Siteswapหรือที่เรียกว่าควอนตัมจั๊กเกิลลิ่งหรือสัญกรณ์เคมบริดจ์เป็นสัญกรณ์จั๊กเกิลลิ่ง เชิงตัวเลข ที่ใช้เพื่ออธิบายหรือแสดงรูปแบบการจั๊กเกิลลิ่งคำนี้ยังสามารถใช้เพื่ออธิบายรูปแบบ siteswapซึ่งเป็นรูปแบบที่เป็นไปได้ที่ถอดความโดยใช้ siteswap การโยนจะแสดงด้วยจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบซึ่งระบุจำนวนจังหวะในอนาคตเมื่อวัตถุถูกโยนอีกครั้ง: "แนวคิดเบื้องหลัง siteswap คือการติดตามลำดับที่ลูกบอลถูกโยนและรับ และเท่านั้น" ^{[ 3 ]}มันเป็นเครื่องมือที่มีค่าอย่างยิ่งในการกำหนดว่าการรวมกันของการโยนใดที่ให้รูปแบบจั๊กเกิลลิ่งที่ถูกต้องสำหรับจำนวนวัตถุที่กำหนด และนำไปสู่รูปแบบที่ไม่เคยรู้จักมาก่อน (เช่น 441) อย่างไรก็ตาม มันไม่ได้อธิบายการเคลื่อนไหวของร่างกาย เช่น การโยนไปด้านหลังและการโยนลอดขา Siteswap สมมติว่า "การโยนเกิดขึ้นในจังหวะที่มีระยะห่างเท่ากันในเวลา" ^{[ 4 ]}

ตัวอย่างเช่นการเรียง ลูกบอลสามลูก อาจเขียนแทนด้วย "3" ในขณะที่การโปรยลูกบอลอาจเขียนแทนด้วย "5 1" ^{[ 4 ]}

สัญกรณ์นี้คิดค้นโดย Paul Klimek ในซานตาครูซ รัฐแคลิฟอร์เนียในปี 1981 และต่อมาได้รับการพัฒนาโดยนักศึกษาปริญญาตรี Bruce "Boppo" Tiemann, Joel David Hamkinsและ Bengt Magnusson ผู้ล่วงลับ ที่สถาบันเทคโนโลยีแคลิฟอร์เนีย ในปี 1985 และโดย Mike Day นักคณิตศาสตร์ Colin D Wright และนักคณิตศาสตร์ Adam Chalcraft ในเคมบริดจ์ ประเทศอังกฤษในปี 1985 (ซึ่งเป็นที่มาของชื่อเรียกอีกชื่อหนึ่ง) ^{[ 5 ] [ a ]} ​​Hamkins เขียนโค้ดคอมพิวเตอร์ในปี 1985 เพื่อสร้างรูปแบบ siteswap อย่างเป็นระบบ โดยนำผลลัพธ์ที่พิมพ์ออกมาไปที่สนามหญ้า Athenaeum ที่ Caltech ทันทีเพื่อให้เขา Tiemann และ Magnusson ทดลองใช้ ตัวเลขเหล่านี้มาจากจำนวนลูกบอลที่ใช้ในรูปแบบการเล่นกลที่พบได้บ่อยที่สุด Siteswap ได้รับการอธิบายว่าเป็นชื่อที่ "อาจเป็นที่นิยมที่สุด" ^{[ 8 ]}

ชื่อsiteswapมาจากความสามารถในการสร้างรูปแบบโดยการ "สลับ" เวลาลงจอดของ "ไซต์" 2 ไซต์ใดๆ ใน siteswap โดยใช้คุณสมบัติswap ^{[ 9 ]}ตัวอย่างเช่น การสลับเวลาลงจอดของการโยน "5" และ "1" ใน siteswap "51" จะสร้าง siteswap "24"

รูปแบบที่ง่ายที่สุด ซึ่งบางครั้งเรียกว่า vanilla siteswap นั้น อธิบายเฉพาะรูปแบบการโยนที่สลับมือกัน และโยนลูกบอลทีละลูกจากแต่ละมือ หากใครกำลังโยนลูกบอลขณะเดินไปข้างหน้า จะเห็นภาพคล้ายกับแผนภาพด้านข้างเมื่อมองจากด้านบน ซึ่งบางครั้งเรียกว่าแผนภาพกาลอวกาศหรือแผนภาพบันไดในแผนภาพนี้ มีลูกบอลสามลูกกำลังถูกโยน เวลาดำเนินไปจากบนลงล่าง

