ้า${\displaystyle k=0}$, แล้ว${\displaystyle f(x)=(x-r)^{s}p(x-r)}$สำหรับบางคน${\displaystyle s\geq 1}$และพหุนามบางส่วน${\displaystyle p}$ที่ทำให้พึงพอใจ${\displaystyle p(0)\neq 0}$โดยการคำนวณอย่างชัดเจน${\displaystyle f,f',...,f^{(n)}}$ที่${\displaystyle r}$และ${\displaystyle r-\epsilon }$สำหรับขนาดเล็ก${\displaystyle \epsilon }$เรามี${\displaystyle v_{r}(f)=v_{r-\epsilon }(f)-s-2s',\quad \exists s'\geq 0.}$

ในสมการนี้ เทอม${\displaystyle -s}$เนื่องมาจากสัญญาณของ${\displaystyle f,f',...,f^{(s)}}$เปลี่ยนจาก${\displaystyle (-1)^{s}\operatorname {sign} (p(0)),(-1)^{s-1}\operatorname {sign} (p(0)),...,-\operatorname {sign} (p(0)),\operatorname {sign} (p(0))}$ถึง${\displaystyle 0,0,...,0,\operatorname {sign} (p(0))}$คำว่า${\displaystyle -2s',\quad \exists s'\geq 0}$เนื่องจากเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสูงกว่าอาจกลายเป็นศูนย์

ถ้า${\displaystyle k\geq 1}$ดังนั้น เนื่องจากอนุพันธ์บางตัวมีค่าเป็นศูนย์ที่${\displaystyle r}$แต่ทั้งสอง${\displaystyle f^{(k-1)}(x)}$และ${\displaystyle f^{(n)}(x)}$ถ้าค่าไม่เป็นศูนย์ เราจะสูญเสียการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายเป็นจำนวนคู่เท่านั้น:

$${\displaystyle v_{r}(f)=v_{r-\epsilon }(f)-2s',\quad \exists s'\geq 0}$$

ถ้า${\displaystyle v_{t}(f)}$แตกต่างกันไปที่${\displaystyle t=l}$จากนั้น เมื่อให้เหตุผลในทำนองเดียวกัน เราจะพบว่าในทั้งสองกรณี เราสามารถใช้ค่าเล็กๆ ได้${\displaystyle \epsilon }$โดยที่${\displaystyle v_{l+\epsilon }(f)=v_{l}(f)}$.

ปัญหาการนับและระบุตำแหน่งของรากจริงของพหุนามเริ่มได้รับการศึกษาอย่างเป็นระบบในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 เท่านั้น

ในปี พ.ศ. 2350 François Budan de Boislaurentค้นพบวิธีการขยายกฎของเครื่องหมายของ Descartes —ซึ่งใช้ได้กับช่วง(0, +∞) —ไปยังช่วงใดๆ ก็ได้^{[ 2 ]}

โจเซฟ ฟูริเยร์ได้ตีพิมพ์ทฤษฎีบทที่คล้ายกันในปี พ.ศ. 2363 ^{[ 3 ]}ซึ่งเขาใช้เวลาทำงานมากกว่ายี่สิบปี^{[ 4 ]}

เนื่องจากความคล้ายคลึงกันระหว่างทฤษฎีบททั้งสอง จึงเกิดข้อโต้แย้งเรื่องลำดับความสำคัญ^{[ 5 ] [ 6 ]}แม้ว่าทฤษฎีบททั้งสองจะถูกค้นพบโดยอิสระก็ตาม^{[ 4 ]}โดยทั่วไปแล้ว การกำหนดและการพิสูจน์ของฟูริเยร์จะถูกนำมาใช้ในตำราเรียนเกี่ยวกับทฤษฎีสมการใน ช่วงศตวรรษที่ 19

• คุณสมบัติของรากพหุนาม
• อัลกอริทึมค้นหาราก

โอคอนเนอร์, จอห์น เจ.; Robertson, Edmund F. , "Budan de Boislaurent" , MacTutor History of Mathematics Archive , มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์