รูปแบบนี้สามารถอธิบายได้โดยระบุจำนวนครั้งที่โยนแล้วลูกบอลแต่ละลูกถูกจับได้ ตัวอย่างเช่น ในการโยนครั้งแรกในแผนภาพ ลูกบอลสีม่วงถูกโยนขึ้นไปในอากาศ (ขึ้นไปนอกจอ ไปทางด้านล่างซ้าย) โดยมือขวา ต่อมาเป็นลูกบอลสีน้ำเงิน ลูกบอลสีเขียว ลูกบอลสีเขียวอีกครั้ง และลูกบอลสีน้ำเงินอีกครั้ง และสุดท้ายลูกบอลสีม่วงถูกจับและโยนโดยมือซ้ายในการโยนครั้งที่ห้า ซึ่งทำให้การโยนครั้งแรกนับเป็น5สิ่งนี้สร้างลำดับตัวเลขที่แสดงถึงความสูงของการโยนแต่ละครั้งที่จะทำ เนื่องจากมือสลับกัน การโยนหมายเลข คี่จะส่งลูกบอลไปยังมืออีกข้าง ในขณะที่การโยนหมายเลขคู่จะส่งลูกบอลไปยังมือเดิม3หมายถึงการโยนไปยังมือตรงข้ามที่ความสูงของการโยนแบบสามลูก เรียง กัน 4หมายถึงการโยนไปยังมือเดิมที่ความสูงของการโยนแบบสี่ลูก เรียงกัน และอื่นๆ

มีการโยนพิเศษสามแบบ: 0คือการหยุดชั่วคราวโดยมือเปล่า1คือการส่งบอลอย่างรวดเร็วไปยังมืออีกข้าง และ2คือการถือวัตถุไว้ชั่วขณะ การโยนที่นานกว่า9บีทจะใช้ตัวอักษรขึ้นต้นด้วยaจำนวนบีทที่ลูกบอลอยู่ในอากาศมักจะสอดคล้องกับความสูงที่โยน ดังนั้นหลายคนจึงเรียกตัวเลขเหล่านี้ว่าความสูง แต่ในทางเทคนิคแล้วไม่ถูกต้อง สิ่งสำคัญคือจำนวนบีทที่ลูกบอลอยู่ในอากาศ ไม่ใช่ความสูงที่โยน ตัวอย่างเช่น การกระดอนลูกบอลใช้เวลานานกว่าการโยนลูกบอลขึ้นไปในอากาศที่ความสูงเท่ากัน ดังนั้นจึงอาจมีค่า siteswap ที่สูงกว่าในขณะที่การโยนนั้นต่ำกว่า

แต่ละรูปแบบจะซ้ำกันหลังจากโยนลูกเต๋าจำนวนหนึ่ง ซึ่งเรียกว่าคาบของรูปแบบ คาบคือจำนวนหลักในรูปแบบที่ไม่ซ้ำกันที่สั้นที่สุด ตัวอย่างเช่น รูปแบบที่แสดงในแผนภาพด้านขวาคือ 53145305520 ซึ่งมี 11 หลัก ดังนั้นจึงมีคาบเท่ากับ 11 ถ้าคาบเป็นเลขคี่ เช่นนี้ ทุกครั้งที่ลำดับซ้ำกัน ลำดับจะเริ่มต้นด้วยมืออีกข้าง และรูปแบบจะสมมาตรเพราะแต่ละมือทำสิ่งเดียวกัน (แม้ว่าจะในเวลาที่ต่างกัน) ถ้าคาบเป็นเลขคู่ ทุกครั้งที่รูปแบบซ้ำกัน แต่ละมือจะทำสิ่งเดียวกันกับที่ทำในครั้งที่แล้ว และรูปแบบจะไม่ สมมาตร

จำนวนลูกบอลที่ใช้สำหรับรูปแบบคือค่าเฉลี่ยของจำนวนการโยนในรูปแบบ^{[ 2 ]}ตัวอย่างเช่น441เป็นรูปแบบสามวัตถุเพราะ (4+4+1)/3 คือ 3 และ86เป็นรูปแบบเจ็ดวัตถุ ดังนั้นรูปแบบทั้งหมดจะต้องมีลำดับการสลับไซต์ที่มีค่าเฉลี่ยเป็นจำนวนเต็มไม่ใช่ทุกลำดับดังกล่าวจะอธิบายรูปแบบได้ ตัวอย่างเช่น543มีค่าเฉลี่ยเป็นจำนวนเต็ม 4 แต่การโยนทั้งสามครั้งตกลงพร้อมกันและชนกัน

บางคนยึดถือธรรมเนียมการเขียนลำดับการสลับตำแหน่งโดยเริ่มจากหมายเลขสูงสุดก่อน ข้อเสียอย่างหนึ่งของการทำเช่นนั้นเห็นได้ชัดในรูปแบบ51414ซึ่งเป็นรูปแบบ 3 ลูกที่ไม่สามารถแทรกเข้าไปตรงกลางของลำดับการโยน 3 ลูกได้ ต่างจากรูปแบบ45141ที่สามารถทำได้

สัญกรณ์ Siteswap สามารถขยายเพื่อแสดงรูปแบบที่มีการโยนพร้อมกันจากทั้งสองมือ ตัวเลขสำหรับการโยนทั้งสองจะรวมกันในวงเล็บและคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค เนื่องจากการโยนพร้อมกันจะโยนเฉพาะจังหวะคู่เท่านั้น จึงอนุญาตเฉพาะเลขคู่เท่านั้น^{[ 10 ]}การโยนที่เคลื่อนไปยังมืออีกข้างจะถูกทำเครื่องหมายด้วยxตามหลังตัวเลข ดังนั้นการโยน สามลูกพร้อมกัน จึงแสดงเป็น(4x,2x)หมายความว่ามือข้างหนึ่งโยนลูกต่ำหรือ 'zip' ไปยังมืออีกข้างอย่างต่อเนื่อง ในขณะที่อีกมือหนึ่งโยนลูกสูงกว่าไปยังมือแรกอย่างต่อเนื่อง ลำดับของคู่ที่อยู่ในวงเล็บจะเขียนโดยไม่มีเครื่องหมายคั่น รูปแบบที่ทำซ้ำในภาพสะท้อนบนด้านตรงข้ามสามารถย่อได้ด้วย * ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเป็น(4,2x)(2x,4) (รูปแบบ กล่อง 3 ลูก) สามารถย่อเป็น(4,2x)*ได้

ส่วนขยายเพิ่มเติมช่วยให้ siteswap สามารถบันทึกรูปแบบที่เกี่ยวข้องกับการโยนหลายครั้งจากมือข้างใดข้างหนึ่งหรือทั้งสองข้างพร้อมกันใน รูปแบบ มัลติเพล็กซ์ ตัวเลขสำหรับการโยนหลายครั้งจากมือข้างเดียวจะเขียนรวมกันภายในวงเล็บเหลี่ยม ตัวอย่างเช่น[33]33คือการโยนลูกบอล 3 ลูกแบบปกติ โดยจะมีลูกบอลสองลูกถูกโยนพร้อมกันเสมอ

การโยนลูกบอลพร้อมกัน: สัญลักษณ์ <xxx|yyy>หมายความว่านักโยนลูกบอลคนหนึ่งทำ 'xxx' ในขณะที่อีกคนทำ 'yyy' 'p' ใช้แทนการโยนผ่าน ตัวอย่างเช่น<3p 3|3p 3>คือรูปแบบการโยนผ่านแบบ '2 จังหวะ' ที่ใช้ลูกบอล 6 ลูก โดยการโยนด้วยมือซ้ายทั้งหมดเป็นการโยนผ่าน และการโยนด้วยมือขวาเป็นการโยนตัวเอง นอกจากนี้ยังสามารถใช้กับรูปแบบที่ซิงโครนัสได้ด้วย เช่น การโยนแบบ 'shower' ของสองคน จะเป็น<(4xp,2x)|(4xp,2x)>

ถ้าแพทเทิร์นมีเศษส่วน เช่น<4.5 3 3 | 3 4 3.5>นักเล่นกลหลังจากบาร์จะต้องเล่นช้าไปครึ่งจังหวะ และเศษส่วนทั้งหมดนับเป็นการผ่าน

การแลกเปลี่ยนเว็บไซต์โซเชียล

ถ้าทั้งสองคนเล่นกลด้วยรูปแบบเดียวกัน (แม้ว่าจะเลื่อนเวลาไปบ้าง) รูปแบบนั้นเรียกว่า social siteswap และจะต้องเขียนเพียงครึ่งเดียวของรูปแบบเท่านั้น: <4p 3| 3 4p>จะกลายเป็น4p 3และ<4.5 3 3| 3 4.5 3>จะกลายเป็น4.5 3 3 (โปรดทราบว่าในกรณีหลัง 4.5 จะเป็นการส่งลูกตรงๆ จากนักเล่นกลคนหนึ่ง และการส่งลูกแบบไขว้ (เช่น จากซ้ายไปซ้ายหรือจากขวาไปขวา) จากนักเล่นกลอีกคน social siteswap สามารถสร้างขึ้นสำหรับนักเล่นกลมากกว่า 2 คนได้เช่นกัน (เช่น 4p 3 3 หรือ 3.7 3 สำหรับนักเล่นกล 3 คน โดยที่ 3.7 หมายถึง 3.66666.... หรือ 3 2 ⁄ 3จากนั้นนักเล่นกลแต่ละคนควรเริ่มนับหลังจากคนก่อนหน้า 1 ⁄ 3 )

โปรดทราบว่านักเล่นกลบางคนใช้เศษส่วนในการระบุรูปแบบการเล่นกลหลายมือ

สัญกรณ์แบบหลายมือได้รับการพัฒนาโดย Ed Carstens ในปี 1992 เพื่อใช้กับโปรแกรมการเล่นกล JugglePro ของเขา^{[ 7 ]}สัญกรณ์ Siteswap ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด ("Vanilla siteswap") ถือว่ามีการโยนลูกบอลเพียงลูกเดียวในแต่ละครั้ง ดังนั้น siteswap ที่ถูกต้องสำหรับสองมือจึงถูกต้องสำหรับจำนวนมือใดๆ ก็ได้ โดยมีเงื่อนไขว่ามือทั้งสองข้างต้องโยนต่อกัน Siteswap แบบหลายมือที่ใช้กันทั่วไป ได้แก่siteswap แบบมือเดียว (diabolo)และsiteswap แบบสี่มือ (passing)

ไดอะโบโลมือเดียว

การสลับตำแหน่งทำได้โดยใช้มือเดียว หรือ ผู้เล่น ไดอะโบโลโยนไดอะโบโลในระดับความสูงที่แตกต่างกัน

4 มือ

การสลับลูกบอลที่ถูกต้องสามารถทำได้โดยนักเล่นกล 4 มือ หรือนักเล่นกล 2 คนที่ประสานงานกันด้วย 4 มือ โดยมีเงื่อนไขว่าต้องโยนลูกบอลสลับกันไปมา

ในทางปฏิบัติ วิธีนี้จะทำได้ง่ายที่สุดหากนักเล่นกลผลัดกันโยน โดยลำดับหนึ่งคือ (มือขวาของนักเล่นกล A, มือขวาของนักเล่นกล B, มือซ้ายของ A, มือซ้ายของ B)

สัญลักษณ์ที่สับสน

นักเล่นกลบางคน เมื่อบันทึกค่า siteswap แบบ 4 มือ จะนำค่า siteswap มาหารด้วยจำนวนนักเล่นกล ซึ่งจะทำให้ได้ค่าที่เป็นเศษส่วนคล้ายกับค่า siteswap ในโซเชียลมีเดีย แต่ลำดับของตัวเลขอาจแตกต่างกันได้

หลังจากโยนลูกบอล (หรือไม้หรือวัตถุอื่นๆ ที่ใช้ในการเล่นกล) ออกไปแล้ว ลูกบอลทั้งหมดจะลอยอยู่ในอากาศและอยู่ภายใต้แรงโน้มถ่วง สมมติว่าลูกบอลถูกจับได้ในระดับความสูงที่สม่ำเสมอ ดังนั้นเวลาที่ลูกบอลจะตกลงพื้นจึงถูกกำหนดไว้แล้ว เราสามารถทำเครื่องหมายแต่ละจุดที่ลูกบอลกำลังจะตกลงพื้นด้วยxและแต่ละจุดที่ยังไม่มีลูกบอลตกลงพื้นด้วย- สิ่งนี้อธิบาย สถานะปัจจุบันและกำหนดว่าควรโยนลูกบอลหมายเลขใดต่อไป ตัวอย่างเช่น เราสามารถดูสถานะหลังจากที่เราโยนลูกบอลครั้งแรกในแผนภาพได้ คือ xx--x เราสามารถใช้สถานะนี้เพื่อกำหนดว่าควรโยนลูกบอลหมายเลขใดต่อไป ขั้นแรกเราเอาxออกจากด้านซ้าย (นั่นคือลูกบอลที่จะตกลงพื้นต่อไป) และเลื่อนทุกอย่างไปทางซ้ายโดยเติม-ทางด้านขวา ซึ่งจะเหลือ x--x- เนื่องจากเราจับลูกบอลได้แล้ว (x ที่เราเอาออกจากด้านซ้าย) เราจึงไม่สามารถ "โยน" ลูกบอลหมายเลข 0 ต่อไปได้ นอกจากนี้ เราไม่สามารถโยนเลข 1 หรือ 4 ได้ เพราะมีลูกบอลที่กำหนดไว้แล้วว่าจะตกลงที่ตำแหน่งนั้น ดังนั้น สมมติว่าความสูงสูงสุดที่เราสามารถโยนลูกบอลได้อย่างแม่นยำคือ 5 เราจึงสามารถโยนได้แค่เลข 2, 3 หรือ 5 เท่านั้น ในแผนภาพนี้ นักเล่นกลโยนเลข 3 ดังนั้น x จึงเข้าไปอยู่ในตำแหน่งที่สาม แทนที่เครื่องหมายลบ (-) และเราก็จะได้ x-xx- เป็นสถานะใหม่

แผนภาพที่แสดงนี้แสดงถึงสถานะที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับผู้ที่กำลังโยนสิ่งของสามชิ้นขึ้นไปในอากาศ โดยมีความสูงสูงสุด 5 หน่วย จากแต่ละสถานะ เราสามารถติดตามลูกศรและตัวเลขที่สอดคล้องกันเพื่อสร้างการสลับตำแหน่ง (siteswap) เส้นทางใดก็ตามที่สร้างวงจรจะสร้างการสลับตำแหน่งที่ถูกต้อง และการสลับตำแหน่งทั้งหมดสามารถสร้างขึ้นได้ด้วยวิธีนี้ แผนภาพจะใหญ่ขึ้นอย่างรวดเร็วเมื่อมีการเพิ่มลูกบอลหรือการโยนที่สูงขึ้น เนื่องจากมีสถานะที่เป็นไปได้มากขึ้นและการโยนที่เป็นไปได้มากขึ้น

อีกวิธีหนึ่งในการแสดงสถานะการสลับตำแหน่งลูกบอลคือ การใช้เลข 1 แทน x และใช้เลข 0 แทน - แทนตำแหน่งที่ไม่มีลูกบอลตกลงมา จากนั้นสามารถแสดงสถานะนั้นด้วยเลขฐานสอง เช่น เลขฐานสอง 10011 รูปแบบนี้ทำให้สามารถแสดงสถานะมัลติเพล็กซ์ได้ กล่าวคือ เลข 2 หมายถึงมีลูกบอล 2 ลูกตกลงมาในจังหวะนั้น

แผนภาพสถานะ SiteSwap สามารถแสดงได้ในรูปตารางการเปลี่ยนสถานะดังแสดงในภาพด้านขวา ในการสร้าง SiteSwap ให้เลือกแถวสถานะเริ่มต้น จากนั้นใช้คอลัมน์ Throw ที่เกี่ยวข้องเพื่อเข้าถึงแถวนั้น ค่าสถานะที่จุดตัดจะเป็นสถานะที่เปลี่ยนไปเมื่อมีการใช้คอลัมน์ Throw นั้น จากสถานะใหม่ คุณสามารถใช้ดัชนีเข้าถึงตารางได้อีกครั้ง กระบวนการนี้สามารถทำซ้ำได้ จนกระทั่งเมื่อถึงสถานะเดิม ก็จะสร้าง SiteSwap ที่ถูกต้องได้

ลำดับการสลับไซต์ทั้งหมดไม่ได้ถูกต้องเสมอไป^{[ 10 ]}ลำดับการสลับไซต์แบบธรรมดา แบบซิงโครนัส และแบบมัลติเพล็กซ์ทั้งหมดจะถูกต้องหากการเปลี่ยนสถานะสร้างวงจรในกราฟไดอะแกรมสถานะ^{[ 10 ]}ลำดับที่ไม่สร้างวงจรจะไม่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่น รูปแบบ 531 สามารถแมปไปยังไดอะแกรมสถานะได้ดังที่แสดงทางด้านขวา เนื่องจากการเปลี่ยนสถานะในลำดับนี้สร้างวงจรในกราฟ ดังนั้นรูปแบบนี้จึงถูกต้อง

นอกจากนี้ยังมีวิธีการอื่นๆ ในการตรวจสอบความถูกต้องของลำดับโดยพิจารณาจากลักษณะของ siteswap ด้วย

ลำดับไซต์สวอปแบบวานิลลาโดยที่คือคาบของไซต์สวอป จะใช้ได้เมื่อจำนวนสมาชิกของเซต(เขียนในรูปแบบสัญกรณ์ Set-builder ) เท่ากับคาบโดยที่ในการตรวจสอบว่ารูปแบบนั้นถูกต้องหรือไม่ ให้สร้างลำดับใหม่โดยการเพิ่มตัวเลขแรกตัวเลขที่สองตัวเลขที่สาม และอื่นๆ ต่อไป จากนั้นคำนวณค่าสัมบูรณ์ (เศษเหลือ) ของแต่ละตัวเลขด้วยคาบ หากไม่มีตัวเลขใดซ้ำกันในลำดับสุดท้ายนี้ รูปแบบนั้นจะถูกต้อง^{[ 11 ]}${\displaystyle a_{0}a_{1}a_{2}...a_{n-1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle S=\{(a_{i}+i){\bmod {n}}|0\leq i\leq n-1\}}$$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$

ตัวอย่างเช่น รูปแบบ 531 จะสร้างผลลัพธ์เป็นหรือเนื่องจากรูปแบบ 531 มีคาบ 3 ผลลัพธ์จากตัวอย่างก่อนหน้านี้จึงสร้างผลลัพธ์เป็นหรือในกรณีนี้ 531 ถือว่าถูกต้องเนื่องจากตัวเลขทั้งหมดไม่ซ้ำกัน อีกตัวอย่างหนึ่ง 513 เป็นรูปแบบที่ไม่ถูกต้องเพราะขั้นตอนแรกสร้างผลลัพธ์เป็นหรือขั้นตอนที่สองสร้างผลลัพธ์เป็นหรือและลำดับสุดท้ายมีตัวเลขซ้ำอย่างน้อยหนึ่งตัว ในกรณีนี้คือ 2 ${\displaystyle 5+0,3+1,1+2}$${\displaystyle 5,4,3}$${\displaystyle 5{\bmod {3}},4{\bmod {3}},3{\bmod {3}}}$${\displaystyle 2,1,0}$${\displaystyle 2,1,0}$${\displaystyle 5+0,1+1,3+2}$${\displaystyle 5,2,5}$${\displaystyle 5{\bmod {3}},2{\bmod {3}},5{\bmod {3}}}$${\displaystyle 2,2,2}$

การสลับไซต์ แบบ ซิง โครนัสจะถูกต้องก็ต่อเมื่อ

1. ประกอบด้วยเลขคู่เท่านั้น และ
2. สามารถแปลงเป็น SiteSwap เวอร์ชันมาตรฐานได้โดยใช้คุณสมบัติslide

มิเช่นนั้นจะถือว่าไม่ถูกต้อง

ลำดับวานิลลาที่ถูกต้องใหม่สามารถสร้างได้โดยการสลับองค์ประกอบที่อยู่ติดกันจากลำดับไซต์สวอปวานิลลาที่ถูกต้องอื่น โดยเพิ่ม 1 ให้กับตัวเลขที่ถูกสลับไปทางซ้ายและลบ 1 ออกจากตัวเลขที่ถูกสลับไปทางขวา^{[ 11 ]} คุณสมบัติการสลับจะแปลงลำดับที่ถูกต้องด้วยค่าใดๆเพื่อสร้างลำดับที่ถูกต้องใหม่ ${\textstyle a_{0}a_{1}a_{2}...a_{i}a_{i+1}...a_{n-1}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{0}a_{1}a_{2}...(a_{i+1}+1)(a_{i}-1)...a_{n-1}}$

ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติการสลับที่กระทำกับตัวเลขสองตัวภายในของลำดับ 4413 จะย้ายเลข 4 ไปทางขวา ลบด้วย 1 กลายเป็น 3 และย้ายเลข 1 ไปทางซ้าย เพิ่มด้วย 1 กลายเป็น 2 ซึ่งจะสร้างรูปแบบ siteswap ที่ถูกต้องใหม่คือ 4233

ลำดับซิงโครนัสที่ถูกต้องสามารถแปลงเป็นลำดับอะซิงโครนัสที่ถูกต้องและในทางกลับกันได้โดยใช้คุณสมบัติ slide เมื่อกำหนดลำดับซิงโครนัสแล้วสามารถสร้างลำดับวานิลลาใหม่ได้สองลำดับ: และโดยที่และคุณสมบัติ slide ได้ชื่อมาจากการเลื่อนเวลาการโยนของมือข้างใดข้างหนึ่งไปหนึ่งหน่วยเวลาเพื่อให้การโยนตรงกันแบบอะซิงโครนัส^{[ 10 ]}ตัวอย่างเช่น siteswap (8x,4x)(4,4) จะสร้าง siteswap แบบอะซิงโครนัส (วานิลลา) สองรายการโดยใช้คุณสมบัติ slide: 9344 และ 5744 ${\displaystyle (a_{0},a_{1})(a_{2},a_{3})...(a_{n-2},a_{n-1})}$${\textstyle b_{0}b_{1}...b_{n-1}}$${\displaystyle c_{0}c_{1}...c_{n-1}}$$${\displaystyle b_{i}={\begin{cases}a_{i}+1,&{\text{ถ้า }}i{\text{ เป็นเลขคู่และ }}a_{i}{\text{ ไขว้มือ}}\\a_{i}-1,&{\text{ถ้า }}i{\text{ เป็นเลขคี่และ }}a_{i}{\text{ ไขว้มือ}}\\a_{i},&{\text{ในกรณีอื่นๆ}}\end{cases}}}$$$${\displaystyle c_{i}={\begin{cases}a_{i+1}+1,&{\text{ถ้า }}i{\text{ เป็นเลขคู่และ }}a_{i}{\text{ ไขว้มือ}}\\a_{i-1}-1,&{\text{ถ้า }}i{\text{ เป็นเลขคี่และ }}a_{i}{\text{ ไขว้มือ}}\\a_{i+1},&{\text{ถ้า }}i{\text{ เป็นเลขคู่และ }}a_{i}{\text{ ไม่ไขว้มือ}}\\a_{i-1},&{\text{ถ้า }}i{\text{ เป็นเลขคี่และ }}a_{i}{\text{ ไม่ไขว้มือ}}\end{cases}}}$$

การสลับไซต์อาจถือได้ว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนผสม^{[ 10 ]}การสลับไซต์ถือเป็นจำนวนเฉพาะหากเส้นทางที่สร้างขึ้นในแผนภาพสถานะไม่ผ่านสถานะใด ๆ มากกว่าหนึ่งครั้ง การสลับไซต์ที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะเรียกว่าจำนวนผสม

วิธีที่ไม่เข้มงวดแต่เรียบง่ายกว่าในการพิจารณาว่า siteswap เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ คือการพยายามแยกมันออกเป็นรูปแบบที่สั้นกว่าที่ถูกต้องใดๆ ที่ใช้จำนวนพร็อพเท่ากัน^{[ 10 ]}ตัวอย่างเช่น 44404413 สามารถแยกออกเป็น 4440, 441 และ 3 ได้ ดังนั้น 44404413 จึงเป็นจำนวนประกอบ อีกตัวอย่างหนึ่ง 441 ซึ่งใช้พร็อพสามตัว เป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจาก 1, 4, 41 และ 44 ไม่ใช่รูปแบบพร็อพสามตัวที่ถูกต้อง (เนื่องจาก 1/1≠3, 4/1≠3, (4+1)/2≠3 และ (4+4)/2≠3) บางครั้งกระบวนการนี้ใช้ไม่ได้ผล ตัวอย่างเช่น 153 (รู้จักกันดีในชื่อการหมุน 531) ดูเหมือนว่าจะสามารถแยกออกเป็น 15 และ 3 ได้ แต่การตรวจสอบว่าวงจรไม่มีโหนดที่ซ้ำกันในการท่องกราฟบ่งชี้ว่ามันเป็นจำนวนเฉพาะตามคำจำกัดความที่เข้มงวดกว่า

มีการแสดงให้เห็นเชิงประจักษ์ว่าไซต์สวอปไพรม์ที่ยาวที่สุดซึ่งจำกัดด้วยความสูงนั้นส่วนใหญ่ประกอบด้วยการโยนและ^{[ 12 ]}รูปแบบไพรม์ที่ยาวที่สุดที่มีความสูง 22 (สูงสุด 3 ลูก) สำหรับ 9 ลูก (สูงสุด 13 ลูก) และสำหรับความสูงและจำนวนลูกระหว่างนั้น ได้รับการระบุโดย Jack Boyce ในเดือนกุมภาพันธ์ 1999 โดยใช้โปรแกรมที่เรียกว่า jdeep ^{[ 13 ]}รายการไซต์สวอปไพรม์ที่ยาวที่สุดทั้งหมดที่สร้างโดย jdeep (โดยการโยน '0' แทนด้วย '-' และการโยนที่มีความสูงสูงสุดแทนด้วย '+') สามารถดูได้ที่นี่ ${\displaystyle h}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle h}$

รูปแบบการสลับไซต์แบบวานิลลาอาจถูกมองว่าเป็นองค์ประกอบบางอย่างของกลุ่มสมมาตรเชิงเส้น ( กลุ่ม Weyl เชิงเส้นประเภท) ^{[ 14 ]}การนำเสนอหนึ่งของกลุ่มนี้คือเซตของฟังก์ชันแบบหนึ่งต่อ หนึ่ง fบนจำนวนเต็ม โดยที่สำหรับn ที่กำหนด : f ( i + n ) = f ( i ) + nสำหรับจำนวนเต็มi ทั้งหมด หากองค์ประกอบfเป็นไปตามเงื่อนไขเพิ่มเติมว่าf ( i ) ≥ iสำหรับi ทั้งหมด แล้วfจะสอดคล้องกับรูปแบบการสลับไซต์ (ที่ทำซ้ำอย่างไม่มีที่สิ้นสุด) ซึ่งจำนวนที่i คือ f ( i ) − i : นั่นคือ ลูกบอลที่โยนในเวลาiจะตกลงในเวลาf ( i ) ${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$

รูปแบบการสลับไซต์ย่อยเหล่านี้จะระบุชั้นหินตามธรรมชาติในการแบ่งชั้นหินโพซิตรอยด์ของกราสแมนเนียน^{[ 15 ]}

• รายชื่อไซต์สวอป

• Polster, Burkard (2003). คณิตศาสตร์แห่งการโยนลูกบอล . นิวยอร์ก: Springer. ISBN 0-387-95513-5สืบค้นข้อมูลเมื่อวันที่ 23 สิงหาคม 2555

• " รูปแบบการส่งบอลแบบสมมาตร " , PassingDB.com
• DSSS : โปรแกรมจำลองการแลกเปลี่ยนไซต์ DiaboloจากArtofDiabolo.com
• ห้องทดลองการเล่นกล (โปรแกรมสร้างแอนิเมชั่นสำหรับดาวน์โหลด)
• การเล่นกลสลับปืน (แอนิเมเตอร์ออนไลน์)
• เครื่องคำนวณ Siteswap ของ TWJC (เครื่องมือตรวจสอบ Siteswap ที่มีประโยชน์สำหรับ Vanilla, Multiplex และ Synchronous)
• " รูปแบบการส่งลูกแบบสมมาตรสลับกันสำหรับนักเล่นกล 2 คน " โดย ฌอน แกนดินี (social siteswaps)
• Smith, HJ "Juggler Numbers"ที่Wayback Machine (เก็บถาวรเมื่อวันที่ 6 สิงหาคม 2546)
• ไรท์, โคลิน (29 กันยายน 2017). "การเล่นกลด้วยตัวเลข" (วิดีโอ) . YouTube . เบรดี้ ฮาราน. สืบค้นเมื่อ4 ตุลาคม 2017 .